La señora Rosa compró 3 kg de manzanas y 2 kg de fresas por S/. 21, pero le faltaron S/. 6 para pagar. Luego compró 2 kg de cada producto por S/. 20, sobrando S/. 1. Se plantean ecuaciones para determinar el precio por kg de cada producto.

1. *Sistema de Ecuaciones
Matemática Básica

2. La señora Rosa fue al mercado a
comprar 3Kg. de manzana y 2 Kg. de
fresa. Ella llevó S/.21 y cuando quiso
pagar, le dijeron que faltaban S/.6
para el pago de ambos productos.
Entonces, la señora decidió llevar
2Kg. de manzana y 2Kg. de fresa y la
vendedora le dio S/.1 de vuelto.
¿Cuánto costaba el Kg. de manzana y
de fresa?
3𝑥 + 2𝑦 = 27
2𝑥 + 2𝑦 = 20
Supongamos que: Precio de cada kilogramo de manzana es "𝑥"
Precio de cada kilogramo de fresa es "𝑦"

3. Sistema de Ecuaciones
Lineales con dos variables
Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es la unión de dos
o más ecuaciones lineales con dos incógnitas; es decir, no deben
aparecer variables con exponente mayor que 1.
Ejemplo:
14𝑥2
− 21𝑦 = 35
13𝑥 + 18𝑦2
= 31
Es un Sistema de Ecuaciones lineales
No es un Sistema de Ecuaciones lineales
porque aparece el exponente 2 en
algunas variables.
14𝑥 − 21𝑦 = −7
13𝑥 + 18𝑦 = 31

4. Solución de un Sistema de
Ecuaciones Lineales
La solución de un sistema de ecuaciones lineales está conformada por
aquel grupo de valores que se le da a las incógnitas y que, al
reemplazarse, cumplen simultáneamente todas las ecuaciones que lo
conforman.
Ejemplo: 14𝑥 − 21𝑦 = −7
13𝑥 + 18𝑦 = 31
Dada el sistema
Tenemos que, si reemplazamos 𝑥 = 1 𝑦 = 1, las dos ecuaciones
lineales se cumplirían simultáneamente.
Por lo tanto 𝑥 = 1 𝑦 = 1 es una solución para este sistema de
ecuaciones lineales.

5. Métodos de Resolución
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones
lineales, pero nosotros solo estudiaremos los siguientes:
1. Método de Igualación.
2. Método de Sustitución.
3. Método de Reducción o Eliminación.
4. Método Gráfico.

6. Método de Igualación
Paso 1:
Paso 2: Se igualan las ecuaciones obtenidas al haber despejado la
variable; y se obtiene una ecuación lineal con una sola
variable.
Despejamos, de cada una de las ecuaciones, la misma
variable.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto
encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se
reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con
esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.

7. × 2Igualando
Método de Igualación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 20
4𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
−2𝑦 = 20 − 7𝑥𝑦 =
(20 − 7𝑥)
2
𝑦 =
−(20 − 7𝑥)
2−
𝑦 =
20 − 7𝑥
−2
−2 𝑦 = 20 − 7𝑥𝑦 =
−20 + 7𝑥
2
… (3)
𝑦 = 5 − 4𝑥 … (4)
−20 + 7𝑥
2
= 5 − 4𝑥
−20 + 7𝑥
2
= 5 − 4𝑥 −20 + 7𝑥 = 2(5 − 4𝑥)
−20 + 7𝑥 = 10 − 8𝑥 15𝑥 = 30 𝑥 = 2
Reemplazando en (4)
𝑦 = 5 − 4𝑥
𝑦 = 5 − 4𝑥
2
𝑦 = 5 − 4(2)𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3La solución del sistema es:

8. Método de Sustitución
Paso 1:
Paso 2: Se sustituye esta nueva ecuación en la que no utilizamos
para despejarla.
Despejamos una variable, pero solo, de una de las
ecuaciones.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto
encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se
reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con
esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.

9. Reemplazando en (1)
Método de Sustitución
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 20
4𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2) 𝑦 = 5 − 4𝑥 … (3)5 − 4𝑥
7𝑥 − 2𝑦 = 20
7𝑥 − 2𝑦 = 207𝑥 − 2(5 − 4𝑥) = 20 7𝑥 − 107𝑥 − 10 + 8𝑥7𝑥 − 10 + 8𝑥 = 20
15𝑥 = 30 𝑥 = 22
Reemplazando en (3)
𝑦 = 5 − 4𝑥𝑦 = 5 − 4(2)𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3La solución del sistema es:
𝑦 = 5 − 4𝑥

10. Método de Reducción o
Eliminación
Paso 1:
Paso 2: Se suman las ecuaciones obtenidas.
Multiplicamos ambas ecuaciones por dos números distintos
con la intención de reducir o eliminar una de las variables al
sumar las ecuaciones resultantes.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto
encontramos el valor de la variable que permaneció. Luego
se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y
con esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.

11. Método de Reducción o
Eliminación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 20
4𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
×
×
4(7𝑥 − 2𝑦) = 4(20)
−7 4𝑥 + 𝑦 = −7(5)
28𝑥 − 8𝑦 = 80
4
−28𝑥 − 7𝑦 = −35
7−74
77𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
+
−15𝑦 = 45
𝑦 = −3−3
Reemplazando en (2)
4𝑥 + 𝑦 = 54𝑥 + (−3) = 5
𝑥 = 2
𝑥 = 2; 𝑦 = −3La solución del sistema es:
4𝑥 + 𝑦 = 5
4𝑥 = 8

12. 4𝑥 + 𝑦 = 51
27𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
Método de Reducción o
Eliminación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 20
4𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
×
×
7𝑥 − 2𝑦 = 20
2 4𝑥 + 𝑦 = 2(5)
7𝑥 − 2𝑦 = 20
1
8𝑥 + 2𝑦 = 10
2 +
15𝑥 = 30
𝑥 = 22
Reemplazando en (2)
4𝑥 + 𝑦 = 54(2) + 𝑦 = 5
𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3La solución del sistema es:

13. Ejemplos

14. Ejemplo 1:
2𝑥 − 5
3
+
4(𝑦 + 2)
5
= 𝑥
3𝑥 − 5
4
−
𝑦 + 3
6
= 3
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
2𝑥 − 5
3
+
4(𝑦 + 2)
5
= 𝑥
Trabajamos con la primera ecuación:
𝑀𝐶𝑀 3; 5 = 15 15
2𝑥 − 5
3
+
4(𝑦 + 2)
5
= 15 𝑥
15
2𝑥 − 5
3
+ 15
4(𝑦 + 2)
5
= 15𝑥 10𝑥 − 25 + 12𝑦 + 24 = 15𝑥
5 3
10𝑥 − 15𝑥 + 12𝑦 = 25 − 24 −5𝑥 + 12𝑦 = 1

15. 3𝑥 − 5
4
−
𝑦 + 3
6
= 3
Trabajamos con la segunda ecuación:
𝑀𝐶𝑀 4; 6 = 12 12
3𝑥 − 5
4
−
𝑦 + 3
6
= 12 (3)
12
3𝑥 − 5
4
− 12
𝑦 + 3
6
= 36
9𝑥 − 15 − 2𝑦 − 6 = 36
3 2
9𝑥 − 2𝑦 = 36 + 6 + 15
9𝑥 − 2𝑦 = 57

16. −5𝑥 + 12𝑦 = 1 … (1)
9𝑥 − 2𝑦 = 57 … (2)
×
×
9 −5𝑥 + 12𝑦 = 9(1)
5 9𝑥 − 2𝑦 = 5(57)
−45𝑥 + 108𝑦 = 9
9
45𝑥 − 10𝑦 = 285
5
5
98𝑦 = 294
𝑦 = 33
Reemplazando en (2)
9𝑥 − 2𝑦 = 579𝑥 − 2(3) = 57
𝑥 = 7
𝑥 = 7; 𝑦 = 3La solución del sistema es:
9𝑥 − 2𝑦 = 57
9𝑥 = 63
+
Colocando las ecuaciones en su forma más reducida, obtenemos:
9

17. Ejemplo 2:
𝑥
2
+
𝑦
3
=
1
6
𝑥
4
−
𝑦
5
= 0
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
𝑥
2
+
𝑦
3
=
1
6
Trabajamos con la primera ecuación:
𝑀𝐶𝑀 2; 3 = 6
6
𝑥
2
+
𝑦
3
= 6
1
6
6
𝑥
2
+ 6
𝑦
3
= 1
3𝑥 + 2𝑦 = 1
3 2

18. Trabajaremos con el método de Sustitución:
3𝑥 + 2𝑦 = 1 … (1)
𝑥
4
−
𝑦
5
= 0 … (2)
𝑥
4
=
𝑦
5 𝑥 =
4𝑦
5
… (3)
4𝑦
5
Reemplazando en (1)
3𝑥 + 2𝑦 = 13
4𝑦
5
+ 2𝑦 = 1
12𝑦
5
+ 2𝑦 = 1
12𝑦 + 10𝑦 = 5 𝑦 =
5
22
Reemplazando en (3)
𝑥 =
4𝑦
5
𝑥 =
4
22
La solución del sistema es: 𝑥 =
4
22
; 𝑦 =
5
22
𝑀𝐶𝑀 = 5 5
12𝑦
5
+ 2𝑦 = 5(1)
5
22
𝑥 =
4𝑦
5
𝑥 =
4
5
5
22

19. Observación
Cuando en una ecuación cualquiera se eliminan las variables, y nos queda una
igualdad de números, entonces debemos seguir la siguiente regla:
 Si la igualdad es verdadera, entonces el conjunto solución de la ecuación es
el conjunto de todos los números reales, es decir 𝐶. 𝑆. = ℝ
 Si la igualdad es falsa, entonces no tiene solución o, lo que es lo mismo, el
conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío, es decir 𝐶. 𝑆. = ∅
Resuelva: 2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3Ejemplo:
2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3 2𝑥 − 2𝑥 = 6 − 3 − 3 0 = 0
𝐶. 𝑆. = ℝ
Resuelva: 2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6Ejemplo:
2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6 2𝑥 − 2𝑥 = 6 + 3 0 = 9
𝐶. 𝑆. = ∅