Métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD : INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL
ESCUELA : INGENIERIA CIVIL
ASIGNATURA : MÉTODOS NUMÉRICOS (IC-343)
CCP
CATEDRA : ING. CRISTIAN CASTRO P. FECHA: Diciembre -2013
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL CCP
Examen Parcial de Métodos Numéricos (IC-343)
PREGUNTA N° 01 [5.0 p]
MODELAMIENTO NUMÉRICO
[1] Una deuda P0= A , se amortiza en "m" cuotas mensuales iguales, R. La cantidad adeudada después de
k+1 meses es: Pk+1 = (1+i)Pk - R , donde "i" es el interés mensual. Esta es una ecuación de
diferencias (no homogénea). Determine R de modo que Pm = 0.
[2] Un foso circular de escalera mide 5.6 pies de diámetro y 14.3 pies de profundidad; con fondo plano.
Una escalera de 17 pulg. de ancho (medida exterior) tiene brazos que miden 1 pulg. por 3 pulg. ¿Cuál
es la máxima longitud de la escalera que puede colocarse en el foso, si su parte superior debe estar
exactamente al mismo nivel que la superficie del suelo?, Para resolver este problema ¿es esencial la
computadora?
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Un polinomio de la forma y3+ay2+by+c = 0 puede escribirse en la forma x3+px+q = 0.
Haciendo el cambio de variable: y = x-a/3. Luego se puede obtener:
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q q p q q p
x        
Esta expresión se debe a Niccoló Fontana (1499-1557) apodado Tartaglia.
[1] Proponga un polinomio cualquiera de grado 3 y determine una de sus raíces con la expresión antes
indicada y comparar con una solución aproximada de resolución de ecuaciones no lineales.
[2] Utilizar un método numérico que permita obtener las raíces del polinomio. Experimente con por lo
menos 3 distintas aproximaciones iniciales y presente sus conclusiones.
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
Para la circulación turbulenta de fluidos en una red interconectada, el caudal Q de un de un nodo a otro es
aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia en presiones en los nodos (así, la
circulación de los fluidos difiere del flujo de corriente eléctrica en una red en el sentido de que se obtienen
ecuaciones no lineales). Para los conductos de la figura adjunta, encuentre la presión en cada nodo.
Los valores de b representan factores de conductancia en la relación jiijij ppbq 
Estas ecuaciones pueden establecerse para las presiones en cada nodo:
En el nodo 1: 31211 1.02.05003.0 ppppp 
En el nodo 2: 324221 2.01.02.0 pppppp 
En el nodo 3: 433231 1.02.01.0 pppppp 
En el nodo 4: 02.01.01.0 44342  ppppp
1
3
2
4 b = 0.1
b = 0.2
b = 0.2
b = 0.1
p = 500, b = 0.3
p = 0
b = 0.1
b = 0.2
ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES: MÉTODOS DIRECTOS
[1] Determine la solución general del sistema no homogéneo siguiente y compárelo con la solución general
del sistema homogéneo asociado, utilizando métodos directos de solución de ecuaciones no lineales:

CCP
356853
224422
134422
122
54321
54321
54321
54321




xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
[2] Resolver por un método directo uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con valores
complejos.
ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES: MÉTODOS ITERATIVOS
Sea una función u que satisface la ecuación:
2
2
x
u
t
u





para 0 < x < 1 y t > 0.
Las condiciones iniciales son: u = 1 en 0 < x < 1 para t = 0.
Y las condiciones de contorno son: u = 0 en x = 0 y x = 1 para t  0.
Resolviendo esta ecuación por algún método, se llega a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Las
incógnitas de dicho sistema de ecuaciones son valores discretos de la función en determinados puntos del
dominio y planteada la situación de esta manera el sistema resultante es:
1u2u
2uu4u
2uu4u
2uu4u
1uu4
54
543
432
321
21





Tomaremos una aproximación ui = 1 para i = 1 a 5, resolución del sistema mediante el método de Jacobi y
Gauss-Seidel. Discutir los resultados.
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Resolver con el mayor detalle posible el sistema de 4 ecuaciones lineales Ax = b con A simétrica y definida
positiva, usando el método de gradiente conjugada.
Matriz A Matriz b
4.00 1.00 -1.00 0.00 -1.0
1.00 4.00 0.25 0.20 2.0
-1.00 0.25 4.00 0.50 1.0
0.00 0.20 0.50 4.00 1.0
NOTA.- Utilizar el siguiente esquema para presentar las iteraciones:
MÉTODO: GRADIENTE CONJUGADA
k xk rk sk qk αk rk+1 βk
Nuestra causa es un secreto dentro de un secreto. El secreto de algo que permanece velado, un secreto que sólo
otro secreto puede explicar, es un secreto sobre un secreto que se satisface con otro secreto. (J´Far- Al Sâdiq,
Sexto Imam) - Eco, Umberto. “El Péndulo de Foucault”

CCP
TEORÍA DE ERRORES
Sea el sistema lineal de ecuaciones
1
2
10 1 8
1 10 19
x
x
     
         
ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
Determine la solución general del sistema no homogéneo siguiente y compárelo con la solución
general del sistema homogéneo asociado, utilizando métodos directos de solución de
ecuaciones no lineales:
356853
224422
134422
122
54321
54321
54321
54321




xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES: MÉTODOS ITERATIVOS
Resolver el siguiente sistema:
98900u2u
95581uu4u
84541uu4u
42541uu4u
85640uu4
54
543
432
321
21
.
.
.
.
.





Deberemos plantear una primera aproximación, que usualmente son las condiciones
iniciales para este intervalo y comenzamos con un nuevo proceso iterativo hasta encontrar
la solución al sistema con la precisión deseada.
[1] Resolución del sistema mediante el método de Gauss - Seidel
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
He llegado a creer que el mundo es un enigma, pero un inocente enigma hecho terrible por nuestro loco intento
de interpretar todo como si existiese una verdad subyacente.
Un sueño es una escritura y muchas escrituras no son más que sueños.
Nuestra causa es un secreto dentro de un secreto. El secreto de algo que permanece velado, un secreto que sólo
otro secreto puede explicar, es un secreto sobre un secreto que se satisface con otro secreto. (J´Far- Al Sâdiq,
Sexto Imam) - Eco, Umberto. “El Péndulo de Foucault”

CCP
a) Resolución del sistema mediante el método de Jacobi
Las ecuaciones de iteración son:
 
 
 
 
 1u
2
1
u
2uu
4
1
u
2uu
4
1
u
2uu
4
1
u
1u
4
1
u
)n(
4
)1n(
5
)n(
5
)n(
3
)1n(
4
)n(
4
)n(
2
)1n(
3
)n(
3
)n(
1
)1n(
2
)n(
2
)1n(
1










Entonces, partiendo de la primera aproximación, y para encontrar la solución del sistema al
cabo del primer intervalo de tiempo, iteraremos hasta que no haya variación en las primeras

CCP
cuatro cifras decimales. Esto ultimo equivale a definir un cierto grado de precisión en la
solución.
Para la primera iteración, nos queda:
   
   
   
   
    111
2
1
1u
2
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
5.011
4
1
1u
4
1
u
)0(
4
)1(
5
)0(
5
)0(
3
)1(
4
)0(
4
)0(
2
)1(
3
)0(
3
)0(
1
)1(
2
)0(
2
)1(
1





Para la segunda iteración:
   
   
   
   
    111
2
1
1u
2
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
875.0215.0
4
1
2uu
4
1
u
5.011
4
1
1u
4
1
u
)1(
4
)2(
5
)1(
5
)1(
3
)2(
4
)1(
4
)1(
2
)2(
3
)1(
3
)1(
1
)2(
2
)1(
2
)2(
1





Para la tercera iteración:
   
   
   
   
    111
2
1
1u
2
1
u
1211
4
1
2uu
4
1
u
96875.021875.0
4
1
2uu
4
1
u
875.0215.0
4
1
2uu
4
1
u
46875.01875.0
4
1
1u
4
1
u
)2(
4
)3(
5
)2(
5
)2(
3
)3(
4
)2(
4
)2(
2
)3(
3
)2(
3
)2(
1
)3(
2
)2(
2
)3(
1





Luego de 11 iteraciones llegamos a la solución con la aproximación requerida, lo que se
resume en la siguiente tabla:

CCP
MÉTODO DE JACOBI
Nº de iter. u = 0 u = 1 u = 2 u = 3 u = 4 u = 5
n = 0 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
n = 1 0.0000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
n = 2 0.0000 0.5000 0.8750 1.0000 1.0000 1.0000
n = 3 0.0000 0.4688 0.8750 0.9688 1.0000 1.0000
n = 4 0.0000 0.4688 0.8594 0.9688 0.9922 1.0000
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
n = 10 0.0000 0.4641 0.8564 0.9614 0.9890 0.9946
n = 11 0.0000 0.4641 0.8564 0.9613 0.9890 0.9945
n = 12 0.0000 0.4641 0.8564 0.9613 0.9890 0.9945
b) Resolución del sistema mediante el método de Gauss - Seidel
Las ecuaciones de iteración son:
 
 
 
 
 1u
2
1
u
2uu
4
1
u
2uu
4
1
u
2uu
4
1
u
1u
4
1
u
)1n(
4
)1n(
5
)n(
5
)1n(
3
)1n(
4
)n(
4
)1n(
2
)1n(
3
)n(
3
)1n(
1
)1n(
2
)n(
2
)1n(
1










De la misma manera que en el ejemplo anterior partiendo de la primera aproximación, y para
encontrar la solución del sistema al cabo del primer intervalo de tiempo, iteraremos hasta que
no haya variación en las primeras cuatro cifras decimales. Parara la primera iteración, nos
queda:
   
   
   
   
    99609.0199219.0
2
1
1u
2
1
u
99219.02196875.0
4
1
2uu
4
1
u
96875.021875.0
4
1
2uu
4
1
u
875.0215.0
4
1
2uu
4
1
u
5.011
4
1
1u
4
1
u
)1(
4
)1(
5
)0(
5
)1(
3
)1(
4
)0(
4
)1(
2
)1(
3
)0(
3
)1(
1
)1(
2
)0(
2
)1(
1






CCP
Para la segunda iteración:
   
   
   
   
    99488.0198975.0
2
1
1u
2
1
u
98975.0299609.096289.0
4
1
2uu
4
1
u
96289.0299219.085938.0
4
1
2uu
4
1
u
85938.0296875.046875.0
4
1
2uu
4
1
u
46875.01875.0
4
1
1u
4
1
u
)2(
4
)2(
5
)1(
5
)2(
3
)2(
4
)1(
4
)2(
2
)2(
3
)1(
3
)2(
1
)2(
2
)1(
2
)2(
1





Para la tercera iteración:
   
   
   
   
    99457.0198914.0
2
1
1u
2
1
u
98914.0299488.096167.0
4
1
2uu
4
1
u
96167.0298975.085694.0
4
1
2uu
4
1
u
85694.0296289.046485.0
4
1
2uu
4
1
u
46485.0185938.0
4
1
1u
4
1
u
)3(
4
)3(
5
)2(
5
)3(
3
)3(
4
)2(
4
)3(
2
)3(
3
)2(
3
)3(
1
)3(
2
)2(
2
)3(
1





Luego de 5 iteraciones llegamos a la solución con la aproximación requerida, lo que se
resume en la siguiente tabla:
Sea el polinomio: y3 + ay2 + by + c = 0
Haciendo cambio de variable y = x - a/3, tenemos:
x3 + (b - a3/3)x + (2a3/27 - ab/3 + c) = 0
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
Nº de iter. u = 0 u = 1 u = 2 u = 3 u = 4 u = 5
n = 0 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
n = 1 0.0000 0.5000 0.8750 0.9688 0.9922 0.9961
n = 2 0.0000 0.4688 0.8594 0.9629 0.9898 0.9949
n = 3 0.0000 0.4649 0.8569 0.9617 0.9891 0.9946
n = 4 ........ ........ ........ ........ ........ ........
n = 5 0.0000 0.4641 0.8564 0.9613 0.9890 0.9945
n = 6 0.0000 0.4641 0.8564 0.9613 0.9890 0.9945

CCP
Equivalente
a:
x3 + px + q = 0
Donde: p = b - a2/3
q = 2a3/27 - ab/3 + c
La expresión de Tartaglia
es:
Proponemos el polinomio:
a = 10
b = 31
c = 30
y3 + 10 y2 + 31 y + 30 = 0
Con el cambio de variable:
p = -2.33333333333334
q = 0.740740740740762
Resolviendo la ecuación con la expresión de
Tartaglia:
x1 = 1.33333333333333
Luego: y1 = -2
-2.0000
0.0000
i
y1 = -2 SACA LA MAYOR RAIZ REAL
Para obtener las otras raíces realizaremos el proceso de
deflación:
Deflación
1:
y3 y2 y1 y0
P1(x) 1 10 31 30
y1 -2.000
q1(x) 1 8 15 0
8.0 0.0 i 15.0
0.0
i
1 8.0 15
Resolviendo la ecuación cuadrática q1(x):
y2 = -3 -3.0000
y2 = -5 -5.0000
Deflación
2:
y3 y2 y1 y0
P2(x) 1 8 15
y2 -3
3
32
3
32
27422742
pqqpqq
x 

CCP
q2(x) 1 5 0
Resolviendo la ecuación
q2(x):
y3 = -5 -5.0000
Ahora hallaremos las raices del polinomio por el Metodo de
Laguerre:
P(y) = 1 y3 + -103 y2 + 302 y + -200
P'(y) = 3 y2 + -206 y + 302
P''(y) = 6 y + -206
n = 3
y0 = 0.000
k yk P(y) P'(y) P''(y) H(yk) yk+1
0 0.000 -200.000 302.000 -206.000 117616.000 0.930
1 0.930 -7.386 112.954 -200.418 42152.585 1.000
2 1.000 -0.007 99.015 -200.000 39206.959 1.000
3 1.000
y0 = -5.000
0 -5.000 -4410.000 1407.000 -236.000 1674036.000 -0.102
1 -0.102 -231.726 322.947 -206.609 129918.318 0.916
2 0.916 -9.055 115.878 -200.506 42817.275 1.000
3 1.000
y0 = 10.000
0 10.000 -6480.000 -1458.000 -146.000 2826576.000 3.807
1 3.807 -488.100 -438.840 -183.155 233931.651 2.220
2 2.220 -26.260 -140.556 -192.679 48665.965 2.002
3 2.002
y0 = 5.000
0 5.000 -1140.000 -653.000 -176.000 501796.000 2.488
1 2.488 -70.776 -191.926 -191.073 66202.042 2.015
2 2.015 -1.510 -100.944 -193.909 39002.107 2.000
3 2.000
4. Una deuda P0= A , se amortiza en "m" cuotas mensuales iguales, R. La cantidad adeudada después de k+1 meses es
Pk+1 = (1+i)Pk - R , donde "i" es el interés mensual. Esta es una ecuación de diferencias (no homogénea). Determine R de
modo que Pm = 0 .
)H(y)(yP'
)nP(y
yy
kk
k
k1k


 )(y')P'nP(y))(y1)(P'(n1)(n)H(y kk
2
kk 

CCP
SOLUCIÓN
COMENTARIOS:
Las ecuaciones de diferencias pueden simplificarse una máxima expresión
   
     
       
         
       
   
         
         
     
 
   
 
 
 
     
 
   
   
 
  11
1
:,
11
1
,0
11
1
,
1
11
11
Re,
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
11
min
1111
11111
1111
111
11
:
132
1432
1432
21
1
234
24
23
23
2
12
01
0








































































































m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
mm
S
mm
mm
m
mmm
mm
i
Aii
R
RDonde
i
i
RAi
tienesePproblemadelcondiciónSegún
i
i
RAiP
ndoSimplifica
ii
i
RiAiP
principalecuaciónlaenemplazamos
ii
i
S
i
i
SiS
i
S
i
S
iiiii
S
SCalculando
iiiiii
S
Donde
iiiiii
RiAiP
ostéragrupandoyndosimplifica
RRiRiAiRPiP
RRiRiRiAiRPiP
RRiRiAiRPiP
RRiAiRPiP
RAiRPiP
dadafórmulalaenEvaluando
AP
Dato
  



CCP
APROXIMACIÓN POLINÓMICA POR MÍNIMOS CUADRADOS E INTERPOLACIÓN
Tenga en cuenta los siguientes valores de entalpía, h (P, T), a partir de una tabla de
propiedades de la tabla de vapor.
Tabla de entalpía del vapor:
T, ºF
P, psia 800 1000 1200
1150 1380.4 1500.2 1614.5
1200 1377.7 1499.0 1613.6
1250 1375.2 1497.1 1612.6
[1] Calcular la entalpía del vapor a P=1225 psia y T=1100 º F, con la base en datos de
la tabla, utilizando un polinomio de mínimos cuadrados cuadrático bivariado. Las
variables x, y, z en la ecuación adjunta corresponden a P, T y H, respectivamente.
2 2
z a b x c y d x e y f xy          
[2] Resolver el problema de interpolación presentado por interpolación directa lineal
multivariado. La forma de polinomio de aproximación es:
h a b T c P d TP      
Sustituir los cuatro puntos de datos que enmarquen P = 1225 psia y T = 1100 ºF
INTERPOLACIÓN CON SPLINE CÚBICO
Resolver mediante el método numérico del spline cúbico aplicándolo a los datos de la
siguiente tabla, que es para la función:
  3x
f x e x 
i x
1 -0.50
2 0.00
3 0.25
4 1.25
Las ecuaciones determinadas para los intervalos necesarios para un spline cúbico,
deberán ser verificadas, sustituyendo los valores de la tabla en las ecuaciones.
INTERPOLACIÓN BIDIMENSIONAL
Teniendo en cuenta la tabla de la función de dos variables
  2 2
0
, , sin
1 sin
d
F k
k


  

 



CCP
Que se requiere para encontrar F (10, 15 º).
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Evalúe la integral
 1
0
sen x
dx
x
 
 
 

por el método de Werner Romberg (1909-2003), con por lo menos 6 cifras
significativas correctas.
Para la misma integral, utilice el método de Gauss Legendre con distintos números de
puntos de integración y compare los resultados. Utilizar 2, 4, 8 y 12 puntos de
integración.
Comparar y discutir los resultados.
POLINOMIOS ORTOGONALES
Elaborar un estudio de la obtención de las expresiones para los coeficientes de la
función f (x) de las fórmulas de integración numérica. Estos cálculos se han realizado
en diversas para “n” casos cuando p (x) = 1 y la integración está entre [-1,1]. Cualquier
intervalo arbitrario [a, b] se puede reducir al intervalo [-1,1] por una simple
sustitución de la variable de integración.
Considerando ciertos valores de las abscisas, encontrar los valores de los coeficientes
ck de las fórmulas de integración numérica del método de GAUSS, para n=1, n=2, n=3,
n=4 y n=5.
 
1
1
f x dx



OPTIMIZACIÓN EN INGENIERÍA: PROGRAMACIÓN LINEAL
Hallar la solución óptima del siguiente problema lineal:
[1] 21 3xxMinZ 
Sujeto a:
73 21  xx
1242 21  xx
Calcular por el método símplex de programación lineal la solución óptima.
[2] Cómo afecta la solución óptima del problema presentado en (1), si se agrega una
nueva variable x5 a la primera restricción,
φ α 5º 20º 40º 50º 80º
10º 0.1745 0.1746 0.1749 0.1751 0.1754
20º 0.3491 0.3499 0.3520 0.3533
30º 0.5233 0.5263 0.5334
40º 0.6985 0.7043
50º 0.8734

CCP
723 521  xxx
y la función objetivo cambia a,
521 23 xxxMinZ 
[3] Cómo resolvería el problema de optimización, mediante el método símplex de
programación lineal, si el modelo numérico cambia a:
Función objetivo: Sujeto a:
 1 2 5
1
3 2
MinZ
x x x

 
1 2 5
1 2
3 2 7
2 4 12
x x x
x x
  

  
[4] En el caso que las restricciones cambien de desigualdad, qué variante del método
simplex emplearía para el problema de optimización, indicar el procedimiento y
resultados:
Función objetivo: Sujeto a:
1 23MinZ x x  1 2 5
1 2
3 2 7
2 4 12
x x x
x x
  

  
“…Como en matemáticas, cuando no existe máximo ni mínimo alguno, todo se hace igual o nada … se hace en
absoluto… [Leibniz]”

CCP
Examen de Aplazados de Métodos Numéricos: IC343
(Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-343) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil)
RAÍCES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
Se tiene un polinomio de grado 6, cuyas raíces son reales. Utilizar un método numérico que permita
calcular las raíces del polinomio. Se debe considerar distintas aproximaciones iniciales. Presentar las
conclusiones:
  6 5 4 3 2
21 175 735 1624 1764 720f x x x x x x x      
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
[1] Utilizar un método directo para resolver el sistema de ecuaciones A.x=b
1
2
3
12 15 20 0
15 20 30 1
20 30 60 0
x
x
x
    
         
         
[2] Suponer que se tiene una computadora que realiza las operaciones con sólo 03 cifras significativas. Determinar la
solución del sistema de ecuaciones antes indicado, realizando las operaciones como las haría esa hipotética
computadora. Comparar los resultados con el punto anterior.
[3] Determinar el número de condición κ∞(A). Comentar sobre las soluciones obtenidas en los acápites 1) y 2).
[4] Efectuar un pequeño cambio en el coeficiente a11 en 0.1 de la matriz A, y observar cómo cambia la inversa (las
operaciones deben ser realizadas con métodos numéricos). Expresar los cambios como porcentajes de los valores
originales.
[5] Resolver el sistema de tres ecuaciones lineales indicado en 1) con el método iterativo más efectivo desde el punto de
vista de los métodos numéricos. Presentar las iteraciones y todos los cálculos que involucra el procedimiento
detalladamente.
APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS
Se sabe que una cierta cantidad J depende del tiempo t de la siguiente manera:
t
J e 
 

Las mediciones de J se toman con el mismo grado de precisión y se tabulan como una función de t:
t 0 1 2 3
J 2.010 1.210 0.740 0.450
Se requiere encontrar los valores de los parámetros α y 𝞺, por un procedimiento numérico. Presentar el
procesamiento de datos y cálculos de manera detallada.
APROXIMACIÓN FUNCIONAL DE POLINOMIOS ALGEBRAICOS
Se requiere encontrar la mejor aproximación polinómica para la función sin πx en (-1,1), de entre todos
los polinomios de grado no superior a tres por el método de mínimos cuadrados. Se van a utilizar Los
valores de la función en los siguientes puntos:
Punto xo x1 x2 x3 x4
Valor -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Evalúe la integral
1
20
1
dx
x

Utilizar un método numérico apropiado y comparar los resultados numéricos obtenidos con el valor
obtenido por procedimientos analíticos. Para la misma integral comentar si es posible resolver por el
método de Gauss-Legendre con distintos números de puntos de integración y en caso de ser afirmativo,
resolver y mostrar la solución detallada.

CCP

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