Este documento explica diferentes medidas de tendencia central y dispersión estadísticas. Define la media, mediana y moda como medidas de tendencia central que resumen un conjunto de valores. También describe medidas de dispersión como rango, desviación estándar y coeficiente de variación. Explica el cálculo y uso de estas medidas y su importancia para interpretar y comparar conjuntos de datos.

1. Estadística
Medidas de tendencia central
Bachiller:
Mariangel Vivenzio G.
C.I: 26.346.930
Sección MV

2. Medidas de Tendencia Central
• Las medidas de tendencia central, son medidas estadísticas que pretenden resumir en
un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se
encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más
utilizadas son: media, mediana y moda. Las medidas de dispersión en cambio miden
el grado de dispersión de los valores de la variable. Dicho en otros términos las
medidas de dispersión pretenden evaluar en qué medida los datos difieren entre sí.
De esta forma, ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten describir un
conjunto de datos entregando información acerca de su posición y su dispersión.

3. Importancia de medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de
referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:
• Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
• Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el
puntaje central o típico.
• Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos
diferentes ocasiones.
• Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más
grupos.

4. Tipos de promedios, matematicos y estadísticos
• La media aritmética, es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n
valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores
dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores
extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la información de los datos.
• La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben
estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la
otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones
extremas.
• La Moda, es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende
de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.
• La media geométrica, es un promedio muy útil en conjuntos de números que son
interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media
aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.
• La media armónica, es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en
relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

5. Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como
intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se
distorsiona como medida de posición, pero ofrece un valor adecuado, rápido
y sencillo para resumir al conjunto de datos.

6. Calculo y Aplicación
• Media Aritmética
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total.
En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos
datos.
𝑋 =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + ⋯ + 𝑋 𝑛
𝑁
Ejemplo:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos)
𝑋 =
4 + 7 + 7 + 2 + 5 + 3
6
=
28
6
= 4,8
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.

7. • Promedio Geometrico
Dadas “N” cantidades, su promedio geométrico es la raíz enésima del producto de dichas
cantidades o números.
𝑃𝐺 = 𝑛
𝑎1 ∙ 𝑎2∙ 𝑎3 ∙∙∙ 𝑎 𝑛
Ejemplo:
Calcular el promedio geométrico de 48, 45, 100.
𝑃𝐺 =
3
48 ∙ 45 ∙ 100
𝑃𝐺 =
3
26 ∙ 33 ∙ 53
𝑃𝐺 = 26/3
∙ 3
3
3 ∙ 5
3
3
𝑃𝐺 = 22
∙ 31
∙ 51
𝑃𝐺 = 60

8. • Moda
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de
datos; o sea, cual se repite más.
Ejemplo:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las
edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3.
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3
(Mo = 3)

9. • Mediana
Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted
divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al número del caso que representa la
mediana de la distribución.
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras,
la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos
agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores
centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo impar: si el numero de datos es impar, la mediana se encuentra ubicada en el centro del conjunto
de los datos.
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Mediana, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo par: si el numero de datos es par, la mediana se determina por el promedio aritmetico de los dos
valores centrales.
Se tienen los siguientes datos: 2, 4, 5, 8, 7, 9, 3, 1, al ordenarlos en forma creciente, se tiene: 1,2,3,4,5,7,8,9, se
tiene que los dos datos centrales son el 4 y 5. se determinaria de la siguiente manera: MD =
4+5
2
= 4,5

10. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por
medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas
de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea,
más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían
mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula
la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la
suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias
para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto
(desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

11. Medidas de dispersión para series simples
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media
aritmética.
Di = X - 𝑋
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la
media.
La desviación media se representa por:
𝐷 𝑋 =
𝑋1 − 𝑋 + 𝑋2 − 𝑋 + ⋯ + 𝑋 𝑛 − 𝑋
𝑁
𝐷 𝑋 =
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 − 𝑋
𝑁

12. Medidas de dispersión para datos agrupados
• Rango
• Varianza

13. • Media
• Desviación Estandar

14. • Coeficiente de variación

15. Medidas de posición
Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias
superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la
distribución de frecuencia, por lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central ".
Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas
condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de
una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los
valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y
de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en
estadística, como lo son:
• Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer
cuartil.
• Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
• Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y
nueve percentil).

16. • Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.
Donde:
Posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente
a tal frecuencia acumulada.
Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
• Primer cuartil (Q1):
• Segundo cuartil (Q2):
Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de
una Serie.
• c) Tercer cuartil (Q3):
Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.
Donde:

17. Posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.
Deciles (D1, D2, … D9)
Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y
es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en
porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

18. Conclusión
• Las medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más
representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a
concentrar.
• La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor
que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en
partes iguales.
• La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos
partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta por ciento de los
datos.
• La Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos

19. Bibliografia
• Stephen p. shao. (1960). Estadística para economistas y administradores de
empresas. Libro.