Este documento describe los métodos numéricos de la bisección y Newton-Raphson para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera entre dos valores de x para los que la función toma valores opuestos hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson aproxima la función por su desarrollo de Taylor de segundo orden y encuentra raíces iterando hacia el punto donde el gradiente es cero. El documento presenta ejemplos numéricos de ambos métodos y concluye que Newton es más completo pero también más laborioso que bisección.

1. METODOS NUMERICOS
Alumno: DANIEL ARTURO PASTRANA AVILA
METODOS NUMERICOS DE LA BISECCION Y
NEWTON-RAPSON
Carrera: ING. CIVIL
Semestre: 4TO
Grupo: 541

2. METODO DE LA BISECCION
 La llamada a la rutina de bisección será
como
sigue:[it,inter]=bisect(a,b,funci,eps);donde
[a,b] es el intervalo donde se busca el cero
de f(x) = 0 (debiéndose cumplir que f(a)f(b) <
0) y eps es la precisión absoluta que le vamos
a pedir a nuestro resultado numérico.
 Recordemos el algoritmo:Algoritmo de
bisección en un intervalo [a,b], tal que
f(a)f(b) < 0 (1) Sea c = (b + a)/2
(2) Si b − c ≤ ?, aceptar c como
la ra´ ız y parar
(3) Si f(b)f(c) ≤ 0, tomar a = c, por
el contrario hacer b = c.
(4) Volver a (1)

3. METODO DE NEWTON-RAPSON
 Elmétodo de Newton-Raphson es un
método de optimización iterativo que se
basa en aproximar la función a optimizar
por medio de la serie de Taylor hasta
orden 2. Tiene la ventaja sobre el método
de ascenso más rápido que no requiere
un proceso iterativo para determinar
hasta donde moverse.

4.  Suponga que se desea minimizar la función f(x)
con n variables y que ésta se aproxima
METODOdesarrollo de Taylor hasta orden.
utilizando el DE NEWTON-RAPSON
Así
 f(x) ≈ φ(x) = f(xo) + (x − xo)′∇f(xo) +12(x −
xo)′Hf(xo)(x − xo)
 Si la aproximación de f(x) por φ(x) es
buena, un mínimo relativo f(x) se podría
aproximar por un mínimo
 relativo de por φ(x). Supongamos que x1es un
mínimo relativo de φ(x), entonces x1es un
punto estacionario
 para φ(x), as´ ı ∇φ(x1) = 0.

5.  Desarrollando el gradiente de φ(x),
sustituyendo x1por x e igualando a 0 tenemos:
METODO DE NEWTON-RAPSON
 ∇f(xo) + Hf(xo)(x1− x0) = 0
 Si la matriz hessiana Hf(xo) es invertible
tenemos que
 x1= xo− Hf−1(xo)∇f(xo)

6. Resultados de bisección
Problema 1

9. Problema 2

12. Problema 3

15. Problema 4

18. Método de Newton-Rapson

19. Problema 1

20. Problema 1

21. Problema 2

22. Tabla

24. Problema 3

27. Problema 4

30. Método de bisección

32. Método de newton-rapson

34.  FUE
DE GRAN UTILIDAD REALIZAR ESTOS
Conclusión DE GRAN IMPORTANCIA
METODOS, SON
PARA LA INGENIERIA, EL METODO DE
NEWTON FUE EL MAS COMPLETO SOLO
QUE FUE UN POCO LABORIOSO, A
DIFERENCIA DE NEW TON RAPSHON NO
SIEMPRE.