Estadística para ingenieros

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMAS
ESTADISTICA I
Tema: Medidas Descriptivas
*Medidas de Tendencia Central
Docente
Ing. Verónica Gaitán Muñoz
Correo: vgaitan88@gmail.com

2. 1.4 MEDIDAS DESCRIPTIVAS (ESTADÍGRAFOS)
1.4.1 Medidas de Tendencia Central:
Las medidas de tendencia central son la media aritmética, la
mediana y la moda, las cuales calcularemos para datos agrupados
y no agrupados.
Nota: Consideraremos que los datos están agrupados, cuando
están representados en una TDF.

3. MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, representa el valor promedio de los datos, se denota
por:
: Media aritmética para una muestra
μ : Media aritmética para una población.
Estaremos utilizando la notación para una muestra, aunque los cálculos
son validos para las medidas o parámetros poblacionales.
x
x

4. n
X
f i
k
i
i

1
Para datos agrupados se define como:
donde:
f: es la frecuencia absoluta,
X: es la marca de clase
n: el número de observaciones.
x n
x
n
i

1
Para datos no agrupados se define como:
; donde:
X: es cada observación
n: el número de observaciones.

5. Li Ls f F X LIR LSR f X
8 26 13 13 17 7.5 26.5
221
27 45 10 23 36 26.5 45.5
360
46 64 8 31 55 45.5 64.5
440
65 83 9 40 74 64.5 83.5
666
84 102 10 50 93 83.5 102.5
930
2617
Calcularemos la media para datos agrupados del ejemplo
n
X
f i
k
i
i

1 = 2617/50 = 52.3,
Promedio de los 50 Alumnos en
la asignatura de Matemáticas

6. LA MEDIANA
Es un valor central que tiene la característica de dividir en dos
partes iguales las observaciones. Un 50% de las observaciones son
menores o iguales a la mediana y el otro 50% mayor o igual, se
denota por Me.
Para datos agrupados se define:
Me = Lir + C











f
F
n
2
donde
Lir: Limite inferior real del intervalo que contiene a la Me.
F: Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene a la Me.
f: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Me.
C: Amplitud de clase.

7. Calcularemos la Mediana para datos agrupados del ejemplo
Para obtener la Mediana, identificamos la clase que contiene a la
mediana, la cual será donde la primera frecuencia acumulada es mayor o
igual a: n/2.
Se calcula primero n/2 = 25, luego, observamos en la columna de la
frecuencia acumulada cual es la primer clase q contiene a 25
Me = 45.5 + ((25-23)/8)*19 = 50.25, El 50% de las notas son
menores a 50.25.
Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5

8. Para datos no agrupados: se ordenan los datos y se escoge el
valor central del conjunto datos; para esto se debe considerar
cuando el número de datos es par o impar.
Si n es impar, entonces:
Me = 




 
]
)
2
1
(
[
n
posición
Dato
Ejemplo:
Sean los datos 3,4,4,5,6,7,,8,8,9,9,10. (n =11)
Me = Dato (Posición (6)) = 7

9. Si n es par, entonces:
Me =









 

2
)]
2
2
(
[
)]
2
(
[
n
posición
Dato
n
posición
Dato
O sea: el promedio de los dos datos centrales.
Ejemplo: 3,4,4,5,6,7,8,8,9,9,10,11. (n =12)
Me = (Dato (6) + Dato (7))/ 2 = (7 + 8) / 2 = 7.5

10. LA MODA:
Para datos no agrupados
La moda de una serie de datos es: el número que ocurre con mayor
frecuencia, es el que más se repite.
Basta observar el número que más se repite.
Para datos agrupados, la moda esta en la mayor concentración de
datos (mayor frecuencia), la clase con mayor frecuencia es la clase
modal. La moda si existe puede ser no única y se denota por Mo, se
define como:
Mo = Lir + . C ; donde
Lir: Limite inferior real del intervalo Modal.
1: Mayor frecuencia menos la inmediata anterior
2: Mayor frecuencia menos la inmediata posterior
C: Amplitud de Clases










2
1
1

11. Calcularemos la moda para datos agrupados del ejemplo
La moda se encuentra en el primer intervalo
Mo = 7.5 + * 19 = 22.9375
La nota mas frecuente en matemáticas de los 50 alumnos
es de 22.93
Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5






3
13
13

12. FORMAS DE LA DISTRIBUCIÓN:
Muchas distribuciones de variables continuas se pueden representar
de manera grafica mediante una curva en forma de campana.
Se dice que una distribución es simétrica, si se puede doblar a lo largo
de un eje vertical de modo que los lados coincidan, en este caso la
, , M
e
y M
o
coinciden, en el punto de simetría.
,
,
x
= Mo = Me
x

13. -Se dice que es “Asimétrica positiva” o “Sesgada a la derecha”
si Mo< Me <
Mo< Me < x
x

14. Se dice que “Asimétrica Negativa” o “Sesgada a la izquierda,
si : < M
e
< M
o.
< Me< Mo
Nota: La que define la asimetría es la moda (Concentración de datos)
x
x

15. Bibliografía
1. Estadística para Administración y Economía. Mendenhall W.,
James, R. Tercera edición, Editorial Iberoamericana, 1978.
Traducción en español en 1992.
2. Estadística Matemática con aplicaciones, Freund, John E;
Wallpole, Ronald E. 1ª. Edición. 1990, en español.
3. Introducción a Estadística y Probabilidad, Martínez, R. Elias