Medidas de centralización y de dispersión

PRINCIPIOS DE ESTADISTICA
M. en C. Francisco Hurtado Rico
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Medidas numéricas Descriptivas
Las medidas numéricas descriptivas se emplean usualmente para describir
conjuntos de datos. De la misma manera que las gráficas pueden mejorar la
presentación de datos, las descripciones numéricas son también valiosas.
Medidas de Tendencia Central
El análisis estadístico propiamente dicho, parte de la búsqueda de parámetros
sobre los cuales pueda recaer la representación de toda la información.
Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en
el centro de la información, son de gran importancia en el manejo de las
técnicas estadísticas, sin embargo, su interpretación no debe hacerse
aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la representabilidad de ellas
está asociada con el grado de concentración de la información.
 Media aritmética
Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. Cuando
por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de
cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente
los 20 cigarrillos que contiene un paquete sino que es el resultado de la
observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18, un día; 19 otro; 20, 21,
22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará alrededor de 20.
Matemáticamente, la media aritmética se define como la suma de los valores
observados dividida entre el número de observaciones.
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n



 121 
x : Media aritmética de la variable X
xi: Valores de la variable X
n: Número de observaciones
Ejemplo 1: Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana.
Lunes: 18 Martes: 21 Miércoles: 22
Jueves: 21 Viernes: 20 Sábado: 19
Domingo: 19
Entonces la media aritmética es:
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n



 121 

20
7
19192021222118
77
7654321
7
1





 xxxxxxx
x
x i
i
El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios.
Cuando la variable está agrupada en una distribución de frecuencias, la media
aritmética se calcula por la fórmula:
n
fx
n
fxfxfx
x
n
i
ii
nn



 12211 
Ejemplo 2: Obtenga la media aritmética de la siguiente tabla de frecuencia.
Cantidad de Cigarrillos Consumidos
por un Fumador en una Semana
Cantidad
xi
Frecuencia
f
18 1
19 2
20 1
21 2
22 1
7
diascigarrillo
n
fx
x
n
i
ii
/20
7
)1(22)2(21)1(20)2(19)1(181




Calculo de La Media Aritmética.
El Salario/día de 50 Operarias
Pesos/día fi xi fi
50 1 50
51 3 153
52 5 260
53 9 477
54 12 648
55 10 550
56 5 280
57 3 171
58 2 116
sumas 50 2705

diapesos
fx
x i
ii
/1.54
50
2705
50
9
1


Si la información está relacionada en una distribución de frecuencias por
intervalos, se toman como valores de la variable las marcas de clase de los
intervalos, entiéndase por marca de clase el punto medio entre los límites de
cada clase o intervalo.
Cálculo de La Media Aritmética de la
Resistencia de 100 Baldosas
Resistencia
Kg/cm2 x fi xifi
100-199 150 4 600
200-299 250 10 2500
300-399 350 21 7350
400-499 450 33 14850
500-599 550 18 9900
600-699 650 9 5850
700-799 750 5 3750
sumas 100 44800
448
100
44800
100
7
1

i
ii fx
x
La resistencia promedio de las 100 baldosas es de 448 Kg/Cm².
 LA MEDIANA
Otra medida de tendencia central, utilizada principalmente en estadística
no paramétrica, es la mediana, la cual no se basa en la magnitud de los datos,
como la media aritmética, sino en la posición central que ocupa en el orden de
su magnitud, dividiendo la información en dos partes iguales, dejando igual
número de datos por encima y por debajo de ella.

 La Mediana Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos.
Partiendo de la información bruta, ordenamos los datos ascendente o
descendentemente:
nxxx  21
imparesnsixMmediana ne
)
2
1
(

paresnsi
xx
Mmediana
nn
e
2
)1
2
()
2
( 


En el ejercicio de los cigarrillos, consumidos por un fumador tenemos lunes 18,
martes 21, miércoles 22, jueves 21, viernes 20, sábado 19, y domingo 19.
Ordenando ascendentemente:
22212120191918 7654321  xxxxxxx
n, es impar, entonces
204
)1
2
7
()
2
1
(


 xxxMmediana ne
Veamos cuando n es par:
Consumo mensual de agua, en m3, por la fábrica de
Confecciones “la hilacha”.
Enero= 10, Mayo= 14, Septiembre= 18,
Febrero= 12, Junio= 19, Octubre= 22,
Marzo= 15, Julio= 17, Noviembre= 15,
Abril= 18, Agosto= 18, Diciembre= 13
17151514131210 7654321  xxxxxxx
2219181818 12111098  xxxxx
16
222
76
)1
2
12
()
2
12
()
2
1
()
2
(









xx
xxxx
Mmediana
nn
e
.
Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente
a la información, es un parámetro que divide la información dejando el 50%
por encima y el 50% por debajo de ella.

 La Mediana Cuando la Información se Encuentra Agrupada en Intervalos
Si la información esta agrupada en intervalos iguales, entonces la mediana se
calcula según la siguiente expresión:
A
f
ifa
n
LIMe
i
)1(
2


Me: Mediana
LI: Límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (intervalo
mediano), el cual se determina observando en que clase se encuentra la
posición n/2.)
n: Número de observaciones
fa(i-1): Frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano
fi: Frecuencia del intervalo mediano
A: Amplitud del intervalo
Ejemplo 5: Obtenga la mediana de la siguiente tabla de frecuencia.
Cálculo de La mediana de la
Resistencia
Kg/cm2 x fi fi A
100-199 150 4 4
200-299 250 10 14
300-399 350 21 35
400-499 450 33 68
500-599 550 18 86
600-699 650 9 95
700-799 750 5 100
sumas 100
50
2
100
2

n
en la columna de frecuencia acumulada advertimos que la observación número
50 se halla en el cuarto intervalo 4.
245.445100
33
35
2
100
)1(
2
cm
KgA
f
ifa
n
LIMe
i





Se concluye que el 50% de las baldosas resiste menos de 445.45 Kg/Cm2
y el
50% resiste mas de 445.45 Kg/Cm2
.

 La moda
La moda, como su nombre lo indica, es el valor más común (de mayor
frecuencia dentro de una distribución). Una información puede tener una moda
y se llama unimodal, dos modas y se llama bimodal, o varias modas y llamarse
multimodal. Sin embargo puede ocurrir que la información no posea moda.
 La Moda Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos
Ejemplo 6. Encuentre la moda de la tabla de frecuencia mostrada.
El Salario/día de 50 Operarias
Pesos/día fi
50 1
51 3
52 5
53 9
54 12
55 10
56 5
57 3
58 2
El valor que más veces se repite es 54 con una frecuencia de 12, entonces
decimos que la moda es Mo = 54.000.00 pesos diarios.
Cantidad de Cigarrillos Consumidos
por un Fumador en una Semana
Cantidad
xi
Frecuencia
f
18 1
19 2
20 1
21 2
22 1
Los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y 21, por lo tanto se trata
de una distribución bimodal con Mo1=19 y Mo2=21.
 Cálculo de la Moda Cuando la Información está Agrupada en Intervalos
Cuando la información se encuentra agrupada en intervalos de igual tamaño la
moda se calcula con la siguiente expresión

A
fff
ff
LIMo
mmm
mm
)1´()1´(
)1´(
2 




Mo: Moda
LI: Límite inferior del intervalo modal
fm: Frecuencia de la clase modal
f(m-1) : Frecuencia de la clase premodal
f(m+1) : Frecuencia de la clase posmodal
A : Amplitud de los intervalos
Cálculo de La Media Aritmética de la
Resistencia
Kg/cm2 x fi
100-199 150 4
200-299 250 10
300-399 350 21 Clase premodal
400-499 450 33 Clase modal
500-599 550 18 Clase posmodal
600-699 650 9
700-799 750 5
A
fff
ff
LIMo
mmm
mm
)1´()1´(
)1´(
2 




2
/44.444100
1821)33(2
2133
400 cmKgMo 



A pesar que el valor 444.44 no es un dato real de la información asumimos ese
parámetro como el de mayor ocurrencia.
Medidas de variabilidad o dispersión.
Los análisis estadísticos de tendencia central o posición nos indican donde se
sitúa un grupo de puntuaciones. Los de variabilidad o dispersión nos indican si
esas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrario están
muy dispersas.
Algunas de las medidas de dispersión más usuales son:
a) Rango, amplitud o recorrido (R)
b) Desviación estándar (S, muestral; s, poblacional).

c) Varianza (S², s² )
d) Desviación media (DM).
a. Rango
Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
R= Xmáx - Xmín.
b. Desviación Estándar
La desviación estándar o desviación tipo se define como la raíz cuadrada
de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su
media.
agrupadosnoDatos
N
xx
S
2
)( 

agrupadosDatos
N
XXf
S
2
)( 

La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos
del valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es
simplemente el promedio o variación esperada con respecto de la media
aritmética.
Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la
media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca
de la media.
Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8)
cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar son 7, 5 y 1,
respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que
las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.
La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de
incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos
da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas
está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas
es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de
la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces
consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es de esperarse, ya
que las mediciones caen fuera del rango de valores de los cuales sería
razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La
desviación estándar, es uno de tres parámetros de ubicación central, nos
muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central.

c. Varianza
Es el cuadrado de la desviación estándar. El análisis de varianza sirve para
comparar si los valores de un conjunto de datos numéricos son
significativamente distintos a los valores de otro o más conjuntos de datos.
Ejemplo 1. Hallar la desviación estándar y la varianza de la siguiente serie de
datos.
10, 18, 15, 12, 3, 6, 5, 7
Solución: 5.9X
2
)( xx 
(10-9.5)2
= 0.25
(18-9.5)2
= 72.25
(15-9.5)2
= 30.25
(12-9.5)2
= 6.25
(3-9.5)2
= 42.25
(6-9.5)2
= 12.25
(5-9.5)2
= 20.25
(7-9.5)2
= 6.25
190)( 2
 xx
Ejemplo 2. Hallar la desviación estándar y la varianza para la siguiente
distribución de frecuencias.
Clases X f
10-15 12.5 2
16-21 18.5 8
22-27 24.5 13
28-33 30.5 10
34-39 36.5 6
39
8
190
S
75.23S
87.4S
75.232
S

04.26X Valor de la media
2
)(  XXf
2(12.5-26.04)2
= 366.7
8(18.5-26.04)2
= 454.8
13(24.5-26.04)2
= 46.9
10(30.5-26.04)2
= 168.1
6(36.5-26.04)2
= 656.5
1693)(
2
 XXf
d. Desviación media.
Se conoce también como promedio de desviación. Para una serie de N valores
se puede calcular a través de la siguiente expresión:
N
xx
DM
 

xx  = Valor absoluto de las desviaciones de los x valores, respecto de la media.
Y para datos agrupados se tiene:
N
xxf
DM
 

Ejemplo 3. Hallar la desviación media de: 4, 6, 12, 16, 22.
Solución:
12
5
22161264


x
xx 
39
1693
S
6.6S
41.432
S

4-12 = 8
6-12 = 6
12-12 = 0
16-12 = 4
22-12= 10
xx  = 28
Ejemplo 4.Hallar la desviación media en la siguiente distribución de frecuencias.
Clases f X fX
8-10 3 9 27 20.4
11-13 6 12 72 22.8
14-16 9 15 135 7.2
17-19 11 18 198 24.2
20 -22 5 21 105 26
34 537 100.6
8.15
34
537
x
3
34
6.100
DM
6.5
5
28
DM

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