Este documento presenta diferentes medidas de tendencia central como la media aritmética, media geométrica, media armónica, moda y mediana. Explica cómo calcular cada una de estas medidas para datos originales y agrupados, ya sea que la variable sea discreta o continua. También describe propiedades de la media aritmética y proporciona ejemplos para calcular cada medida.

1. 2. Medidas de tendencia central
Sonvaloresmediosopromediosde lavariable,se puedencalcularparadatosoriginalesodatos
agrupados, independiente de si la variable es discreta o continua. Las principales medidas de
centralización o de posición son:
La media aritmética, la media geométrica, la media armónica, moda y la mediana.
Teniendoencuentaelcriterioque manejalamedianase aprovechaparahacercálculosde otras
medidasllamadascuantiles,quesubdividenaúnmásalosdatosqueson:loscuartiles,losdeciles
y los percentiles.
Media Aritmética
Se define como la sumatoria o suma de los valores de la variable dividida entre el número de
datos. En este caso el número de datos hace referencia a una parte de la población, la cual
ustedesconocenconel nombrede muestrayse representaconlaletraminúscula (n). Esunade
las medidasmásutilizadasenla estadísticaporque al asociarse con la desviación típica,que es
una medidade dispersión,permitenhacerle el estudioal comportamientode losdatosypoder
así clasificarlos en distribuciones.
Comoya se dijo, sucálculopuede hacerse paradatosoriginalesoagrupados,independientede
que la variable sea discreta o continua.
Existen dos métodos para su cálculo, uno conocido como método largo y otro como método
corto.
Utilizaremosejemplos para usar las fórmulas y su procedimiento aplicando los dos métodos.
Las fórmulas se relacionan en hojas escaneadas en donde están las soluciones.
Método largo:
1. Hallar la media aritmética a la siguiente información:
a) aplicarfórmulaparadatosoriginales b) aplicarlas dosfórmulasparadatosagrupados.
X: Consumo de cigarrillos diarios para una muestra de 10 estudiantes de la U.A.C
Xi: 2 ,0 ,5 ,6, 3, 0, 4, 1 ,1, 1.
2. X: Adquisición de libros semestre 2020-1 estudiantes U.A.C
Xi: 2, 0, 5 ,6, 3, 0, 4, 1, 1, 1
ni: 4, 3, 1, 3, 5, 2, 3, 6, 1, 7
Aplicar las dos fórmulas para datos agrupados
3. X: Artículos defectuosos en unas cajas (ejercicio propuesto)
Xi : 2, 0, 4, 5, 4, 1 ,6
ni : 6, 2, 4, 9, 3, 2, 1

2. Calcular la media a esta información utilizando las 2 formulas del método largo. Ejercicio
propuesto
X,
i-1 – X,
I Xi ni
5.5 -10.5 8 6
10.5- 15.5 13 8
15.5 -20.5 18 13
20.5-25.5 23 4
25.5-30.5 28 3
Método corto:
Para aplicar este método es necesario conocer el concepto de lo que son las desviaciones.
Desviaciones:
Sondiferenciasconsussignosentre valoresde lavariable yunvalorfijo,denominadoOrigende
Trabajo ( O.T ) ,el cual puede ser cualquier valor de la variable o incluso no encontrarse en el
dominio de la variable. Existen tres tipos de desviaciones así:
1. Desviaciones con respecto a la media
2. Desviaciones con respecto a un Origen de Trabajo
3. Desviacionesconrespectoaun Origende Trabajomedidasen unidades de intervalos.
- Actividad No1:
ResolverlosejerciciosNo3y No4 del métodolargoaplicandolas desviaciones No 2 y No 3.
Las formulas para calcular la media utilizando el método corto se encuentran en la hoja de
solución.
- Actividad No 2.
Calcular la media de esta información utilizando las formulas a) No 2 b)No 3 del método
largo y c) No 2 y d)No3 del método corto y compruebe resultados.
X,
i-1 – X,
I Xi ni
15.5 -20.5 8 3
20.5- 25.5 13 5
25.5 -30.5 18 10
30.5-35.5 23 4
35.5-30.5 28 7
Propiedades de la Media Aritmética
Se hace necesarioapoyarnosensuspropiedadesparalograrunamejorcomprensiónacercadel
tema y su alcance.
Propiedades
1. La media de una constante es igual a la constante
2. La sumatoria de las desviaciones con respecto a la media siempre es cero (0 )
3. La sumatoriade lasdesviaciones al cuadradoconrespectoalamediasiempre enmenor
que cuando se compara con cualquier otro valor u origen de trabajo, considerando al
O.T un valor diferente a la media.
4. La media de la suma de 2 ò más variables es igual a la suma de sus medias.
5. La media total o resultante, es igual, a la media de la distribución de medias
muéstrales afectadas por sus respectivas frecuencias. Aplica para 2 ò más grupos.
6. La media de una variable por una constante es igual a la constante por la media de la
variable.

9. Media geométrica
Se define comolaraíz enésimadel productode losvaloresde lavariable,su cálculoal igual que
la media aritmética puede realizarse para datos originales o agrupados independiente del tipo
de variable, discreta o continua.
Hay que teneren cuentaque para su aplicación,lavariable debe tenerun comportamientoen
formade progresióngeométrica,aproximadamentegeométricaode tipoexponencial,esdecir,
crecimiento rápido, considerable, además es muy usual para el cálculo de tasas como de
rentabilidad,productividad,nacimiento,rendimientopromediode una inversión etc.Paraeste
caso se utiliza la fórmula de interés compuesto.
Hay fórmulas que no contienen logaritmos y otras que sí.
Para su cálculoenalgunoscasos lasfórmulasque NOcontienenlogaritmos, NOfuncionan,esto
ocurre cuandoen lavariable existe unvalorcero(0) teniendoencuentasudefinición(Sedefine
como la raíz enésima del producto de los valores de la variable) lo que daría como resultado
cero (o) lo cual es falso.
Téngase encuentaentonces,que lasfórmulasconlogaritmossonajenasaese comportamiento,
esdecir,puedenutilizarseindependientemente de que lavariableenestudiocontengaonouno
o varios valores cero.
Se anexan ejemplos con solución para su aplicación.
1. Hallar la media geométrica para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 4, 5, 6, 8
2. Hallar la media geométrica para los siguientes datos originales. Xi: 0 ,2 , 4, 5, 6, 8
3.Hallar lamediageométricaparalos siguientes datos agrupados. Xi : 2 , 4 , 6 , 8 ni : 1 , 3 , 2 , 4
4.Hallar la media geométrica para los siguientes datos agrupados:
Xi : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ni: 2 , 1 , 3 , 2 , 4
Nota : observe que unas series contienen el cero ( o) y otras no.
-El crecimientode lasventasenunnegocioenlosúltimos3añosfue de 26% ,32% , 28% se pide
calcular a) Crecimiento total en los 3 años b) la media geométrica anual de crecimiento.
Media Armónica.
Se define como el inverso de la media, del inverso de los valores de la variable , su cálculo al
igual que lamediaaritméticapuederealizarseparadatosoriginalesoagrupadosindependiente
del tipo de variable, discreta o continua.
Para su aplicación, deben existir 2 variables las cuales en la práctica deben ser inversas como
por ejemplo, velocidad vs tiempo ò rendimiento vs tiempo.
Hay que tenerespecial cuidadoen su aplicación, puesescomún no identificarlaexistenciade
2 variables y se procede erróneamente a aplicar la media aritmética en lugar de la armónica.
S e anexan ejemplos con solución para su aplicación.
1.Hallar la media armónica para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 4, 3, 6, 8
2.Hallar la media armónica para los siguientes datos agrupados. Xi : 2 , 4 , 6 , 8 ni : 1 , 3 , 2 , 4
3.Dos personasgastan en la ejecuciónde untrabajo 50 y 40 minutosrespectivamente ¿cuál es
el tiempo promedio requerido para hacerlo en conjunto?
Nota: observe que lasvariableseneste casoson inversas lapersonaque más demoratiene un
rendimiento menor y viceversa.
4.Un medianotallerde confecciones distribuyeasusempleados en 7gruposde operadores que
fabrican 70 camisas según la siguiente información:
El grupo No1 fabrica10 camisas en 3 días, el grupo No 2 fabrica10 camisasen 1 día, el grupo
No 3 fabrica10 camisas6 días, el grupo No4 fabrica10 camisas8 días, el grupoNo 5 fabrica
10 camisas 2 días, el grupo No6 fabrica10 camisas 5 días y el grupo No7 fabrica10 camisas
4 días ¿cuál es el rendimiento o productividad promedio?

14. La Moda
Se define como el dato estadístico que más se repite, pueda que exista o no moda en una
información,comopuede tambiénexistirmásde una, sucálculoal igual que lamediaaritmética
puede realizarse paradatosoriginalesoagrupadosindependiente del tipode variable,discreta
o continua. E xisten diversas fórmulas para su cálculo.
Si los datos son originales se recomienda su uso en distribuciones que presentan marcada
asimetría, es decir, distribuciones que los datos son irregulares.
Si losdatos son agrupadosse recomiendasuusosi losintervalosde losextremossonabiertos,
la mayor parte de las veces esos intervalos son cerrados, igualmente puede calcularse.
Por últimoesposible que comoen losdatos originalesnoexistaoexistamás de una moda; en
caso de existir varias modas si los intervalos de los extremos son cerrados, es procedente
reagruparlos de otra forma con el fin de identificar la existencia de una sola moda.
Se anexan ejemplos para su aplicación.
Se anexan ejemplos con solución para su aplicación.
1. Hallar la moda para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 5 , 4 , 9 ,7
2. Hallar la moda para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 5 , 5 , 9 ,7
3. Hallar la moda para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 5 , 5 , 9 ,7, 7
4. Hallar la moda para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 5 , 5 , 9 ,7 , 7 , 8 , 8
5. Hallar la moda para los siguientes datos originales. Xi: 2 , 2 ,5 , 4 , 4 ,9 ,7, 7, 8 , 8
6. Hallar la moda para los siguientes datos agrupados. Xi : 2 ,4 ,6 ,7 , 8 ni: 3 , 5 , 1 , 2 , 4
7. Hallar la moda para la siguiente información:
Límites
establecidos
Limites
reales
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
10 -14 9.5 - 14.5 12 3
15 - 19 14.5 - 19.5 17 4
20 -24 19.5 - 24.5 22 10
25 - 29 24.5 – 29.5 27 2
30 - 34 29.5 - 34.5 32 6
total

18. LA MEDIANA
Se define comoel valorde lavariableque dividealosdatosen2 partesiguales,50% porencima
y 50% por debajodel valormediano. sucálculoal igual que lamediaaritméticapuederealizarse
para datos originales o agrupados independiente del tipo de variable, discreta o continua.
Se utiliza para identificar datos puntales dentro del conjunto de toda la información., es decir,
identificar si un valor está por encima o por debajo del valor mediano.
Cálculo de la mediana para datos originales:
Debe ordenarse la información preferiblemente de menor a mayor y observar si los datos son
pareso impares.Si losdatossonimpares,lamedianaseráel valorcentral.Si losdatossonpares
la mediana será la media aritmética de los valores centrales.
Cálculo de la mediana para datos agrupados:
En este caso las fórmulas varían de acuerdo con el tipo de variable, es decir, difierensegún la
variable sea discreta o continua.
Auncuando los cuartiles,deciles ypercentilessonmedidasde variabilidad,escomún,explicar
su uso después de haber visto la mediana, aprovechando que estas medidas subdividen a los
datos más que la medianaylas fórmulassonfácilmente adaptablesparasuuso. Estas medidas
son:
Quartiles (Q) : dividen a los datos en 4 partes iguales
Deciles ( D) : dividen a los datos en 10 partes iguales
Percentiles ( P ) : dividen a los datos en 100 partes iguales.
Quintiles (Qt ) : dividen a los datos en 5 partes iguales.
Se anexan ejemplos con solución para su aplicación.
1. Hallar la mediana datos originales serie impar Xj : 4, 2, 5, 7, 3
2. Hallar la mediana datos originales serie par Xj : 4, 2, 5, 7,3, 8
3. Hallar el percentil 15 de los datos originales serie par Xj : 4, 2, 5, 7,3, 8
4. Hallar el percentil 30 de los datos originales serie impar Xj : 2, 3, 7, 9, 10 ,12 , 13 , 16 , 18
5. Hallar el percentil 32 de los datos originales serie impar Xj : 2, 3, 7, 9, 10 ,12 , 13 , 16 , 18
6. Hallar el cuarto decil de los datos originales serie par Xj : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 , 10
7. Hallar la mediana datos agrupados variable discreta: Xj: 0, 1, 2, 3, 4 nj : 2, 3 ,6, 5, 4
8. Hallar la mediana datos agrupados variable discreta: Xj: 0, 1, 2, 3, 4 nj : 2, 8 ,1, 5, 4
9. Hallar la mediana datos agrupados variable continua:
Límites
establecidos
Limites
reales
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
absoluta
acumulada
10 -14 9.5 - 14.5 12 3 3
15 - 19 14.5 - 19.5 17 4 7
20 -24 19.5 - 24.5 22 10 17
25 - 29 24.5 – 29.5 27 2 19
30 - 34 29.5 - 34.5 32 6 25
total
10. Hallar la mediana datos agrupados variable continua:

19. Límites
establecidos
Limites
reales
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
absoluta
acumulada
10 -14 9.5 - 14.5 12 2 2
15 - 19 14.5 - 19.5 17 3 5
20 -24 19.5 - 24.5 22 5 10
25 - 29 24.5 – 29.5 27 6 16
30 - 34 29.5 - 34.5 32 4 20
total