1. Métodos de Solución de Ecuaciones LinealesMétodos Iterativos Eduardo Carrillo Zambrano

4. Suponga una vector solución inicial

6. Método de Jacobi El sistema Ax = b se escribe de la forma x = Tx + c Donde T es una matriz fija y cun vector. La sucesión de vectores se genera calculando x(k+1)= T x(k)+ c

7. Método de Jacobi Demostración: Escribimos la matriz del sistema como A = D - L - U

8. Método de Jacobi Métodos iterativos

10. Método de Jacobi Reescribiendo cada ecuación: Desde la ecuación 1 Desde la ecuación 2 Desde la ecuación n-1 Desde la ecuación n

11. Método de Jacobi Forma general de cada ecuación:

12. Método de Jacobi Se resuelve la i-ésima ecuación para xi: Siempre que aii 0

13. Método de Jacobi Despejar las incógnitas Asumir un valor inicial para [X(k)] Use las ecuaciones reescritas en función de xi.

14. Método de Jacobi Cáalculodel Error absoluto relativo aproximado Entonces ¿Cuándo se ha hallado la respuesta correcta? Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

15. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Ejercicio: La velocidad ascendente de un cohete se da en tres momentos diferentes Tabla 1 Velocidad vs. Tiempo Los datos de velocidad son aproximados por el polinomio:

16. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Planteando la matriz, se tiene: Formando la matriz, con el sistema de ecuaciones Asumiendo los valores iniciales para el vector solución:

17. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Reescribiendo las ecuaciones:

18. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Aplicar los valores iniciales y resolver para ai Valores iniciales

19. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Hallar el Error absoluto relativo aproximado Al final de la primera iteración: El máximo error absoluto relativo aproximado es 95,5%

20. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Iteración #2 Usando Los valores hallados para ai son: De la iteración #1

21. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Iteración #2 Hallar el Error absoluto relativo aproximado Al final de la Segunda iteración: El máximo error absoluto relativo aproximado es 227,46 %

22. Método de Jacobi: Ejercicio 1 Realizando mas iteraciones obtenemos: Note – El error relativo no decrece a una tasa significativa. La solución no esta convergiendo a la solución real de:

23. Método de Jacobi ¿ Cuál es el Error? Aunque se esta haciendo lo correcto, la respuesta No esta convergiendo a la respuesta Correcta. Este ejemplo ilustra una desventaja de los métodos Iterativos: No todos los sistemas de ecuaciones convergen. ¿Existe una solución? Una clase de sistemas de ecuaciones siempre converge: una matriz diagonalmente dominante. Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si: Por lo menos un ‘i’ Para todo ‘i’ y

25. Método de Jacobi Diagonalmente dominante: los coeficientes de la diagonal deben ser al menos igual a la suma de los coeficientes de cada fila y al menos una fila con un coeficiente mayor a la suma de los otros coeficientes de la fila. Por lo menos un ‘i’ Para todo ‘i’ y Se llama Matriz estrictamente dominante

26. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Ejercicio : Dado el siguiente sistema de ecuaciones: Coeficientes de la matriz: Con Valores iniciales: Convergerá la solución usando el método de Jacobi?

27. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante. Todas las desigualdades se cumplen y al menos una fila es estrictamente mayor.Por lo tanto: La solución debe converger usando el método de Jacobi

28. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Reescribiendo cada ecuación: Valores iniciales:

29. Método de Jacobi: Ejercicio 2 El error absoluto relativo aproximado El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 100%.

30. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Iteración #1 Sustituyendo los valores de [X(1)] dentro de las ecuaciones: Iteración #2

31. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Iteración #2 error absoluto relativo aproximado El máximo error absoluto relativo es de 125,25%. Este es un error mayor al obtenido en la iteración #1. ¿ Esto es un problema?

32. Método de Jacobi: Ejercicio 2 Seguir Iterando se obtiene: La solución obtenida es: Esta cerca de la solución exacta de:

33. Método de Jacobi: Ejercicio 3 Dado el sistema de ecuaciones: Reescribiendo las ecuaciones: Valores iniciales:

34. Método de Jacobi: Ejercicio 3 Llegando hasta la sexta iteración tenemos: Los valores no convergen. Esto significa que No se puede usar el método de Jacobi?

35. Método de Jacobi: Ejercicio 3 El método de Jacobi puede usarse aun: La matriz no es diagonalmente dominante Pero este mismo set de ecuaciones se uso en el ejemplo # 2, el cual Converge. Si el sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante, se debe chequear si un arreglo de la matriz se puede formar una matriz diagonalmente dominante.

36. Método de Jacobi: Ejercicio 3 No todos los sistemas de ecuaciones pueden ser arreglados para obtener una matriz diagonalmente dominante. Observe el siguiente set de ecuaciones: ¿Qué ecuación (s) evita que este conjunto de ecuaciones tener una matriz diagonal dominante?

37. Método de Gauss Seidel En el método de Jacobi se calcula xk+1 con las componentes xk. El método de Gauss-Seidel sugiere una mejora, como para i > 1 ya se calcularon x1k+1, …., xi-1k+1, se utilizan para calcular xik+1 En el paso k+1 se utilizan las xiya calculadas. Excepto por esta fórmula, el algoritmo es el mismo que el de Jacobi.

39. Suponga una vector solución inicial

41. Método de Gauss Seidel Reescribiendo las ecuaciones:

42. Método de Gauss Seidel Despejar las incógnitas Use las ecuaciones reescritas en función de xi. Nota: Siempre se usa el valor mas reciente de xi. Lo que significa que se aplican los valores calculados para los cálculos que quedan en la iteración actual. Asumir un valor inicial para [X(0)]

43. Método de Gauss Seidel Calculo del Error absoluto relativo aproximado Entonces Cuando se ha hallado la respuesta correcta? Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

44. Método de Gauss Seidel: Ejercicio Ejercicio : Dado el siguiente sistema de ecuaciones: Coeficientes de la matriz: Con Valores iniciales: Convergerá la solución usando el método de gauss seidel?

45. Método de Gauss Seidel: Ejercicio Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante. Todas las desigualdades se cumplen y al menos una fila es estrictamente mayor.Por lo tanto: La solución debe converger usando el método de Gauss Seidel.

46. Reescribiendo cada ecuación: Valores iniciales: Método de Gauss Seidel: Ejercicio

47. El error absoluto relativo aproximado El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 100%. Método de Gauss Seidel: Ejercicio

48. Método de Gauss Seidel: Ejercicio Iteración #1 Sustituyendo los valores de [X(1)] dentro de las ecuaciones: Iteración #2

49. Iteración #2 error absoluto relativo aproximado El máximo error absoluto relativo es de 240,61%. Método de Gauss Seidel: Ejercicio

50. Método de Gauss Seidel: Ejercicio Seguir Iterando se obtiene: La solución obtenida es: Esta cerca de la solución exacta de:

51. Comparando resultados Jacobi Gauss Seidel

52. Gauss-Seidel con relajación Recordando la formula para el método de Gauss-Seidel donde: Directo iterativo

53. Si decimos que: Una matriz diagonalmente dominante y definida positiva Y también que: Matriz de términos por debajo de la diagonal de N Matriz de términos por encima de la diagonal de N Matriz Idéntica

54. Entonces tenemos que: Donde sumando x a cada lado y expandiendo la ecuación se tiene que:

55. Como el método de Gauss-Seidel es un método cuya característica es el desplazamiento sucesivo de los valores de x, la expresión expandida resultante es la siguiente: Detallando detenidamente la expresión anterior se puede deducir que la expresión que se encuentra encerrada en paréntesis seria el equivalente a un residuo, es decir la diferencia existente entre la solución k y la solución k+1.

57. Si 0<w<1, lo que se pretende es acelerar la convergencia (método de subrelajación).

59. Si se reescribe la formula anterior en su forma expandida tendríamos que: Por lo que finalmente formula general para el método de Gauss-Seidel con relajación sería:

60. Ejemplo El sistema lineal AX=b dado por: Cuya solución es el vector (3,4,-5). Se le ha empleado el método de Gauss-Seidel y SOR con w=1,25 usando un vector solución inicial de [1,1,1].

61. Las ecuaciones para el método de Gauss-Seidel son:

62. Las ecuaciones para el método SOR con w=1,25 son: En las tablas que se observaran a continuación las primeras siete iteraciones para cada método. Para que las iteraciones tengan una muy buena exactitud, el método de Gauss-Seidel requiere 34 iteraciones mientras que le método de sobrerelajación con w=1,25 solo requiere 14 iteraciones.

64. Bibliografía Material de métodos numéricos de la universidad del sur de florida (NationalScienceFoundation), CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002. BURDEN, Richard L. y Faires J.: Análisis Numérico. Séptima Edición. http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics