MATEMÁTICA - 5TO GRADO - UNIDAD 4.pdf

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•
• Describe los elementos de la geometría.
• Explica los procedimientos para la medición y clasificación
de ángulos.
• Describe las características, clasificación y propiedades de
los polígonos (triángulos y cuadriláteros).
• Usa diversas estrategias para trasladar y rotar figuras en el
plano cartesiano.
• Explica los procedimientos para hallar el perímetro y el
área en una resolución de problemas.
Aprendizajes de esta unidad
A
•
• Describe los elementos de la geometría.
• Explica los procedimientos para la medición y clasificación
de ángulos.
• Describe las características, clasificación y propiedades de
los polígonos (triángulos y cuadriláteros).
• Usa diversas estrategias para trasladar y rotar figuras en el
plano cartesiano.
• Explica los procedimientos para hallar el perímetro y el
área en una resolución de problemas.
Aprendizajes de esta unidad
A
Igualdad de género
Enfoque transversal
E
Igualdad y confianza
Valores
V
Le damos
valor a las
cosas
4
Unidad
¿Las figuras de las
construcciones son
conocidas?
Sí, lo son, ¿pero por
qué habrán diseñado
esas figuras en sus
construcciones?
P
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153
Observamos y respondemos
• ¿Qué es Machu Picchu?
• ¿Qué figuras encuentras en sus construcciones?
• ¿Por qué crees que se utilizaron esas figuras geométricas?
¡Bienvenidos a la
ciudadela de Machu
Picchu, niños!
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Ficha de trabajo
Unidad 4
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Geometría Nivel 1 Nociones básicas de geometría
1) Completa las oraciones.
• El _____________ es la parte de una recta limitada por dos puntos.
• La parte de una recta que tiene sentido y un punto de origen se denomina _____________.
• Las rectas que nunca se cruzan aunque se prolonguen se llaman _____________.
• Las rectas _____________ son aquellas que tienen un punto en común.
• Las rectas que al cortarse forman ángulos de 90° se denominan ________________.
2) Encierra cada gráfico según el color que se indica.
• Rectas (azul)
• Rayos (rojo)
• Segmentos (verde)
3) Dibuja según las instrucciones.
• Una recta que pasa por los puntos M y N
• Un segmento de extremos B y C
• Un rayo de origen O que pasa por N
• Tres rectas que pasan por el punto A
4) Escribe el nombre de las siguientes rectas:
a)
________________
b)
________________
c)
________________
d)
________________
5) ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde al plano P? Marca con aspa (X) la figura que sea tu respuesta.
C
B
M
N
O
A
Q
P
P
P
segmento
A
A A
R
R
R
V
V
V
rayo
paralelas
perpendiculares
perpendiculares
paralelas
oblicuas oblicuas
secantes
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Relación entre conjuntos
Ficha de trabajo
Unidad 4
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1) Une mediante líneas las rectas con su respectiva clasificación.
• • Rectas oblicuas • •
• • Rectas perpendiculares • •
• • Rectas paralelas • •
2) Según la figura, sean las rectas M, N, P y Q y los puntos de intersección A, B, C, D, E y F; marca con un aspa (X)
en la casilla correspondiente para indicar los puntos que pertenecen a cada recta.
A
B
C
D
E
F
M N
P
Q
3) Observa cada figura y encierra la alternativa correcta.
• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?
a) La recta M corta a la recta que pasa por B y C.
b) El punto C no está en la recta que pasa por B y C.
c) La recta M no contiene al punto B.
• Si se coloca un punto C entre B y D, se obtienen:
a) 8 segmentos.
b) 6 segmentos.
c) 3 segmentos.
4) Marca con un aspa (X) la figura en la que se visualiza un plano Q con dos rectas que pasan por el punto A.
A
A A A A
B D
B
C
M
M N P Q
A
B
C
D
E
F
Q Q Q Q
X X
X X
X X
X X
X X
X X
C
P
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Geometría
1) Observa el gráfico y une con flechas según corresponda.
• B y C • • Rectas paralelas • • A y B
• A y D • • Rectas perpendiculares • • A y E
• C y A • • Rectas oblicuas • • C y D
2) De acuerdo con el gráfico, escribe V si es verdadero o F si es falso.
• Los lados AB y DC son paralelos. (___)
• Los lados AB y DC son perpendiculares. (___)
• Los lados AD y DC son perpendiculares. (___)
• Los lados AD y BC son paralelos. (___)
3) Por medio de un dibujo, determina en cuántas regiones como máximo se puede dividir un plano haciendo uso
de tres rectas.
4) Observa la figura y escribe los símbolos ⊂ o ⊄ según sea el caso.
A E
A
D
B
C
B
D
C
• PM ___ Q
• MN ___


A

B
•


A ___ Q
•


A

B ___ Q
• PM ___ PR
• MN ___


A
•


A

B ___ PR
• MR ___


A
5) De la siguiente figura, determina cuántos pares de rectas secantes hay y escribe cuáles son.
Q
M
N
R
B
A
P
O
B
M
D
N
F
H
A
G
E
J
C
V
F
V
V
⊂
⊄
⊂
⊂
⊂
⊂
⊄
⊄
Piden el máximo número de regiones, eso se dará
cuando las tres rectas sean secantes una con otra.
Rpta: El máximo número de regiones será 7.
P
Al observar minuciosamente la figura, se ve que
solo hay 4 rectas, y de ellas:
La recta BG es secante a la recta FH y a JA.
La recta CE es secante a la recta FH y a JA.
La recta JA es secante a la recta FH.
En total hay 5 pares de rectas secantes.
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Geometría Círculo matemático
Nociones básicas de geometría
1) Escribe V si es verdadero o F si es falso según
corresponda.
• En un segmento de recta
hay infinitos puntos. (___)
• Por dos puntos pueden
pasar varias rectas. (___)
• Un plano puede contener
solo dos rectas. (___)
• Una línea siempre es una recta. (___)
2) Del siguiente gráfico, nombra todos los pares de
segmentos que están en diferentes planos.
3) Resuelve y responde. Respecto a las figuras, se
sabe que estas son iguales. Además, los segmentos
verticales son paralelos al segmento BC y dividen al
lado AB en 6 partes iguales. Si BC = 8 cm, ¿cuál es
la suma de las longitudes de todos los segmentos
verticales?
4) Sobre un suelo plano, una mesa de cuatro patas
siempre se mueve; mientras que una mesa de tres
patas siempre está estable. Encierra la alternativa
que explica el porqué del problema de la primera
mesa.
a) Se debe a que las medidas de las cuatro patas
de la mesa son iguales.
b) Se debe al principio por el cual tres puntos
siempre determinan un solo plano.
c) Se debe a que las cuatro patas no se encuentran
en el mismo plano.
d) Es porque cuatro puntos siempre están
contenidos en un mismo plano.
5) Desarrolla y contesta la pregunta. ¿Cuál es el
máximo número de regiones que se puede obtener
al dividir un plano haciendo uso de 4 rectas?
6) Encierra la alternativa que contenga el enunciado
correcto.
a) Si se tienen tres puntos, entonces siempre se
podrá trazar una recta que pase por dichos
puntos.
b) Si se tienen tres puntos cualesquiera, entonces
siempre se podrán trazar tres rectas.
c) Si se marcan tres puntos sobre una recta,
entonces se obtienen tres segmentos y seis
rayos.
d) Si se tiene tres puntos A, B y C contenidos en una
recta, entonces el punto A siempre pertenece al
segmento BC.
A
B A
C
E
D
C
G
H
F
B
V
F
F
F
Los pares de segmentos que no están en un
mismo plano son:
AB, HG BC, EH
EF, DC BF, DH
AD, FG AE, CG
Como las figuras son iguales, al
juntarlas se obtienen 7 segmentos
verticales y paralelos. Luego, la
suma de las longitudes de todos
estos es 8 × 7 = 56 cm. Rpta.: 56 cm
Se debe tener en cuenta que, para obtener el
máximo número de regiones, las rectas tienen
que ser secantes una con otra. Desarrollando
por medio de un dibujo se obtiene:
P
Así, el máximo número de regiones es 11.
Rpta.: 11
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Geometría
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a) •R ___ P
b) •T ___ P
c) •R ___


A

B
d) •L ___ P
e) •O ___


A
f) •M ___ P
g) •T ___


A

B
h) •L ___


A
i) •O ___ P
j) •M ___


A

B
1) Dibuja según lo indicado en cada enunciado.
a) Dos rectas secantes b) Dos rectas paralelas y una de ellas
perpendicular a una tercera recta
c) Dos rectas secantes y una de
ellas paralela a una tercera recta
2) Une mediante flechas las columnas de tal manera que se completen correctamente las oraciones.
• Las rectas perpendiculares… • • tiene principio, pero no fin.
• Una recta… • • forma dos rayos.
• Un segmento… • • no tiene principio ni fin.
• Las rectas oblicuas… • • forman ángulos de 90°.
• Un rayo… • • forman un segmento.
• Un punto en una recta… • • tiene dos extremos.
• Dos puntos en una recta… • • no se cruzan nunca.
• Las rectas paralelas… • • forman ángulos agudos y obtusos.
3) Observa la figura y escribe los símbolos ∈ o ∉ según corresponda.
4) Observa el mapa y responde las preguntas.
a) ¿La av. Garcilaso de la Vega es paralela al jr. de la unión?
¿Por qué?
_______________________________________________
_______________________________________________
b) ¿Qué avenidas son perpendiculares a la av. Garcilaso de la
Vega?
_______________________________________________
c) ¿Qué avenidas son secantes con el jr. de la unión?
_______________________________________________
P
M
O
R T B
A
L
Av. Garcilaso de la Vega
Jr. de la Unión
Jr. de la Unión
Jr. Camaná
Av.
Uruguay
Av.Bolivia
∈
∉
∉
∈
∉
∈
∈
∉
∈
∉
No son paralelas, pues si se prolongan tendrán
un punto de encuentro.
La av. Uruguay y la av. Bolivia.
La av. Uruguay, la av. Bolivia y la av. Garcilaso de la Vega.
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159
Geometría
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Preparándonos para PISA
1) El siguiente gráfico es una representación simple de la futura red del metro de Lima. Como se puede observar,
el plano está compuesto por las estaciones iniciales (extremos de las líneas), las líneas de las rutas (L) y los
paraderos, la mayoría de ellos, conformados por los puntos de intersección de las trayectorias de las distintas
rutas del metro.
A continuación, lee y desarrolla lo indicado.
Fernando es un señor que acaba de llegar a Lima de un viaje por Europa. Después de salir del aeropuerto se
dispuso a tomar el metro para llegar a un hotel que está cerca de la estación La Encalada, donde había hecho
una reservación. Antes de subir al metro, se percató de que debía realizar algún transbordo para llegar a su
destino, ya que no había una ruta directa. Si el señor Fernando no sabe con exactitud qué transbordo tomar
para llegar a la estación La Encalada, ¿cuál es la ruta más corta que debe recorrer tomando la menor cantidad
de líneas? Y si hubiera realizado la mayor cantidad de transbordos, teniendo en cuenta que no toma el mismo
metro y que, además, solo deja pasar dos paraderos como máximo en cada transbordo, ¿cuál podría ser la ruta
más larga? Responde las preguntas indicando las rutas por medio de sumatorias de segmentos.
La Encalada
Cabitos
Villa El Salvador
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
M
I
N O
L5
L5
L1
L1
L2
L2
L3
L3
L4
L4

Chimpu Ocllo
Bayóvar Municipalidad de Ate
Estadio Monumental
Néstor Gambetta
Naranjal
Puerto del Callao
Determinando la ruta más corta:
Para ello, solo es necesario que el señor Fernando tome las líneas L1 y L3 sucesivamente.
Rpta. 1: Los segmentos de las rutas son las siguientes: L1F + FG + GJ + JL3
Determinando la ruta más larga:
Para ello, debe tomarse en cuenta la cantidad máxima de líneas que el señor Fernando puede tomar:
L1, L2, L3, L4 y L5. Por lo tanto, según la condición, las líneas que tomaría, en secuencia, serían L1, L2, L5,
L4 y L3.
Rpta. 2: L1A + AD + DL4 + L4N + NK + KL3
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Unidad 4
160
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Geometría Nivel 1 Ángulos
1) Encierra con un círculo la alternativa correcta.
• Los ángulos complementarios son aquellos
cuyas medidas suman…
a) 45°.
b) 180°.
c) 90°.
d) 360°.
• Los ángulos suplementarios son aquellos cuyas
medidas suman…
a) 90°.
b) 180°.
c) 45°.
d) 360°.
2) Mide cada ángulo y anota su medida, luego escribe a qué tipo de ángulo pertenece (agudo, recto u obtuso).
a)
_______________
b)
_______________
d)
_______________
f)
_______________
h)
_______________
c)
_______________
e)
_______________
g)
_______________
3) Traza los siguientes ángulos:
• Vértice: En el punto A. Medida: 80°
• Vértice: En el punto B. Medida: 40°
• Vértice: En el punto C. Medida: 105°
• Vértice: En el punto D. Medida: 155°
4) Observa la figura y responde según la teoría de clasificación de los ángulos.
a) ¿Qué relación tienen los ángulos α, β y θ?
___________________________________________
b) ¿Qué relación tienen los ángulos α y θ?
___________________________________________
c) ¿Qué relación tienen los ángulos θ y ω?
___________________________________________
d) ¿Qué relación tienen los ángulos β y ω?
___________________________________________
A B C D
α
β
θ
ω
Son consecutivos.
Son opuestos por el vértice y agudos.
Son adyacentes y suplementarios.
Son opuestos por el vértice y obtusos.
agudo obtuso agudo obtuso
recto obtuso recto obtuso
35°
90° 90° 145°
120°
135°
60°
160°
80° 40°
105°
155°
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Unidad 4
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1) Si las manecillas del reloj inician en el número 12,
escribe qué número señalará la aguja del minutero
después de cada giro indicado.
• Gira 270° : _____
• Gira 90° : _____
• Gira 360° : _____
• Gira 180° : _____
2) Mide los ángulos de cada polígono con el
transportador y contesta.
a) ¿Cuántos grados en total suman los ángulos del
triángulo? Rpta.: _______
b) ¿Cuántos grados en total suman los ángulos del
cuadrado? Rpta.: _______
c) ¿Cuántos grados en total suman los ángulos del
rectángulo? Rpta.: _______
3) Halla el ángulo correspondiente.
• Complemento de 27° : _____
• Suplemento de 170° : _____
4) Escribe V si es verdadero o F si es falso según
corresponda.
• La bisectriz es el rayo que divide un ángulo en
dos partes iguales. (___)
• El ángulo llano es aquel que mide 360°. (___)
• Los ángulos adyacentes son ángulos
consecutivos y suplementarios. (___)
5) Mide el ángulo y traza un rayo para dividir el mismo
en dos partes iguales. Luego, escribe el valor del
ángulo obtenido.
a)
b)
c)
d)
6) Si en todas las figuras el ángulo AOB es recto,
calcula la medida del ángulo «x» en cada ejercicio.
a)
b)
c)
A
A
A
O
O
O
B
B
x
x
x
B
11°
20°
18°
15°
63°
5°
28°
10°
115°
90°
180°
360°
360°
V
F
F
9
3
12
6
Como el ángulo AOB
es recto, se cumple:

x + 18° = 90°
x = 72°
Rpta.: 72°
Como el ángulo AOB
15° + 20° + x = 90°
x = 55°
Rpta.: 55°
Como el ángulo AOB

y + 11° = 90°
y = 79°
Luego: 79° + x = 90°
x = 11°
Rpta.: 11°
20°
25° 65°
60°
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Unidad 4
162
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Geometría
1) Observa la veleta que está señalando al este y responde.
a) ¿Qué dirección señalaría si girara 135° en el sentido de las
agujas del reloj?
________________________________________________
b) ¿Qué dirección señalaría si girara 225° en el sentido
contrario a las agujas del reloj?
________________________________________________
c) ¿Qué ángulo se forma si la veleta gira en el sentido de las
agujas del reloj para señalar el noreste?
________________________________________________
2) Encierra con un círculo la alternativa que representa la medida del ángulo AOB en función del valor de «a».
•
a) 7a
b) 9a
c) a + 8°
d) 8° – a
•
a) 4a
b) 6a
c) 2a + 3°
d) 2a + 6°
•
a) 22° – 2a
b) 2a + 22°
c) a + 22°
d) 22° – a
3) Halla el valor del ángulo desconocido en cada caso.
a) b)
4) Resuelve cada problema y responde.
a) Si la medida del ángulo AOB es 80° y el rayo OM
es bisectriz de dicho ángulo, ¿cuál es la medida
del ángulo AOM?
b) Dos rectas al cortarse forman ángulos agudos
y obtusos. Si uno de los ángulos obtusos mide
130°, ¿cuál es la medida de los ángulos agudos?
A
B
8a
a
O A
B
2a
O
A
B
22° a
O
130° α
α
θ
θ
θ
S
12 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SO
O E
SE
NE
NO N
Señalaría la dirección suroeste.
Señalaría la dirección suroeste.
315°
m∡AOB = 80°
Del dibujo:
x + x = 80°
2x = 80°
x = 40°
x
x
A
M
B
O
Del dibujo:
x + 130° = 180°
x = 180° – 130°
x = 50°
Rpta.: Los ángulos agudos miden 50°.
130°
x
130° + 2α = 180°
2α = 50°
α = 25°

θ + θ + θ = 360°
3θ = 360°
θ = 120°
Rpta.: El ángulo AOM mide 40°.
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Unidad 4
163
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Ángulos
1) Determina la diferencia entre la décima parte de
un ángulo de una vuelta y la quinta parte de un
ángulo recto.
2) Halla la medida de un ángulo si se sabe que su
complemento y su suplemento suman 208°.
3) Observa cuidadosamente el reloj y calcula el
ángulo agudo que forman sus manecillas.
S
12 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SO
O E
SE
NE
NO N
4) De acuerdo con el gráfico mostrado, calcula el
valor de
α
10
+
β
10
.
50°
α
β
5) Resuelve y responde. Según el gráfico, ¿cuál es el
valor de
β
α – 10
?
β
α
20°
30°
Una vuelta de una manecilla forma un ángulo de
360°. Si el reloj tiene 60 divisiones, esto significa
que en cada división avanza 360 ÷ 60 = 6°.
Contando las divisiones que hay entre las
manecillas, se obtiene 13. Así, el ángulo agudo
entre las manecillas del reloj es 6° × 13 = 78°.
Rpta.: 78°
S
12 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SO
O E
SE
NE
NO N
1 división = 6°
Ángulo de una vuelta: 360°
Ángulo recto: 90°
Del problema:
1
10
× 360° –
1
5
× 90° = 36° – 18° = 18°
Rpta.: 18°
Sea «x» el ángulo pedido:
Complemento de x: 90° – x
Suplemento de x: 180° – x
(90° – x) + (180° – x) = 208°
270° = 208° + 2x
62° = 2x
31° = x
Rpta.: 31°
Del gráfico:
β + 50° = 180° → β = 130°
α = 50° + 90° → α = 140°
Luego:
α
10
+
β
10
=
140
10
+
130
10
α
10
+
β
10
= 14 + 13 = 27
Rpta.: 27
Del gráfico.

α + 20° = 90°
α = 70°
Luego:
β
α – 10
=
120
70 – 10
=
120
60
= 2
Rpta.: 2
β – 30° = 90°
β = 120°
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Unidad 4
164
Geometría
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Ángulos
1) Une con una flecha el nombre de cada ángulo con su característica respectiva.
• Ángulo obtuso • • Ángulo que mide menos de 90° y más de 0°.
• Ángulo completo • • Mide 0°
• Ángulo llano • • Un ángulo que mide 90°
• Ángulo nulo • • Ángulo de 360°
• Ángulo agudo • • Ángulo que mide más de 90° y menos de 180°
• Ángulo recto • • Ángulo de 180°
2) Mide cada ángulo y anota su medida, luego escribe debajo a qué tipo de ángulo pertenece.
a)
________________
b)
________________
c)
________________
d)
________________
3) De las siguientes parejas de ángulos, escribe en las líneas las letras que correspondan a los ángulos
complementarios y a los suplementarios.
a) 45° y 45°
b) 90° y 10°
c) 31 y 59°
d) 21° y 68°
e) 85° y 95°
f) 50° y 19°
g) 100° y 90°
h) 43° y 47°
i) 90° y 90°
4) Observa la figura y calcula el valor de los ángulos α, β, θ, φ y ω.
5) Halla el valor de «x», «y» y «z» en los siguientes casos:
a) b) c)
Son complementarios: __________
Son suplementarios: __________
120°
4x
x + 12°
64°
y
z
z
30°
165°
105°
α
θ
ω β
15°
φ
50°
130°
90° 65°
agudo
a, c, h
e, i
obtuso recto agudo
De la figura se tiene:
α = 180° – 165° = 15°
β = 180° – 105° = 75°
θ = 90°
φ = β – 15° = 75° – 15° = 60°
ω = 30°
Del gráfico se observa que:

4x = x + 12°
3x = 12°
x = 4°
y + 90° = 120°
y = 120° – 90°
y = 30°

2z + 64° = 90°
2z = 26°
z = 13°
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Unidad 4
165
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Ángulos
1) Tito solía acompañar a su padre al billar los fines de semana, y cierto día este decidió enseñarle todo sobre la
ciencia de aquel deporte. Después de instruirlo en la forma de cómo coger el taco y golpear la bola blanca, le
dio a conocer el principio de simetría de los ángulos de choque y rebote cuando se juega con la banda. Este
principio expresa que, al golpear en el centro de la bola hacia un punto de la banda, el ángulo de choque y de
rebote son iguales.
a) En los siguientes gráficos, con ayuda de tu transportador, escribe el valor del ángulo de choque y de rebote,
y traza la ruta que tomará la bola al rebotar en la banda e ingresar a la tronera.
b) Mide los ángulos de choque y rebote, y escribe las medidas. Luego, marca con un aspa (X) la trayectoria
incorrecta.
c) Elabora libremente dos posibles trayectorias para que la bola ingrese a una tronera. Toma en cuenta que
la primera debe realizar cuatro rebotes, y la segunda, tres (ayúdate de las cuadrículas). Luego, escribe los
ángulos de choque y rebote en cada caso.
45° 45° 45° 45° 37° 37°
37°
37°
53°
53°
45°
45°
45°
45°
Respuesta sugerida
45°
37°
60°
82°
80°
65°
65° 65°
65°
60°
60°
45° 45°
45°
80°
60°
37°
45°
80°
80°
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Unidad 4
166
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Geometría Nivel 1 Polígonos
1) Escribe el nombre de cada polígono según el número de lados.
a)
________________
b)
________________
c)
________________
d)
________________
e)
________________
f)
________________
g)
________________
h)
________________
2) Contesta las preguntas y luego escribe los nombres de los polígonos de acuerdo con lo respondido.
• ¿Cuántos vértices tiene un octógono? ____, ¿y un eneágono? ____
• ¿Cuántos vértices tiene un decágono? ____, ¿y un hexágono? ____
a)
________________
b)
________________
c)
________________
d)
________________
3) En relación con los siguientes polígonos, completa la tabla:
Número de lados Nombre Regular o irregular
Figura A
Figura B
Figura C
Figura D
Figura E
A
B
C D E
6 hexágono regular
5 pentágono irregular
10 decágono irregular
6 hexágono irregular
4 cuadrilátero irregular
decágono cuadrilátero octógono
octógono
hexágono
hexágono
heptágono
8 9
10 6
triángulo pentágono decágono
decágono
eneágono
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1) Completa las siguientes oraciones:
• Las ______________ son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
• Un ______________ es un polígono de once lados.
• La suma de los ángulos ______________ de cualquier polígono siempre es 360°.
• Si el número de diagonales de un polígono es igual a 5, entonces la figura es un ______________ .
• El ______________ es un polígono de veinte lados.
• Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 360°, entonces la figura es un ______________ .
2) Observa los polígonos y escribe el número de lados, vértices y ángulos según corresponda.
a)
• Lados : ____
• Vértices : ____
• Ángulos : ____
b)
• Lados : ____
• Ángulos : ____
c)
• Lados : ____
• Ángulos : ____
d)
• Lados : ____
• Ángulos : ____
3) Observa las figuras y, de acuerdo con las condiciones, marca con un aspa (X) la alternativa correcta.
• Si a = b y α ≠ β,
entonces
la figura…
a) es un polígono regular.
b) es un polígono equilátero.
c) es un polígono equiángulo.
d) no es un polígono.
• Si b ≠ a y
α = β, entonces
la figura…
a) es un polígono regular.
b) es un polígono equilátero.
c) es un polígono equiángulo.
d) es un pentágono.
• Si a = b y
α = β, entonces
la figura…
a) no es un polígono equilátero.
b) no es un polígono equiángulo.
c) es un polígono regular.
d) es un polígono irregular.
a
a
a
a b
b
a
α
α
α α
α
β
β β
β
β
β
a
b
b
b
b
α
diagonales
endecágono
exteriores
pentágono
icoságono
cuadrilátero
5
5
5
9
9
9
6
6
6
10
10
10
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Geometría
1) Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos propuestos:
Representación
del polígono
Nombre N.o de lados
N.o de ángulos
interiores
N.o de vértices
N.o de
diagonales
3
hexágono
4
2) Halla el número de diagonales de:
a) Un polígono de 30 lados b) Un polígono de 40 lados
3) Determina el perímetro (en centímetros) y halla la medida del ángulo interior mostrado de cada uno de los
siguientes polígonos regulares:
a)
b)
2x – 2
x + 8
β
3y – 5
y + 37
α
pentágono 5 5 5 5
triángulo 3 3 0
6 6 6 9
cuadrilátero 4 4 2
n = 30
n(n – 3)
2
= 30(30 – 3)
2
= 30(27)
2
= 810
2
= 405
Rpta.: 405 diagonales
n = 40
n(n – 3)
2
= 40(40 – 3)
2
= 40(37)
2
= 1480
2
= 740
Hallando el perímetro:
2x – 2 = x + 8 → x = 10
Reemplazando:
x + 8 = 10 + 8 = 18
Por ser un pentágono:
18 × 5 = 90 cm
3y – 5 = y + 37
2y = 42 → y = 21
Reemplazando:
y + 37 = 21 + 37 = 58
Por ser un hexágono:
58 × 6 = 348 cm
Hallando el ángulo interior:
β = 180°(n – 2)
n
= 180°(5 – 2)
5
= 180°(3)
5
= 108°
Rptas.: Su perímetro es de 348 cm y la medida del ángulo interior es 120°.
Hallando el ángulo interior:
α = 180°(n – 2)
n
= 180°(6 – 2)
6
= 180°(4)
6
= 120°
Rptas.: Su perímetro es de 90 cm y la medida del ángulo interior es 108°.
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Polígonos
1) Determina el máximo número de triángulos
internos que se pueden formar con las diagonales
desde un vértice y calcula la suma de los ángulos
interiores de:
a) Un dodecágono regular
b) Un pentadecágono regular
2) Halla el número de diagonales de:
a) Un endecágono
b) Un icoságono
3) Calcula el perímetro (en centímetros) y halla la
medida del ángulo interior y exterior de cada uno
de los siguientes polígonos regulares:
a)
b)
81x
4
49 – 64x
3
α
125y + 3
3
β
23y + 36
3
Dodecágono: 12 lados
Hallando el número de triángulos:
n – 2 = 12 – 2 = 10 triángulos
Hallando la suma de los ángulos interiores:
180°(n – 2) = 180°(12 – 2) = 180°(10) = 1800°
Rptas.: 10 triángulos y la suma de los ángulos
interiores es 1800°.
Pentadecágono: 15 lados
Hallando el número de triángulos:
n – 2 = 15 – 2 = 13 triángulos
Hallando la suma de los ángulos interiores:
180°(n – 2) = 180°(15 – 2) = 180°(13) = 2340°
Rptas.: 13 triángulos y la suma de los ángulos
interiores es 2340°.
81x
4
= 49 – 64x
3
3x = 49 – 4x
7x = 49
x = 7
Reemplazando:
81x
4
= 3x = 3(7) = 21
Por ser un octágono:
21 × 8 = 168 cm
Ángulo interior:
α =
180°(8 – 2)
8
=
180°(6)
8
= 135°
Ángulo exterior:
360°
8
= 45°
Rptas.: Su perímetro es de 168 cm, la medida
del ángulo interior y exterior es 135° y 45°,
respectivamente.
Icoságono: 20 lados
n(n – 3)
2
= 20(20 – 3)
2
= 20(17)
2
= 340
2
= 170
Endecágono: 11 lados
n(n – 3)
2
= 11(11 – 3)
2
= 11(8)
2
= 88
2
= 44
125y
3
+ 3 = 23y
3
+ 36
5y + 3 = 2y + 36
3y = 33
y = 11
Reemplazando:
125y
3
+ 3 = 5y + 3
= 5(11) + 3 = 58
Por ser un decágono:
58 × 10 = 580 cm
Ángulo interior:
β =
180°(10 – 2)
10
=
180°(8)
10
= 144°
Ángulo exterior:
360°
10
= 36°
Rptas.: Su perímetro es de 580 cm, la medida
del ángulo interior y exterior es 144° y 36°,
respectivamente.
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Geometría
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Polígonos
1) Dibuja los polígonos propuestos.
a) Un triángulo regular
b) Un cuadrilátero regular
c) Un cuadrilátero irregular
d) Un octágono irregular
e) Un hexágono irregular
f) Un pentágono regular
2) Une con una línea cada descripción con el respectivo nombre del polígono.
• Polígono que tiene quince ángulos interiores. • • cuadrado
• Polígono que tiene once lados. • • decágono
• Polígono de cuatro lados, no equilátero, que
tiene sus ángulos rectos. • • pentadecágono
• Polígono que tiene ocho ángulos exteriores. • • endecágono
• Paralelogramo de cuatro lados iguales y cuatro
ángulos rectos. • • octágono
• Polígono que tiene diez ángulos interiores. • • rectángulo
3) Calcula la suma de los ángulos interiores y halla la medida del ángulo exterior de:
a) Un polígono regular de 24 lados b) Un polígono regular de 18 lados c) Un polígono regular de 45 lados
Rpta.
sugerida
Rpta.
sugerida
Rpta.
sugerida
n = 24
Suma de los ángulos
interiores:
180°(n – 2) = 180°(24 – 2)
= 180°(22) = 3960°
Medida del ángulo exterior:
360°
n
=
360°
24
= 15°
Rptas.: La suma de los
ángulos interiores es 3960°
y la medida del ángulo
exterior es 15°.
n = 45
interiores:
180°(n – 2) = 180°(45 – 2)
= 180°(43) = 7740°
360°
n
=
360°
45
= 8°
exterior es 8°.
n = 18
interiores:
180°(n – 2) = 180°(18 – 2)
= 180°(16) = 2880°
360°
n
=
360°
18
= 20°
exterior es 20°.
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171
Geometría
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Polígonos
1) Lee el problema, observa el gráfico y responde las preguntas.
Alfonso llevó a su hijo Rodrigo a visitar el Museo de Historia Natural. Para iniciar el recorrido, los dos habían
decidido realizarlo por la sección de zoología, pero Rodrigo cambio de opinión y lo hizo por la sección de
botánica, la cual se encontraba en sentido opuesto. De este modo, Rodrigo recorrió, en línea recta, dicha
sección en 30 pasos más de los que dio su padre al recorrer la sección de zoología. Ahora bien:
a) Si se sabe que el doble de la cantidad de pasos que dio Rodrigo es igual al triple de los que dio su padre
y, además, la sección de zoología mide en metros un número igual a la mitad de los pasos dados por este
último, ¿cuánto mide el perímetro del interior del museo si se trata de un polígono regular?
b) Si en cada vértice había un tacho de basura, ¿cuántos tachos vieron cada uno hasta llegar al cruce de las
secciones de mineralogía y paleontología?
Sección de mineralogía
S
e
c
c
i
ó
n
d
e
p
a
l
e
o
n
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g
í
a
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í
a
Sección de zoología
S
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ó
n
d
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b
o
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c
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d
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e
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Si el interior del museo tiene la forma de un polígono regular, entonces cada lado mide igual; por lo que
el recorrido de ambos es el mismo.
Si «y» es la cantidad de pasos que dio Alfonso en su recorrido por la sección de zoología, se obtiene:
2(y + 30) = 3y
2y + 60 = 3y
60 = y
Deacuerdoconloanterior,Alfonsodio60pasos.Porlotanto,cadaseccióndelmuseomide60 ÷ 2 = 30 m.
Hallando el perímetro del polígono:
30 × 6 = 180 m
Respuesta de a): El perímetro del interior del museo mide 180 m.
Hallando los tachos vistos por cada uno:
Si ambos iniciaron sus recorridos en el vértice entre las secciones de botánica y zoología, Rodrigo vio
los tachos en 4 vértices. Por lo tanto, vio 4 tachos. De igual modo, su padre vio la misma cantidad de
tachos.
Respuesta de b): Cada uno vio 4 tachos.
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Geometría Nivel 1 Triángulos
1) Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda.
• Un triángulo escaleno tiene dos lados iguales. (___)
• Un triángulo isósceles tiene tres lados iguales. (___)
• Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales. (___)
• Un triángulo escaleno tiene tres lados distintos. (___)
• Un triángulo obtusángulo tiene dos ángulos agudos. (___)
• Un triángulo obtusángulo tiene todos sus ángulos obtusos. (___)
• Un triángulo rectángulo tiene sus ángulos iguales. (___)
• Un triángulo acutángulo solo tiene un ángulo agudo. (___)
2) Escribe los nombres de los triángulos según la medida de sus lados.
a)
________________
b)
________________
c)
________________
3) Escribe los nombres de los triángulos según la medida de sus ángulos.
a)
________________________
b)
________________________
c)
________________________
4) Observa cada triángulo y, según sus lados y ángulos, clasifícalo marcando con un aspa (X) las celdas
correspondientes.
equilátero isósceles escaleno rectángulo acutángulo obtusángulo
A
B
C
D
E
F
6 cm 6 cm
5 cm
40°
20°
A
B E F
120°
9 cm
5 cm
7 cm
2 cm 2 cm
2 cm
40°
90°
50°
70°
30°
80°
C
D
F
F
V
V
V
F
F
F
isósceles
obtusángulo
escaleno
rectángulo
equilátero
acutángulo
X X
X X
X X
X X
X X
X X
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1) Determina la medida del ángulo exterior indicado.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2) Observa cada figura y halla el valor de «x».
a)
b)
c)
d)
3) Contesta las siguientes preguntas:
• ¿Cuánto miden los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles? _____
• ¿Cuánto mide el otro ángulo agudo de un triángulo rectángulo si el primero mide 35°? _____
• ¿Cuánto miden los ángulos iguales de un triángulo isósceles si el otro mide 100°? _____
• En todo triángulo, ¿qué lado se le opone al ángulo mayor? _______________
• En todo triángulo, ¿qué lado se le opone al ángulo menor? _______________
• ¿Los ángulos internos de un triángulo acutángulo miden siempre menos de 90°? _____
• ¿Todo triángulo equilátero es a la vez un triángulo acutángulo? _____
50°
60°
x
20°
30°
x 45°
x
60°
60°
x
53°
x
40°
100°
x
x
2x
x
120° 130°
65°
60°
3x
x
x
100°
45°
55°
40°
El lado mayor.
El lado menor.
Sí
Sí
x = 50° + 60° = 110° x = 20° + 30° = 50° x = 90° + 45° = 135°
x = 60° + 60° = 120° x = 90° + 53° = 143° x = 100° + 40° = 140°
Triángulo
rectángulo:
x + 2x = 90°
3x = 90°
x = 30°
Ángulos internos:
60° + 3x + x = 180°
4x = 120°
x = 30°
Ángulos externos:
100° + 120° + x = 360°
x = 360° – 220°
x = 140°
Se halla el ángulo
interno 50°, luego:
x = 50° + 65°
x = 115°
50°
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Unidad 4
174
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1) En los siguientes triángulos, las medidas de los ángulos no están correctamente colocadas. Según lo anterior,
completa los espacios en blanco con los ángulos adecuados teniendo en cuenta que la longitud de los lados
de cada triángulo es correcta.
a)
• Ángulo opuesto al lado mayor: _____
• Ángulo opuesto al lado menor: _____
• Ángulo opuesto al lado intermedio: _____
b)
• Ángulo opuesto al lado mayor: _____
• Ángulo opuesto al lado menor: _____
• Ángulo opuesto al lado intermedio: _____
2) Observa las figuras y halla el valor de «x».
a) b)
3) Halla el valor del ángulo desconocido que se indica en cada caso.
a) b)
20°
10° 50° 30°
130°
120°
2x + 25°
3x – 5°
3x
2x + 24°
5x – 14°
105°
A E
G
F
C
B
135°
θ β
120° 130°
10° 20°
50° 30°
3x + 2x + 24° + 5x – 14° = 180°
10x + 10° = 180°
10x = 170°
x = 17°
2x + 25° + 3x – 5° = 90°
5x + 20° = 90°
5x = 70°
x = 14°
Del gráfico:
m∡FEG = 180° – 105° = 75°
Como se trata de un triángulo isósceles se
tiene que m∡EFG = 75°, luego:
75° + 75° + β = 180°
150° + β = 180°
β = 30°
Del gráfico:
m∡BAC = 180° – 135° = 45°
Como se trata de un triángulo isósceles:
θ = m∡BAC
θ = 45°
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Unidad 4
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Triángulos
1) Lee y marca con un aspa (X) la respuesta correcta.
• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre
falsa?
a) Untriángulopuedeserisóscelesyrectángulo.
b) Untriángulopuedeserisóscelesyobtusángulo.
c) Un triángulo puede ser isósceles y acutángulo.
d) Un triángulo puede ser equilátero y
obtusángulo.
• ¿Qué clase de triángulo es el mostrado en la
figura?
x
30°
4x
a) Escaleno-acutángulo
b) Escaleno-rectángulo
c) Isósceles-acutángulo
d) Isósceles-obtusángulo
Justifica tu respuesta.
2) Halla el valor del ángulo α.
B
A
C
D
3) Resuelve y responde. En el gráfico, BC = BD y
α = 30°. ¿Cuál es el valor de «x»?
4) En el gráfico, el triángulo MNB es equilátero y
m∡MBC = 2(m∡MAN). Halla el valor de «x».
M C
A x
N
B
75°
60° α
A
D
B
C
α
x
Se halla el valor de «x»:
4x + x + 30° = 180° → x = 30°
Así, se sabe que es un triángulo
isósceles-obtusángulo.
De la figura, a lados iguales, ángulos iguales.
Así, m∡ABD = m∡BAD = 60°.
Por propiedad del ángulo externo:
α = 60° + 60°
α = 120°
Rpta.: 120°
60°
60°
x
30°
60°
60°
2α
α
Si m∡MAN = α, entonces m∡MBC = 2α.
Del triángulo ABC:
α + 60° + 2α + 75° = 180°
3α = 180° – 135°
3α = 45°
α = 15°
Luego, en el triángulo AMN:
x + α = 60°
x + 15° = 60°
x = 45°
Rpta.: 45°
Si BC = BD, entonces m∡BDC = m∡BCD = x
En el triángulo ABD, si α = 30°, entonces el
otro ángulo mide 60°.
En el triángulo BCD, por propiedad se tiene:
x + x = 60° → x = 30°
Rpta.: 30°
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176
Geometría
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1) Une con flechas los nombres de los triángulos con sus definiciones.
• Triángulo rectángulo • • Sus tres ángulos son agudos.
• Triángulo escaleno • • Tiene los tres lados iguales.
• Triángulo equilátero • • Las medidas de sus tres lados son diferentes.
• Triángulo obtusángulo • • Solo dos de sus lados son iguales.
• Triángulo isósceles • • Tiene un ángulo recto.
• Triángulo acutángulo • • Tiene un ángulo obtuso.
2) Según los lados y los ángulos de los siguientes triángulos, escribe en cada letra el par de nombres que
correspondan para clasificarlos.
a) ________________ - ________________
b) ________________ - ________________
c) ________________ - ________________
d) ________________ - ________________
e) ________________ - ________________
f) ________________ - ________________
g) ________________ - ________________
3) Halla el valor de «x», «y» y «z».
a) b) c)
4) Halla el valor de «x».
a) b)
Triángulos
110°
60°
x – 70°
x + 30°
3x
C
A A
B
C
x
D
B
α
39°
60°
68°
45°
y
z
x
A
B
C
D
E F
G
α
En el triángulo
ABC: α = 30°
En el triángulo BCD:
3x + 30° = 90°
3x = 60°
x = 20°
Por propiedad del
ángulo externo:
x – 70° + x = x + 30°
2x – 70° = x + 30°
x = 100°
Isósceles rectángulo
Equilátero acutángulo
Isósceles acutángulo
Escaleno obtusángulo
Escaleno rectángulo
Isósceles obtusángulo
Escaleno acutángulo
x = 180° – 110° – 39° = 31° y = 180° – 60° – 68° = 52° z = 90° – 45° = 45°
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Geometría
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Triángulos
1) Lee el problema, observa el gráfico y responde.
Un caracol sale todos los días de su escondite y se arrastra hacia un árbol para comer. Para ello, se desplaza por
el suelo en línea recta 8 m, y luego, trepa 6 m por el tronco de manera recta también. Pero un día se encuentra
con que alguien colocó un tablón justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol. Si el caracol se
desplaza 1 m cada 2 min, ¿cuánto tiempo ahorrará tomando la ruta por el tablón? Recuerda: la velocidad del
caracol siempre es la misma y el teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de las medidas de los lados adyacentes al ángulo recto es igual al cuadrado de la medida del
lado opuesto a dicho ángulo.
2) El parque de cierta ciudad se describe como sigue: se puede decir que tiene forma de un triángulo QRP, recto
en R. En él se ubica una vereda RQ, que tiene menor medida que la vereda PR; el punto M, donde se encuentra
un tacho de desperdicios, que está en medio de P y Q; el punto N, donde hay una banqueta, que está en medio
de los puntos Q y R, y el punto S, que se encuentra dentro del parque, donde se alza una pileta. ¿Cuál es el
diseño que más se asemeja a la representación de dicho parque? Encierra la alternativa correcta y justifica tu
respuesta.
a)
b)
c)
d)
Q
R
Q M P P Q
M
N
P
N
M
S
R
R
Q
S
R
S
N
P
M
S
N
c2 = a2 + b2
Teorema de Pitágoras
a
b c
Según el problema, si se desplaza por el suelo y el
tronco, en línea recta, a razón de 1 m cada 2 min;
recorrerá 8 m y 6 m, respectivamente.
8 m
6 m
Por lo tanto, demorará: (8 + 6) × 2 = 28 min
Resolviendo por medio del
teorema de Pitágoras:
c2 = 82 + 62
c2 = 100
c = 10
Luego, si se desplaza por el tablón, que mide 10 m,
entonces el tiempo que demorará es 10 × 2 = 20 min
Rpta.: Se ahorrará 8 min.
8 m
6 m
• La alternativa d) se descarta al instante
porque el ángulo del vértice R no es recto.
• La alternativa c) se descarta, ya que el
punto M no está entre P y Q.
• La alternativa a) se descarta, ya que el
punto S no se encuentra dentro de la
región triangular QRP.
Del problema, la opción que más se acerca
a la descripción es la alternativa b).
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Geometría Nivel 1 Cuadriláteros
1) Une con una flecha cada figura con su nombre.
•
trapezoide
•
trapecio
•
cuadrado
•
rectángulo
•
rombo
•
romboide
• • • • •
•
• Los cuadriláteros son ____________ de __________ lados.
• El ____________ es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos llamados bases.
• El ____________ es un cuadrilátero que no posee lados paralelos.
• El ____________ tiene cuatro lados iguales pero ningún ángulo recto.
• El cuadrilátero que tiene todos sus lados iguales y sus cuatro ángulos rectos se llama ____________.
• El ____________ tiene sus lados y ángulos opuestos congruentes.
3) Resuelve y responde. El largo de un rectángulo mide 12 cm y su ancho es la tercera parte del largo. ¿Cuánto
mide el ancho?
4) De la figura, halla el valor de «x».
125°
x
107°
56°
polígonos
trapecio
trapezoide
rombo
cuadrado
romboide
cuatro
Por dato del problema:
Largo del rectángulo: 12 cm
Ancho del rectángulo: 12 ÷ 3 = 4 cm
Rpta.: Mide 4 cm.
La suma de los ángulos interiores debe ser 360°.
56° + 107° + 125° + x = 360°
288° + x = 360°
x = 360° – 288°
x = 72°
Rpta.: 72°
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1) Observa las figuras y escribe en la parte inferior las letras que correspondan.
A
B
C
D
E G
F H
I
J
• Paralelogramos: ______________
• Trapecios : ______________
• Trapezoides : ______________
2) Escribe los nombres de los siguientes paralelogramos y completa las medidas de sus cuatro lados y ángulos.
Luego, responde la pregunta.
a)
_______________________
b)
_______________________
c)
_______________________
• ¿Cómo se supo las medidas de los lados que faltaban? ¿Y de los ángulos?
____________________________________________________________________________________
3) Completa la siguiente tabla:
N.o de pares de
lados paralelos
N.o de pares de
ángulos iguales
N.o de ángulos
rectos
Nombre
90°
8 cm
3 cm
90°
140°
3 cm
7 cm
D, F, I y J
A, C, E y H
B y G
cuadrado rombo
rectángulo
90°
90°
90°
3 cm
3 cm 3 cm 3 cm
8 cm
140°
40°
40°
7 cm
7 cm 7 cm
2 4 4 cuadrado
1 2 0 trapecio
2 2 0 rombo
0 0 0 trapezoide
2 2 4 rectángulo
2 2 0 romboide
Al ser paralelogramos los lados y ángulos opuestos tienen igual medida.
90°
90°
90°
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Unidad 4
180
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1) De acuerdo con el siguiente rectángulo, cuyo
ancho y largo miden 14 y 16 cm, respectivamente,
calcula el valor de (x + y).
2x
y + 3
2) Respecto al siguiente cuadrado, cuyo lado mide
10 cm, halla el valor de «x».
2x + 4
3) Del siguiente gráfico:
3x
2x
7x
6x
Halla el valor de «x».
4) En relación con el siguiente rombo:
5) Si en la siguiente figura el trapecio es isósceles,
halla el valor de «x».
6) Dado el siguiente rombo:
Calcula el valor de (y – x).
4x + 1
5x – 5°
2x – 5 x + 8
y – 3
4x + 10°
3x + 5
Según el enunciado se tiene que:
2x = 14
x = 14 ÷ 2
x = 7
Sumando: x + y = 7 + 13 = 20
Rpta.: 20
y + 3 = 16
y = 16 – 3
y = 13
Según el enunciado se tiene que:
2x + 4 = 10
2x = 6
x = 3
Rpta.: 3
De acuerdo a la suma de ángulos internos:

2x + 3x + 6x + 7x = 360°
18x = 360°
x = 360° ÷ 18
x = 20°
Rpta.: 20°
Según el gráfico, se plantea la ecuación:
4x + 1 = 3x + 5
4x – 3x = 5 – 1
x = 4
Rpta.: 4
Se tiene:
2x – 5 = x + 8
2x – x = 8 + 5
x = 13
Calculando «y»:
y – 3 = x + 8
y = x + 11
y = 13 + 11
y = 24
Luego, y – x = 24 – 13 = 11.
Rpta.: 11
Por ser un trapecio isósceles, se plantea la
siguiente ecuación:

5x – 5° = 4x + 10°

5x – 4x = 10° + 5°
x = 15°
Rpta.: 15°
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Unidad 4
181
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Cuadriláteros
1) En el siguiente rectángulo, la medida del largo
es el doble del ancho. Halla las dimensiones del
rectángulo en centímetros.
3x + 10
2) En el siguiente romboide, las diagonales se cortan
en su punto medio. Halla el valor de «x».
3) Si el lado del siguiente cuadrado mide 15 cm,
calcula el valor de (x + y).
4) Dado el siguiente trapecio isósceles:
5) De la siguiente figura, halla el valor de «x».
2x – 5
4x – 7
5x
35 – y
2x + 3°
x – 3°
4x – 10°
3x
2x – 5
8 – b
b + 3
b
12x + 20
4
Delproblema,setienenlassiguientesecuaciones:
5x = 15
x =
15
5
x = 3
Operando: x + y = 3 + 20 = 23
Rpta.: 23
35 – y = 15

35 – 15 = y
20 = y
Por propiedad, los lados no paralelos tienen la
misma longitud. Por ende:
4x – 7 =
12x + 20
4

16x – 28 = 12x + 20
4x = 48
x = 12
Rpta.: 12
De la figura, se obtiene la siguiente ecuación:
3x + 4x – 10° + 2x + 3° + x – 3° = 360°
10x – 10° = 360°
10x = 370°
x = 37°
Rpta.: 37°
De acuerdo a los datos, se plantea la siguiente
ecuación:
3x + 10 = 2(2x – 5)
3x + 10 = 4x – 10

10 + 10 = 4x – 3x
20 = x
Dimensiones:
Largo: 3(20) + 10 = 70 cm
Ancho: 2(20) – 5 = 35 cm
Rpta.: El largo es 70 cm y su ancho 35 cm.
De la figura, se pueden plantear las siguientes
ecuaciones:
• 8 – b = b
8 = 2b
4 = b
• 2x – 5 = b + 3
2x – 5 = 4 + 3
2x = 7 + 5
2x = 12
x = 12
2
x = 6
Rpta.: 6
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182
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Cuadriláteros
• La suma de los ángulos interiores de un ______________ es 360°.
• Según el número de lados paralelos, los cuadriláteros pueden ser ________________, ____________ o
______________ .
• Según sus lados y ángulos, los paralelogramos pueden ser ______________, ______________,
______________ o ______________.
• Un trapezoide ______________ es aquel en el que sus dos pares de lados tienen longitudes iguales.
• El trapecio ______________ es aquel en el que sus lados no paralelos tienen la misma longitud.
2) Respecto al siguiente trapecio:
3) Dado el siguiente cuadrado:
60
4) En el siguiente rombo, el ángulo que forma la
diagonal con uno de sus lados mide 52°. Halla la
medida del ángulo agudo del rombo.
5) Dado el siguiente rectángulo, halla el valor de «x».
2x – 10
120°
50° 40°
x
52°
x x
2x – 20
60
cuadrilátero
paralelogramos trapecios
trapezoides
cuadrados rectángulos
rombos romboides
simétrico
isósceles

50° + 120° + x + 40° = 360°
210° + x = 360°
x = 360° – 210°
x = 150°
Rpta.: 150°
2x – 20 = 60
2x = 60 + 20
2x = 80
x = 80 ÷ 2
x = 40
Rpta.: 40

2x – 10 = 60
2x = 60 + 10
2x = 70
x = 70 ÷ 2
x = 35
Rpta.: 35
104° + 104° + x + x = 360°
208° + 2x = 360°
2x = 360° – 208°
2x = 152°
x = 152° ÷ 2
x = 76°
Rpta.: 76°
52°
52°
52°
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Unidad 4
183
Geometría
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Cuadriláteros
1) El Sr. Carlos Salazar decidió cambiar el piso de su patio y, para ello, llamó a su maestro de obra, el cual, por
medio de un cálculo sencillo, determinó que se necesitarían exactamente 25 baldosas del tipo antracita (véase
el gráfico). Luego de ello, el Sr. Carlos fue a la ferretería y compró lo indicado, pero, al salir de esta, se percató
de que desconocía las medidas del largo y ancho del tipo de baldosa adquirida.
Ahora bien, tomando en cuenta lo anterior, resuelve los siguientes problemas y contesta las preguntas.
a) Si el patio del Sr. Salazar tiene unas medidas de longitud de 5 m de largo por 5 m de ancho, según la
clasificación de los cuadriláteros, ¿qué forma tiene la baldosa del tipo antracita? ¿Cuál es el valor de «x» y
«y»? ¿Y cuánto gastó en total?
b) Si el maestro de obra del Sr. Carlos colocara 30 baldosas cuadradas del tipo antracita en el patio de otra
vivienda, de acuerdo con la clasificación de los cuadriláteros, ¿qué forma tendría dicho patio? ¿Por cuántas
filas y columnas estaría conformada si se sabe que el número de baldosas por fila es menor al número de
baldosas por columnas y que, además, se está colocando el máximo número de baldosas en cada fila?
Baldosa antracita
Medida: «x» metros × «y» metros
Precio por unidad:
S/.22
La cantidad de baldosas utilizadas corresponde a una multiplicación de filas por columnas.
Tomando en cuenta que el patio tiene forma cuadrada: a filas × b columnas = 25 baldosas, donde a > 1
y b > 1
Por lo tanto, los únicos números
naturales que dan ese producto son
5 y 5; de manera que, si el patio
posee longitudes de ancho y largo de 5 m cada uno,
se desprende que las medidas de una baldosa son
1 m × 1 m, de donde se deduce los valores
de «x» y «y».
Gasto total: 25 × 22 = S/.550
Rptas.: La baldosa tiene la
forma de un cuadrado. El
valor de «x» es el mismo de
«y» y este es 1. El monto
gastado fue de S/.550.
filas
columnas
De igual modo, el producto de filas y columnas dará 30 baldosas:
Suponiendo que «a» es el número de baldosas de una fila, y «b» el número de baldosas de una columna,
se tiene a × b = 30, donde a < b, por lo tanto, «a» puede tomar los valores: 1, 2, 3 o 5, y «b», 30, 15,
10 o 6, respectivamente.
Se deduce que, si se quiere el máximo número de baldosas en cada fila, habrá 5 baldosas por fila y, por
ende, 6 baldosas por columna.
Rptas.: El patio tendría forma rectangular y estaría conformada por 5 filas y 6 columnas de baldosas
cuadradas.
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Unidad 4
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Geometría Nivel 1 Circunferencia y círculo
1) Observa el gráfico y completa las siguientes oraciones:
A
B C
D
O
• El segmento CD es una ____________.
• El segmento AB es el ____________.
• El punto O es el ____________.
• Al segmento OC se le denomina ____________.
2) Traza con ayuda de un compás las circunferencias que pasan por cada par de puntos, teniendo en cuenta que
los segmentos formados deben ser los diámetros de estas.
3) Observa detenidamente cada figura e indica cuántas circunferencias hay.
N.° de circunferencias: ______ N.° de circunferencias: ______
4) Dibuja con ayuda de un compás lo solicitado.
a) Dos circunferencias con un punto en común. b) Dos circunferencias con dos puntos en común.
A B C
cuerda
diámetro
7 8
centro
radio
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1) Con la ayuda de una regla, mide y contesta.
• ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia? ____________
• ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? ____________
• ¿Cuánto mide la cuerda dibujada en la circunferencia? ____________
2) Lee y desarrolla lo indicado.
a) Si el radio de una circunferencia, en centímetros,
es 2x + 15, halla su medida cuando el valor de
«x» sea igual a 4 cm.
b) Si el diámetro de una circunferencia, en
centímetros, es 3x – 15, determina su medida
cuando el valor de «x» sea igual a 6 cm.
3) Completa los casilleros adecuadamente según las indicaciones.
a) Segmento que une dos puntos
cualesquiera de la circunferencia.
b) Cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia.
c) Segmento que une el centro de
la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma.
d) Punto del que equidistan todos los
puntos de la circunferencia.
e) Línea curva cerrada con todos sus
puntos a igual distancia del centro.
f) Región o superficie plana que está
delimitada por la circunferencia.
e
d
c
b
f
a
Respuestas variables según el tamaño impreso
r = 2x + 15
Si x = 4 cm, se obtiene:
r = 2(4) + 15
r = 8 + 15 = 23 cm
Rpta.: 23 cm
D = 3x – 15
D = 3(6) – 15
D = 18 – 15 = 3 cm
Rpta.: 3 cm
C U E R D A
I
R A D I O
C
U
N
F C
E E
D I Á M E T R O N
E T
N R
C Í R C U L O
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1) Observa el dibujo y contesta.
Si el diámetro de la circunferencia A es 6 cm:
• ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia B? _________
• ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia C? _________
A
B
C
2) Resuelve y responde. ¿Cuántas circunferencias hay en la siguiente figura?
3) Completa las oraciones.
• El diámetro de una circunferencia de 8 cm de radio mide ___________.
• El diámetro de una circunferencia de 11 cm de radio mide ___________.
• Una circunferencia de 24 cm de diámetro tiene un radio de ___________.
• Una circunferencia de 32 cm de diámetro tiene un radio de ___________.
4) En la siguiente figura, halla la medida del segmento OO1 si el radio de la circunferencia de centro O es 8 cm y
el radio de la circunferencia de centro O1 es 5 cm.
O O1
5) Calcula el radio de una circunferencia si sabe que la medida del diámetro (en centímetros) es un número de
dos cifras iguales, comprendido entre 40 y 50.
3 cm
0,75 cm
16 cm
22 cm
12 cm
16 cm
Observando detenidamente la figura se obtiene:
4 + 24 + 12 + 4 + 1 = 45
Rpta.: Hay 45 circunferencias.
De la figura se tiene que:
OO1 = 8 + 5 = 13 cm
Número de dos cifras iguales comprendido entre 40 y 50: 44
Por lo tanto, D = 44 cm.
Así:
r = D ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22 cm Rpta.: 22 cm
O O1
8 cm 5 cm
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Circunferencia y círculo
1) Dibuja en el recuadro lo siguiente:
• Un triángulo rectángulo isósceles.
• Una circunferencia que pasa por los tres vértices
del triángulo.
A continuación, responde:
Según lo trazado, ¿qué elemento de la circunferencia
viene a ser el lado mayor del triángulo?
Respuesta: __________________________________________
2) Respecto a la figura, halla el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado de 8 cm de lado.
8 cm
3) La diagonal de un cuadrado mide 20 cm. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado.
2
0
c
m
4) Resuelve y responde. ¿Cuántas circunferencias
hay en la siguiente figura?
5) Con la ayuda de tu compás, dibuja tres
circunferencias con un mismo centro.
Lado del cuadrado: 8 cm
Por tanto, el diámetro de la circunferencia inscrita es 8 cm.
2r = D → 2r = 8 → r = 4 cm
Rpta.: 4 cm
Diagonal del cuadrado: 20 cm
Por tanto, el diámetro de la circunferencia circunscrita es 20 cm.
2r = D → 2r = 20 → r = 10 cm
Rpta.: 10 cm
4 × 4 + 4 × 1 + 4 × 1 + 1 = 16 + 4 + 4 + 1 = 25
Rpta.: Hay 25 circunferencias.
Viene a ser el diámetro.
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1) Observa y escribe en los recuadros los elementos de la circunferencia.
2) Desarrolla y contesta. ¿Cuántas circunferencias hay en la siguiente figura?
3) Si el radio de una circunferencia, en centímetros, es 3x + 5, halla su medida cuando el valor de «x» sea 5 cm.
4) Une con una flecha cada descripción con el nombre respectivo.
• Equidista con todos los puntos de la
circunferencia.
• • Cuerda
• Segmento que une dos puntos
cualesquiera de la circunferencia.
• • Diámetro
• Cuerda que pasa por el centro. • • Centro
• El círculo es la región del plano encerrada por una circunferencia. (____)
• Por dos puntos puede pasar una sola circunferencia. (____)
• Tres puntos no alineados en el plano determinan una única circunferencia. (____)
• En una circunferencia se pueden trazar infinitas cuerdas. (____)
diámetro radio
cuerda centro
3 × 2 + 5 × 1 = 6 + 5 = 11
Rpta.: Hay 11 circunferencias
Del problema: r = 3x + 5
r = 3(5) + 5
r = 15 + 5 = 20 cm Rpta.: 20 cm
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1) Lee y desarrolla lo indicado.
En la clase de Ciencia y Ambiente, el profesor a cargo desarrolló el tema de los planetas del sistema solar y
sus distintas características. Uno de los puntos en lo que se centró fue las medidas de los radios medios. Para
explicar esto, mencionó que los planetas, al poseer el movimiento de rotación, tienden a achatarse por los
polos; de modo que no se puede hablar de un único radio, sino de un promedio de ellos. A los estudiantes les
pareció fascinante aquello, por lo que quisieron conocer dichas medidas, a lo que el profesor respondió: «Por
ejemplo, la Tierra tiene un radio medio de 6371 km; Marte, 3389,5 km, y Júpiter, 69 911 km».
Asimismo, agregó que la primera medición del tamaño de la Tierra fue hecha por el matemático, astrónomo
y geógrafo griego Eratóstenes, quien en 240 a. C., época en la que todos aceptaban que la Tierra era esférica,
determinó, luego de mediciones casi exactas, que la Tierra poseía un diámetro de 12 000 km.
De acuerdo con el texto, y tomando en cuenta las medidas de los radios medios, resuelve y responde.
a) ¿Cuál es la diferencia entre el diámetro de la Tierra y el de Marte?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el diámetro de Júpiter y el de la Tierra?
c) ¿Cuál fue el margen de error en la medición de Eratóstenes del diámetro de la Tierra con respecto a la
medida promedio según los datos?
Determinando el diámetro de la Tierra:
D = 2r = 2 × 6371 → D(Tierra) = 12 742 km
Determinando el diámetro de Marte:
D = 2r = 2 × 3389,5 → D(Marte) = 6779 km
Diferencia: 12 742 – 6779 = 5963 km
Rpta.: La diferencia entre los diámetros es 5963 km.
Se sabe que el diámetro de la Tierra es 12 742 km.
Determinando el diámetro de Júpiter:
D = 2r = 2 × 69 911 → D(Júpiter) = 139 822 km
Diferencia: 139 822 – 12 742 = 127 080 km
Rpta.: La diferencia entre los diámetros es 127 080 km.
Según Eratóstenes, el diámetro de la Tierra era 12 000 km y, según los datos, se sabe que dicho
diámetro es 12 742 km.
Determinando el margen de error: 12 742 – 12 000 = 742 km
Rpta.: El margen de error fue de 742 km.
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Geometría Nivel 1 Transformaciones en el plano
1) Observa las figuras y escribe las palabras traslación o rotación en cada recuadro según corresponda.
a) b) c) d)
2) Traslada cada figura al punto que se pide y luego pinta las preimágenes.
10
X
Y
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
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5
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2
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1
1
0
A
A
A1 B1
B
B
C
3) Determina la traslación que se ha aplicado a las figuras A, B y C, luego pinta las nuevas imágenes.
a) Para A:
Traslación: _______
b) Para B:
c) Para C:
traslación rotación traslación rotación
16 6
13 6
3 5
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1) Determina con un transportador el ángulo de giro de cada una de las figuras.
a) b) c) d)
2) Observa y encierra la alternativa que cumpla con la traslación 4 4 del cuadrilátero ABCD.
X
Y
10
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A
A1
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C
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B
B1
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A
A1
D
D1
C
C1
B
B1
a) Solo I b) Solo II c) I y II d) Ninguna
3) Halla el ángulo de rotación de cada figura si se sabe que estas giran la misma cantidad de grados en cada rotación.
a) b)
• Una rotación es un movimiento que mantiene el tamaño de la figura inicial. (____)
• Al trasladar una figura siempre se tiene en cuenta el sentido del ángulo. (____)
• La rotación de una figura solo se puede realizar en sentido horario. (____)
• Al hacer una traslación de cualquier figura, esta sigue conservando sus propiedades. (____)
Figura I Figura II
45° 120° 90° 60°
La figura realiza 4
rotaciones iguales y
completa una vuelta.
Así:
q = 360° ÷ 4
q = 90°
Rpta.: 90°
La figura realiza 3
rotaciones iguales y
completa una vuelta.
Así:
q = 360° ÷ 3
q = 120°
Rpta.: 120°
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1) Con respecto a la figura mostrada, ¿cuál de las
opciones no corresponde a una rotación? Guíate del
centro de rotación y encierra la alternativa correcta.
a) b) c) d)
2) Escribe V si el enunciado es verdadero o F si es
falso según corresponda.
• Cuando se hace una traslación, a la figura original
se le conoce con el nombre de imagen. (____)
• Si se hace una rotación de 360° a una figura, se
obtiene esta misma en su posición inicial. (____)
• Unarotaciónde30°,seguidadeotrade60°siempre
es equivalente a una rotación de 90°. (____)
3) Observa y especifíca las trasformaciones que se aplicaron al cuadrilátero ABCD si se sabe que primero se
realizó una rotación en torno al vértice A, seguida de una traslación.
X
Y
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6
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X
Y
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11 12 13 14 15 16
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5
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3
3
2
2
1
1
0
4) Representa en el plano cartesiano el trapecio ABCD con las coordenadas A(0; 2), B(1; 6), C(3; 6), D(4; 2); luego
grafica la imagen A1B1C1D1 del trapecio ABCD obtenida mediante la traslación 5 4 . Seguidamente, dibuja la
imagen A2B2C2D2 que resulta al aplicar la traslación 5 6 al trapecio A1B1C1D1. Por último, determina si existe
una traslación que lleve al trapecio ABCD a la posición del trapecio A2B2C2D2.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
F
V
F
La preimagen es el cuadrilátero
ABCD y la imagen es el cuadrilátero
A1B1C1D1.
Al revisar los vértices, se observan
las siguientes transformaciones:
• Una rotación de 90° en sentido
horario o de 270° en sentido
antihorario.
• Luego, la traslación 11 6 .
Al realizar las traslaciones, se
observa que existe una traslación
del trapecio ABCD hasta el trapecio
A2B2C2D2, dicha traslación es:
10 2
A
B C
D
A1
B1 C1
D1
A2
B2 C2
D2
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Transformaciones en el plano
1) En la siguiente figura, el triángulo A1B1C1 es el
resultado de haber aplicado la traslación 5 3
a otro triángulo ABC. Determina los vértices del
triángulo ABC y traza la figura.
X
Y
9
9
8
8
6
6
7
7
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
A1
B1
C1
2) Si A(2; 8), B(4; 3) y C(6; 7) son los vértices de un
triángulo, determina las nuevas coordenadas de
los vértices luego de aplicar la traslación 2 6 .
3) En la siguiente figura, el triángulo rectángulo rota
en sentido horario 60° en torno al vértice H, y
luego 120° en sentido antihorario con respecto
al mismo punto. ¿Qué figura representa mejor
dichas rotaciones? Encierra la alternativa correcta
y justifica mediante gráficos.
L
H
a) L H
b) L H
c)
L
H
d)
L
H
4) Observa y contesta. ¿Cuál es el ángulo de rotación
de las piezas del siguiente mosaico?
A
B
C
Vértices del triángulo A1B1C1:
A1 = (6; 5) B1 = (6; 8) C1 = (8; 4)
Para hallar los vértices del triángulo ABC, se
restan 5 unidades a la primera coordenada y
3 unidades a la segunda, así se tiene:
A = (1; 2) B = (1; 5) C = (3; 1)
Rotación de 60° en
sentido horario en
torno al vértice H:
L H
60°
Luego, se rota 120° en
sentido antihorario en
torno al mismo vértice:
L H
120°
La traslación 2 6 indica que se debe
aumentar 2 unidades a la primera coordenada
y 6 unidades a la segunda, así se tendría:
A1 = (2 + 2; 8 + 6) = (4; 14)
B1 = (4 + 2; 3 + 6) = (6; 9)
C1 = (6 + 2; 7 + 6) = (8; 13)
Se rota la figura 90°, luego 90° más:
90° 90°
Así,elmosaicoseconstruyeconpiezasquerotan180°.
Rpta.: 180°
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1) Dibuja las figuras según la traslación y rotación indicadas en cada caso.
2) Observa la figura y escribe el (los) tipo(s) de transformación(es) que se ha(n) empleado en cada figura.
a) b) c)
3) Si se sabe que a las figuras se les aplicó una traslación y luego una rotación (esta última en torno a los puntos
indicados), completa los espacios en blanco según lo señalado. Ten en cuenta que I es la figura inicial y II es la
transformación que ha ocurrido.
Y
10 11 12
9
10
11
9
8
8
6
6
7
7
5
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0 X
10
11
X
Y
10 11 12
9
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6
6
7
7
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4
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2
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1
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C
X
Y
6
7
5
5
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2
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A
I
II
X
Y
6
7
5
5 7
4
4 6
3
3
2
2
1
1
0
B
I
II
Traslación: ______
Rotación: _____________
_____________________
Vértices de la preimagen:
_____________________
_____________________
Traslación: ______
Rotación: _____________
_____________________
Vértices de la imagen:
_____________________
_____________________
a) b)
Rotación de 90° en sentido horario en torno
al vértice C, seguido de la traslación 3
Rotación de 90° en sentido horario en torno
al punto (4; 3)
traslación rotación traslación y rotación
2 3 1
90° en sentido
antihorario
90° en sentido
antihorario
(0; 6), (0; 7), (3; 7), (3; 5),
(2; 5), (2; 6)
(4; 5), (4; 6), (6; 6), (6; 7),
(7; 7), (7; 5)
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195
Geometría
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1) Un albañil, al visitar una catedral, quedó perplejo por los vitrales con los que se encontraba decorada aquella
construcción. Por ello, decidió elaborar una pieza similar que exhibiría en su taller con el fin de obtener más
trabajos. De esta manera, semanas después, se acercó un hombre que le pidió que decore la iglesia de su
urbanización con el tipo de vitral que el albañil había copiado. Este, muy amable, aceptó; sin embargo, tuvo
que hacer un viaje de improviso a otra ciudad, donde vivía su familia, por lo que dejó a cargo del trabajo a
su compañero sin previa coordinación. El compañero, al ver la forma de cómo tenía que estar compuesto el
diseño y solo tener un tipo de pieza, dedujo que debía hacer algunos movimientos con las piezas iguales para
llegar a copiar el modelo asignado. Ahora bien, resuelve y contesta las siguientes preguntas:
a) Si el tipo de pieza de la que se compone el vitral es el siguiente: y, además, el diseño que se quiere
lograr es el que se muestra en la imagen de la parte inferior, ¿qué movimientos realizó el compañero del
albañil para lograr dicho diseño?
b) Si el diseño se quiere colocar en dos secciones de la iglesia, cada uno con 10 m de alto por 15 m de largo,
¿cuántas piezas se utilizarán en total?
40 cm
80 cm
2) Pedro en su visita por el centro de la ciudad observa en las paredes de una casona antigua dos tipos de mosaicos
diferentes que, al percatarse bien, estaban incompletos. Este, al querer completarlas, se da cuenta que algunas
filas están compuestas por una tesela y rotaciones de esta con un ángulo de 90° en un mismo sentido, y otras,
compuestas por traslaciones de dos teselas distintas. Dibuja las teselas faltantes para completar los mosaicos.
Los movimientos que realizó son rotaciones y traslaciones
de las siguientes maneras:
La pieza inicial es un cuadrado de 20 cm de lado.
Número de piezas que habrá por lado en cada sección:
Alto: 10 m = 1000 cm → n.° de piezas: 1000 ÷ 20 = 50
Largo: 15 m = 1500 cm → n.° de piezas: 1500 ÷ 20 = 75
Por lo tanto, el número de piezas utilizadas en total será:
2 × 50 × 75 = 7500
Respuesta de b): Se utilizarán en total 7500 piezas.
Respuesta de a): Realizó
rotaciones de 90° y traslaciones
conforme se compuso el vitral.
Rotación 90°
traslación
P
r
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Geometría Nivel 1
1) Observa las figuras y marca con un aspa (X) el par donde exista simetría con respecto al eje indicado.
a) b)
2) Dibuja el reflejo de cada figura respecto al eje de simetría.
a) b)
3) Observa los dibujos y traza una figura simétrica respecto al punto O.
a) b)
Simetrías central y axial
O O
A
B C A
B
C
A1
A1
B1
B1
C1
C1
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Geometría Nivel 2 Simetrías central y axial
1) Dibuja una figura simétrica respecto a las siguientes figuras:
a) b)
2) Lee y encierra la alternativa correcta.
• ¿Cuál es el par de figuras simétricas con respecto al eje de simetría L?
a) b) c) d)
• ¿Cuál es el par de figuras no simétricas con respecto al eje L?
a) b) c) d)
3) Observa los dibujos y traza una figura simétrica respecto al punto O.
a) b)
O
L L L
L
L
L
L
L
O
O
A
B
C
B1
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Geometría Nivel 3 Simetrías central y axial
Geometría
1) Observa las figuras simétricas y escribe V si es verdadero o F si es falso.
• Los puntos A y M son simétricos. (___)
• Los puntos B y L son simétricos. (___)
• Los segmentos DE y PQ son simétricos. (___)
• Los puntos H y T están a igual distancia
del eje de simetría. (___)
• El segmento que se formaría con los
puntos G y S sería perpendicular al
eje de simetría. (___)
2) Traza una figura simétrica tomando como centro el punto O.
a) b)
3) En la cuadrícula, traza un eje para que las figuras sean simétricas en cada caso.
a) b)
Q
P
O
N
M
L
T
S
R
F
G
H
I
A
B
C
D
E
O
O
A B
C
E
A
E
D
C
B
G
F D
V
F
V
V
V
A1
G1
F1
E1
B1
C1
D1
A1
E1
D1
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1) ¿En qué gráfico se presenta una simetría axial respecto a uno de los ejes coordenados? Encierra la alternativa
correcta.
a) b) c) d)
2) Desarrolla según las indicaciones y responde las preguntas.
• Dibuja la figura B que debe ser simétrica a la figura A.
• Dibuja la figura C que debe ser simétrica a la figura B.
• ¿Son simétricas las figuras A y C? _______________________
• ¿Cómo se puede obtener la figura C a partir de la figura A? ____________________
Figura A Figura B Figura C
3) Grafica una figura simétrica al triángulo ABC tomando como centro el punto O, luego traza una figura simétrica
a la figura obtenida tomando como centro el punto O1. Seguidamente, contesta la pregunta.
O O1 A
B
C
• ¿Qué relación hay entre el triángulo ABC y el último gráfico obtenido?
______________________________________________________________________________________
El último gráfico obtenido es una traslación del triángulo ABC.
A y C no son simétricas.
Trasladándola
A2
A1
C1
B1
C2
B2
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1) Traza una figura simétrica respecto al eje indicado.
2) Si se sabe que la figura A y la figura B son simétricas respecto a un punto, dibuja dicho punto y traza las líneas
que unen los vértices simétricamente.
A
B
3) En cada figura se muestra un polígono. Si se trazan figuras simétricas respecto al punto O en cada caso, ¿cuál
es el resultado? Dibuja.
a) b)
O O
O
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1) Lee y desarrolla según lo indicado.
Juan, Teresa y Felipe revisaban un almanaque y
encontraron la fotografía de las Torres Petronas,
situadas en Kuala Lumpur, capital de Malasia, las
cuales fueron los edificios más altos del mundo
entre 1998 y 2003. Los tres amigos asociaron lo
encontrado con el último tema dictado por su
profesor de Matemática que fue simetría central
y axial.
Ahora, responde:
a) Según lo anterior, ¿estas torres poseen la
característica de haberse construido por
simetría central o axial?
b) ¿El eje de simetría fue vertical u horizontal?
c) Dibuja,contulápiz,elelementonecesariosobre
la imagen para que se dé el tipo de simetría que
lo caracteriza.
d) Observa la imagen y bosqueja una figura
simétrica con respecto al punto O.
O
Por simetría axial.
El eje de simetría fue vertical.
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Geometría Nivel 1 Perímetro
1) Escribe qué tipo de triángulo representa cada figura según las medidas de sus lados. Luego, calcula su
perímetro (P).
a)
5 cm
4 cm
3 cm
________________________
P = _____________________
b)
2 cm 2 cm
2 cm
________________________
P = _____________________
c)
3 cm
6 cm
3 cm
________________________
P = _____________________
2) Escribe el nombre de cada cuadrilátero y calcula su perímetro.
a)
2 cm
3 cm
________________________
P = _____________________
b)
9 cm
11 cm
________________________
P = _____________________
c)
5 cm
9 cm
15 cm
________________________
P = _____________________
3) Mide los lados de las figuras, escribe cada medida en su lado correspondiente y calcula el perímetro.
a)
P = _____________________
b)
P = _____________________
c)
P = _____________________
escaleno
rectángulo
Respuestas variables según el tamaño impreso.
equilátero
romboide
isósceles
trapecio isósceles
3 + 4 + 5 = 12 cm
2 × 2 + 3 × 2 = 10 cm
2 × 3 = 6 cm
11 × 2 + 9 × 2 = 40 cm
6 + 3 × 2 = 12 cm
9 + 15 + 5 × 2 = 34 cm
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1) Calcula el perímetro de cada polígono y contesta las preguntas.
a)
2 cm
P = _____________________
b) 1 cm
3 cm
1 cm
2 cm
P = _____________________
c)
2 cm
P = _____________________
• ¿En todas las figuras se puede usar la multiplicación para calcular el perímetro? ______________________
• ¿En cuáles sí se puede usar? _______________________________________________________________
• ¿Por qué? ______________________________________________________________________________
2) Mide los lados de las figuras que cada niño dibujó, escribe cada medida en su lado correspondiente y calcula
el perímetro. Luego, contesta la pregunta.
P = _____________________ P = _____________________ P = _____________________
• ¿Qué niño dibujó la figura con el mayor perímetro? ___________________________________________
3) Halla el perímetro de los siguientes polígonos:
a)
4 cm
5 cm
2 cm
P = _____________________
b)
5 mm
4 mm
2 mm
6 mm
P = _____________________
c)
2 m
2 m
3 m
3 m
3 m
P = _____________________
Franco Liliana Rodrigo
Respuestas variables según el tamaño impreso.
2 × 7 = 14 cm 2+1+1+2+1+3=10cm 2 × 4 = 8 cm
No.
Franco
4 + 5 + 2 = 11 cm 2 + 4 + 6 + 5 = 17 mm 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 13 m
En el heptágono y el cuadrado.
Porque esos polígonos tienen sus lados iguales (son equiláteros).
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1) Según los datos mostrados en cada figura, calcula la medida del segmento indicado.
a) Triángulo DEF
P = 28 cm
12 cm
D
E
F
10 cm
Medida del segmento EF:
b) Cuadrado PQRS
P = 36 cm
P
Q R
S
Medida del segmento PQ:
c) Romboide MNOP
P = 50 cm
15 cm
M
N
O
P
Medida del segmento OP:
d) Trapecio isósceles ABCD
P = 46 cm
A
B
C
D
12 cm
18 cm
Medida del segmento AD:
2) Resuelve y responde las preguntas.
a) Jaime tiene un jardín en forma de hexágono regular de 300 cm de lado en su patio trasero y le puso un
cordón de alambre alrededor. ¿Cuántos metros de alambre utilizó?
b) Andrea dibujó un cuadrilátero. Las medidas de tres de sus lados son 3 cm, 4 cm y 5 cm, y su perímetro es
15 cm. ¿Cuánto mide el lado restante?
3) Calcula el perímetro de la siguiente figura si se sabe que el valor de «x» es 3 cm.
3x + 5
2x + 1
Cálculo del perímetro:
P = 2x + 1 + 2x + 1 + 3x + 5 + 3x + 5 = 10x + 12
Reemplazando «x» por 3:
P = 10 × 3 + 12 = 30 + 12 = 42 cm
Rpta.: 42 cm
EF = 28 – (12 + 10) = 6 cm
PQ = 36 ÷ 4 = 9 cm
Operación: (300 × 6) ÷ 100 = 18 m Rpta.: Utilizó 18 m.
Operación: 15 – (3 + 4 + 5) = 3 cm Rpta.: El lado restante mide 3 cm.
OP = [50 – (15 × 2)] ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 cm
AD = [46 – (18 + 12)] ÷ 2 = 8 cm
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Perímetro
1) Halla el valor de «x» si el perímetro de la figura
mostrada es 136 cm.
11x – 30
12x – 8
11x – 30
2) Halla el valor de «x» si el perímetro del polígono
mostrado es 72 cm.
8 cm
9 cm
11 cm 13 cm
10 cm
7 cm
2x
3) Calcula el perímetro de la siguiente figura:
2 m
4 m
1 m
3 m
4) Calcula el perímetro de las figuras A y B utilizando
coordenadas.
Y
10 11 12 13
9
8
6
6
7
7
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0 X
A
B
5) Dado el siguiente gráfico, calcula el perímetro de
la región sombreada si se sabe que MNOP es un
rombo y M, N, O y P son puntos medios de los
lados respectivos.
A
M
B C
D
N
P
O
4 cm
5 cm
6 cm
O
5 cm
Se tiene la ecuación:
P = 2(12x – 8) + 2(22x – 60) = 136
68x – 136 = 136
68x = 272
x = 4 Rpta.: 4 cm Hallando los perímetros:
Figura A:
Del punto (1; 1) al punto (1; 6) hay 5 unidades
Luego, la figura A es un cuadrado de lado 5.
Perímetro de A: 5 × 4 = 20 unidades
Figura B:
Perímetro de B: 3 + 3 + 2 + 2 + 5 + 5 = 20 unidades
Rpta.: Las figuras A y B tienen un perímetro de
20 unidades cada una.
Se tiene la ecuación:
2x + 10 + 13 + 11 + 7 + 9 + 8 = 72
2x + 58 = 72
2x = 14
x = 7
Rpta.: 7 cm
Cálculo del perímetro:
P = 4 × 3 + 3 × 2 + 1 × 2 + 2 = 22 m
Rpta.: 22 m
Cálculo del perímetro de la región sombreada:
P = P(ABCD) + P(MNOP)
P = (6 × 2 + 8 × 2) + (5 × 4) = 28 + 20 = 48 cm
Rpta.: 48 cm
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Perímetro
1) Halla el perímetro de los siguientes polígonos:
a)
30 cm
25 cm
53°
74° 53°
P = ______________________
b) 25 cm
10 cm
P = ______________________
c)
42 cm
13 cm
110°
110°
70°
70°
P = ______________________
2) Resuelve y responde.
a) Si el perímetro de la figura es 20 cm, ¿cuál es el valor de «x»?
6,5 cm
x
b) Tomás tiene que poner una alambrada en una parcela con forma de hexágono regular. Cada lado mide
28 m y va a cercarla como indica la figura. ¿Cuántos metros de alambre necesitará?
3) Observa la figura y calcula el perímetro de:
a) la ventana.
b) la puerta.
c) la fachada (parte blanca).
50 cm 100 cm
130 cm
30 cm
70 cm
200 cm
100 cm
25 cm
25 × 2 + 30 = 80 cm
25 cm
13 cm
42 cm
10 × 2 + 25 × 2 = 70 cm 42 × 2 + 13 × 2 = 110 cm
10 cm
Se tiene: P = 6,5 + 6,5 + x + x
20 = 13 + 2x
7 = 2x
3,5 = x Rpta.: 3,5 cm
Del problema:
Perímetro: 28 × 6 = 168 m
Cantidad de alambre: 168 × 2 = 336 m
Rpta: Necesitará 336 m de alambre.
Resolviendo:
a) Perímetro de la ventana:
100 + 130 + 100 + 130 = 460 cm
b) Perímetro de la puerta:
100 + 70 + 130 + 100 + 130 + 70 = 600 cm
c) Perímetro de la fachada:
50 + 70 + 130 + 100 + 130 + 70 + 200 + 70 +
130 + 30 + 200 + 100 + 50 + 30 + 130 + 70 +
100 + 130 + 100 + 130 = 2020 cm
Rptas.: Los perímetros de la ventana, la
puerta y la fachada son 460; 600 y 2020 cm,
respectivamente.
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207
Geometría
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Perímetro
1) Carlos desea construir su casa en un terreno rectangular que había comprado, por lo cual contrató a un
arquitecto para que le diseñe los planos de su futura casa. Este le presentó un primer bosquejo, el cual se
observa en el gráfico, compuesto por una cocina, un área de servicios, un baño, una sala, un almacén y una
habitación, donde se indican las dimensiones respectivas:
1 m
3 m
3 m
3 m
3 m
2 m
2 m
2 m
Área de
servicios
Cocina
Sala
Baño
Habitación
Almacén
Según lo anterior, calcula el perímetro de los siguientes espacios:
a) De la habitación
b) De la sala
c) De la cocina
d) Del almacén
e) Del área de servicio
f) Del baño
P = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 m
Rpta.: 12 m
P = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 m
Rpta.: 6 m
P = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 m
Rpta.: 16 m
P = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 m
Rpta.: 8 m
P = 3 + 3 + 2 + 2 = 10 m
Rpta.: 10 m
P = 2 + 2 + 3 + 3 = 10 m
Rpta.: 10 m
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208
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Geometría Nivel 1 Área
1) Calcula el área de los siguientes cuadrados:
a) b)
2) Calcula el área de los siguientes rectángulos:
a) b)
3) Determina el área de cada triángulo considerando que el lado de cada mide 2 cm.
a)
b)
c)
d)
10 cm 2 cm
10 cm
20 cm 140 cm
2 cm
Datos: l = 10 cm
A = l2 = 102 = 100 cm2
Datos: b = 20 cm h = 10 cm
A = b × h = 20 × 10 = 200 cm2
A = b × h = 140 × 2 = 280 cm2
Datos: l = 2 cm
A = l2 = 22 = 4 cm2
A =
b × h
2
=
20 × 6
2
= 60 cm2
A = b × h
2
= 10 × 16
2
= 80 cm2
A = b × h
2
= 8 × 4
2
= 16 cm2
A = b × h
2
= 20 × 10
2
= 100 cm2
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Unidad 4
209
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Editorial.
1) Calcula el área de cada triángulo.
a)
2) Calcula el área de cada figura considerando que el lado de cada mide 3 cm.
a) b)
3) Resuelve y responde. Se desea vender un terreno cuya forma es un trapecio. Si el metro cuadrado del mismo
se cotiza a S/.230, ¿cuánto costará dicho terreno?
b) c)
6 hm
8 hm
13 m
8 cm
7 cm
60 m
40 m
20 m
4) Resuelve y responde las preguntas.
a) ¿Cuál es el área de un triángulo de 15 cm de
altura si se sabe que su base es el doble de esta?
b) ¿Cuál es el área de un terreno rectangular que
tiene 45 m de largo y un ancho de 14 m menos
que este?
10 m
Datos: b = 8 hm h = 6 hm
A = b × h
2
= 8 × 6
2
= 24 hm2
Datos: b = 10 m h = 13 m
A = b × h
2
= 10 × 13
2
= 65 m2
A = b × h
2
= 8 × 7
2
= 28 cm2
Datos: D = 24 cm d = 12 cm
A = D × d
2
= 24 × 12
2
= 144 cm2
Datos: B = 60 m b = 20 m h = 40 m
Cálculo del área del trapecio:
A = (B + b
2 )× h = (60 + 20
2 )× 40 = 40 × 40 = 1600 m2
Por ende, 1600 × 230 = S/.368 000
Rpta.: Costará S/.368 000.
A = b × h = 15 × 15 = 225 cm2
Datos: h = 15 cm b = 30 cm
A = b × h
2
= 30 × 15
2
= 225 cm2
Rpta.: 225 cm2
Datos:
Largo = 45 m Ancho = 31 m
A = 45 × 31 = 1395 m2
Rpta.: 1395 m2
P
r
o
y
e
c
t
o
E
d
u
c
a
t
i
v
o
P
i
l
a
r
e
s

Ficha de trabajo
Unidad 4
210
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Geometría
1) Observa las figuras representadas en el plano y determina el área de cada una.
a) Área del trapecio ABCD
b) Área del trapecio EFGH
c) Área del trapecio IJKL
2) Calcula el área de las siguientes figuras compuestas:
a) b)
3) Calcula el área que encierra la circunferencia si se sabe que esta se halla multiplicando el valor de π = 3,14 por
el cuadrado del radio de la circunferencia.
12 cm
6 cm
6 cm
2 cm
6 m
3 m
7 m
4 m
r = 10 cm
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cm
Y
X cm
A
B
C
D
F
G
I L
J K
H E
Datos:
B = 7 cm
b = 5 cm
h = 3 cm
A = (7 + 5
2 )× 3
A = 6 × 3
A = 18 cm2
Datos:
B = 10 cm
b = 3 cm
h = 4 cm
A = (10 + 3
2 )× 4
A = 13 × 2
A = 26 cm2
Datos:
B = 4 cm
b = 2 cm
h = 3 cm
A = (4 + 2
2 )× 3
A = 3 × 3
A = 9 cm2
Calculando áreas:
A1 = 3 × 7 = 21 m2
A2 = 7 × 6
2
= 21 m2
A3 = 4 × 3
2
= 6 m2
A = A1 + A2 + A3 = 21 + 21 + 6 = 48 m2
Calculando áreas:
A1 = 6 × 6
2
= 18 cm2
A2 = 12 × 2 = 24 cm2
A = A1 + A2 = 18 + 24 = 42 cm2
Datos: π = 3,14 r = 10 cm
A = πr2
A = 3,14 × (10)2
A = 314 cm2
A1
A1 A3
A2
A2
P
r
o
y
e
c
t
o
E
d
u
c
a
t
i
v
o
P
i
l
a
r
e
s

Ficha de trabajo
Unidad 4
211
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Área
1) Calcula el área de la figura.
2) Si AD = DE = EC, AC = 18 cm y BH = 10 cm, halla el
área del triángulo BDE.
3) Calcula el área del romboide si cada tiene 2 cm2
de área.
4) Calcula el área de cada polígono compuesto y
da como resultado la suma de estas (todas las
medidas están en centímetros).
6
4
1
1
8
4
5
5) Calcula el área de la siguiente figura:
6 cm
2 cm
2 cm
3 cm
7 cm 2 cm
5 cm
4 cm
3 cm
4 cm
2 cm
2 cm
A H D E C
B
Calculando el área de la figura:
A = 3 × 2
2
+ 2 × 3 + 3 × 4
2
= 3 + 6 + 6 = 15 cm2
Calculando el área:
DE = 18 ÷ 3 = 6 cm
A = 6 × 10
2
= 30 cm2
Datos: b = 8 h = 3
Total de en el romboide: 8 × 3 = 24
A = 24 × 2 = 48 cm2
Cálculo del área:
A = 6 × 6
2
+ 2 × 2 + 3 × 7+ (3 + 5
2 )× 2
A = 18 + 4 + 21 + 8 = 51 cm2
Cálculo del área del 1.er polígono:
A1 = 8 × 5
2
+ 8 × 4 = 20 + 32 = 52 cm2
Cálculo del área del 2.o polígono:
A2 = (6 + 8
2 )× 4 = 7 × 4 = 28 cm2
Suma de áreas:
A = A1 + A2 = 52 + 28 = 80 cm2
Rpta.: 80 cm2
P
r
o
y
e
c
t
o
E
d
u
c
a
t
i
v
o
P
i
l
a
r
e
s

Unidad 4
212
Geometría
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Área
1) Dibuja los trapecios en la cuadrícula según lo indicado en los enunciados. Luego, calcula en el recuadro su área
según corresponda.
a) Un trapecio isósceles que tenga una altura
de 3 cm y cuyas bases midan 8 cm y 4 cm,
respectivamente.
b) Un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos
midan 3 cm y 6 cm, y que el lado perpendicular
a estos mida 3 cm.
2) Calcula el área de las siguientes figuras compuestas:
a) b)
3) Calcula el área de la figura.
1 cm
}
}
1 cm
1 cm
}
}
1 cm
5 cm
6 cm
10 cm
8 cm
10 cm
8 cm
6 cm
2 cm
5 cm
4 cm
3 cm
5 cm
2 cm
2 cm
2 cm
A = (8 + 4
2 )× 3 = 6 × 3 = 18 cm2
A = (6 + 3
2 )× 3 = 4,5 × 3 = 13,5 cm2
A1
A1
A1
A2
A2
A2
Calculando áreas:
A1 = (14 + 8
2 )× 2 = 22 cm2
A2 = 6 × 5 = 30 cm2
A = A1 + A2 = 22 + 30 = 52 cm2
Calculando áreas:
A1 = 5 × 4 = 20 cm2
A2 = 8 × 6 = 48 cm2
A = A1 + A2 = 20 + 48 = 68 cm2
Se divide la figura en dos regiones rectangulares
(A1 y A2) y se calculan las áreas respectivas:
A1 = 5 × 2 = 10 cm2
A2 = (2 + 2 + 3) × 2 = 14 cm2
A = A1 + A2 = 10 + 14 = 24 cm2
P
r
o
y
e
c
t
o
E
d
u
c
a
t
i
v
o
P
i
l
a
r
e
s

Unidad 4
213
Geometría
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Área
1) Para diseñar los planos de un edificio, el arquitecto a cargo pidió a la constructora que estimara la cantidad
de automóviles que deberían caber en el estacionamiento. Luego de que le entregaran la cifra, el arquitecto
trabajó en el diseño y después les mostró el dibujo de cómo quedaría dicho estacionamiento, para lo cual tuvo
que calcular las áreas.
A
B
6 m
5 m 3 m
3 m
Según lo anterior, contesta y desarrolla las preguntas.
a) ¿Cuál es el área de la zona de estacionamiento A?
b) ¿Cuál es el área de la zona de estacionamiento B?
c) ¿Cuál es el área por cada automóvil de la zona A?
d) ¿Qué zona del estacionamieto tiene menor área?
El área solicitada corresponde al área de una región rectangular:
A = 6 × 3 = 18 m2
Rpta.: 18 m2
El área solicitada corresponde al área de una región rectangular:
A = 5 × 3 = 15 m2
Rpta.: 15 m2
El área por cada automóvil de la zona A es:
18 ÷ 3 = 6 m2 por cada automóvil.
Rpta.: 6 m2
Zona A: 18 m2 Zona B = 15 m2
Rpta.: La zona que tiene menor área es la zona B.
P
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