Este documento describe las medidas de tendencia central y dispersión más utilizadas en estadística. Define la media, mediana y moda como medidas de tendencia central y explica cómo calcularlas. También define la varianza y desviación estándar como medidas de dispersión y cómo medir la dispersión de los datos respecto a la media.

2.  Medidas de Tendencia Central:
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir en un
solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra
ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son:
media, mediana y moda.
 Importancia de las Medidas de Tendencia Central
Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de datos
que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central
porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores
intermedios. Estas medidas son utilizadas con gran frecuencias como medidas
descriptivas de poblaciones o muestras.

3.  MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO
Es el cociente que resulta de dividir la suma de los valores de los datos entre el número de los mismos. Se
simbolizan por M.
 IMPORTANCIA MEDIA ARITMÉTICA
Es importante porque:
La media aritmética es centro de la gravedad de la distribución, si los puntajes están distribuidos
simétricamente.
Es la medida de tendencia central más estable.
Es el valor preferido en los cálculos estadísticos por ser el más fiable.
Es el procedimiento que representa mejor al grupo.
 CÁLCULO EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la media aritmética en una distribución de datos no agrupados, se suman todas las calificaciones,
puntajes, datos, etc. Y el total se divide entre el número de ellos.
La fórmula para calcular la media aritmética (M) en datos no agrupados es:
Dónde:
M = media aritmética
= suma de datos
N = número de datos
Ejemplo: En los diferentes meses del año académico, un alumno obtuvo las calificaciones: 12, 16, 13, 8, 15 y 14
en la asignatura de Matemáticas. La calificación media de la asignatura será.
 CÁLCULO EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la media para datos agrupados, primero calculamos el punto medio de cada clase
(marca de clase mi ). Después multiplicamos cada punto medio por la frecuencia absoluta de cada
intervalo
x  m i f i
n

4.  MEDIANA
Es el valor que divide a una distribución en dos partes iguales, se simboliza por Mdn.
 IMPORTANCIA
Da conocer el punto medio exacto de la distribución, o sea, el punto correspondiente al 50% de la serie,
cuando entre los datos hay valores extremos, ya que estos afectan el valor de la media aritmética.
Los valores extremos no la alteran.
 CALCULO EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS
Se ordenan los puntajes en forma ascendente o descendente. Al determinar la mediana pueden presentar dos casos.
Si el número de datos es impar, la mediana será el dato que ocupa el centro de la distribución. Por ejemplo:
7, 9, 12, 16, 18, 19, 20
Observando la distribución, encontramos que la calificación 16 está ubicada en el centro; luego, la mediana es 16.
Si el número de datos es par, en este caso se suman las dos calificaciones que ocupan el lugar central y el resultado se divide entre 2. Por
ejemplo:
19, 17, 16, 15, 13, 12, 10, 9
Observando la distribución, encontramos que los datos o puntajes que ocupan el lugar central son 15 y 13. Por tanto, la mediana será 14:
M = {15+13} / {2} = 14
Es decir, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.
Para determinar el lugar que ocupa el valor de la mediana en cualquiera de los dos casos, se utiliza la siguiente fórmula:
M = {N+1} / {2}
Dónde:
Mdn = mediana
N = número de datos.

5.  CÁLCULO EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS AGRUPADOS
Para calcular la mediana, en una distribución de datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:
Mdn =
Dónde:
Mdn = mediana
Li = límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana.
= suma total de las frecuencias.
fa = frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase que contiene la mediana.
f = frecuencia de la clase que contiene a la mediana.
i = amplitud de intervalo.
En la siguiente tabla de distribución de frecuencias del cuadro N°2:
distribución de frecuentas de datos agrupados 2
Antes de reemplazar la fórmula con los datos de la tabla de frecuencias, se ubica el lugar donde se halla la
mediana, para lo cual se aplica la fórmula.

6.  MODA
Es el valor que se repite con mayor frecuencia. Se simboliza por Mo.
 IMPORTANCIA
Da a conocer en forma inmediata qué puntaje es el más frecuente.
1. La moda no siempre existe en una distribución de frecuencias.
2. Puede existir 2 o más modas para una distribución de frecuencias
 MÉTODOS PARA CALCULAR LA MODA
Para calcular el valor del modo se utilizan dos métodos.
 MÉTODO DIRECTO O EMPÍRICO:
En una distribución de frecuencias de datos no agrupados: Se determina observando
que datos se repiten el mayor número de veces.
Ejemplo: 9, 10, 10, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 18
En esta distribución el dato más frecuente es 14. Luego, 14 es el modo obtenido por el
método empírico.

7.  MÉTODO CORREGIDO O APROXIMADO:
Se aplica la siguiente fórmula:
Dónde:
= límite inferior de la clase modal.
= Es la diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase
inmediata superior.
= Es la diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase
inmediata inferior.
= amplitud del intervalo
Sustituyendo la fórmula con los datos de nuestra tabla de frecuencia.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

8.  MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión son útiles porque:
Nos proporcionan información adicional que nos permite juzgar la confiabilidad de
nuestra medida de tendencia central. Si los datos están muy dispersos la posición
central es menos representativa de los datos, como un todo, que cuando estos se
agrupan más estrechamente alrededor de la media.
 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Las descripciones más comprensibles de la dispersión son aquellas que tratan con la
desviación promedio con respecto a alguna medida de tendencia central. Veremos dos
medidas que nos dan una distancia promedio con respecto a la media de la distribución:
varianza y desviación estándar.
 VARIANZA DE LA POBLACIÓN
Es el promedio de las distancias al cuadrado que van de las observaciones a la media

9.  Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética.
Di = x – x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por Dx
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

10.  Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución
estadística.
La varianza se representa por
 Varianza para datos agrupados
 Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
𝜎2
=
9 − 9 2
+ 3 − 8 2
+ 8 − 9 2
+ 8 − 9 2
+ 9 − 9 2
+ 8 − 9 2
+ 9 − 9 2
+ 18 − 9 2
8
= 15
𝜎2
𝑥 =
9+3+8+8+9+8+9+18
8
= 9

11.  Propiedades de la varianza
 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de
dicho número.
 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la
varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño Si las muestras tienen distinto tamaño
 Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por 𝜎

12.  Desviación típica para datos agrupados
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla
𝝈 =
𝟖𝟖𝟎𝟓𝟎
𝟒𝟐
− 𝟒𝟑. 𝟑𝟑 𝟐 = 𝟏𝟒. 𝟕𝟗𝟕
xi fi xi · fi xi
2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
𝑥 =
1820
42
= 43.33