Este documento describe diferentes medidas estadísticas de posición y dispersión, incluyendo la media, mediana y moda. Explica cómo calcular cada medida y provee ejemplos. También cubre medidas de dispersión como el rango y la desviación media. El objetivo es proporcionar una introducción a estas importantes medidas utilizadas para resumir y analizar conjuntos de datos.

1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
• M E D I D A S D E T E N D E N C I A C E N T R A L
• M E D I D A S C E N T R A L E S , D E P O S I C I Ó N
Y D I S P E R S I Ó N
B A C H I L L E R J U A N S E R R A N O .

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Al describir grupos de diferentes observaciones, con frecuencia
es conveniente resumir la información con un solo número.
Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro
de la distribución de datos se denomina medida o parámetro
de tendencia central o de centralización. Cuando se hace
referencia únicamente a la posición de estos parámetros
dentro de la distribución, independientemente de que esté
más o menos centrada, se habla de estas medidas
como medidas de posición.1 En este caso se incluyen
también los cuantiles entre estas medidas.

3. ENTRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL TENEMOS
• Media Aritmética
• Media Ponderada
• Media Geométrica
• Media Armónica
• Mediana
• Moda

4. MEDIA ARITMÉTICA
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o
simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte
del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a
partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media
muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Dados los n números {x1,x2…xn} , la media aritmética se define como:

5. EJEMPLO
la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la
media de una muestra ( X ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la
media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una
variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n :
donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número
de datos se da el resultado

6. MEDIA PONDERADA
La media ponderada es una medida de tendencia central, que es
apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene
una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se
obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación
(peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma
ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos,
dando como resultado la media ponderada.

7. EJEMPLO
Se puede usar una media ponderada para calcular la nota final de un curso
escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos
exámenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exámenes tienen
un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el último del 50%; las
calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final
corresponde a la siguiente media ponderada:
Datos: X={6.4,9.2,8.1} Pesos: W={0.3,0.2,0.5}
Media Ponderada X=6.4 *0.3+9.2* 0.2+8.1* 0.5/0.3+0.2+0.5=7.81
Si se consideran n puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es
posible hallar un punto, que algunos llaman baricentro, que representa la
masa promedio.

8. MEDIA GEOMÉTRICA
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de
números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los
números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para
promediar razones, interés compuesto y números índices.
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

9. MEDIA ARMÓNICA
La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita
de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los
recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.
Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados
valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio
sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

10. MEDIANA
la mediana (del latín mediānus 'del medio') representa el valor de la variable de
posición central en un conjunto de datos ordenados.
Cálculo
Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:
1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas:

11. MÉTODOS DE CÁLCULO
Mediana para datos sin agrupar
Para un número de datos impar
La mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista. Para calcular su
posición se aplica la siguiente ecuación:
Ejemplo ilustrativo:
Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso
de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6
Solución:
1) Se ordena los datos de menor a mayor:
2) Se aplica la ecuación:

12. MÉTODOS DE CÁLCULO
La mediana es el valor de x5 (quinto dato), es decir, Md=8
En Excel se calcula así:
Insertar la función MEDIANA(A1:I1) y luego en Aceptar

13. MÉTODOS DE CÁLCULO
Mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2
Luego calculamos según la siguiente fórmula:
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N / 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
ti es la amplitud de los intervalos.

14. MODA
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir,
tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

15. MEDIDAS DE POSICIÓN
Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de
frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se
encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama "
Medidas de Tendencia Central ".
Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir
determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable
a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si
intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución,
siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil
obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas
en estadística, como lo son:
Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero,
segundo y tercer cuartil.
Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al
noventa y nueve percentil).

16. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores
de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
• Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución
estadística.
• Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable
estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por