Este documento explica el concepto de derivada como la razón de cambio de una función. Define la derivada como la pendiente de la recta secante, la razón de cambio instantánea como un límite, y explica cómo se pueden usar derivadas para calcular la velocidad, aceleración y cambios marginales en costos e ingresos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada uno de estos conceptos.

2. DERIVADAS
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
RAZ ´ON DE CAMBIO PROMEDIO
La raz´on de cambio promedio de f con respecto a x en el intervalo (x1, x2)
esta dado por el cociente de diferencias:
∆y
∆x
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura.
Figura 1.
Tomada de Stewart (2012)

4. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
EJEMPLO 1
La altura s arriba del suelo a la que se suelta una pelota desde la parte superior
del Arco de San Luis Missouri est´a dada por s(t) = −16t2 + 1600, donde s
se mide en pies y t en segundos, vea la figura. Encuentre la velocidad media
de la pelota que cae entre el instante en que se suelta la pelota y el instante en
que golpea el suelo.
Figura 2.
El instante en que se
suelta la pelota est´a determinado por la ecuaci´on
s(t) = −16t2
+ 1600 = 1600
As´ı se obtiene que t = 0. Cuando
la pelota golpea el suelo, se tiene s(t) = 0,
es decir, −16t2 + 1600 = 0, as´ı que t = 10s.
La velocidad media de la pelota est´a dada por:
s(10) − s(0)
10 − 0
=
0 − 1600
10
= −160 pies/s

5. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
RAZ ´ON DE CAMBIO INSTANT ´ANEA
La raz´on de cambio instant´anea de f con respecto a x en x1 es la derivada
f (x1) = l´ım
h→0
(x1 + h) − f(x1)
h
siempre y cuando el l´ımite exista.
EJEMPLO 2
El ´area de un c´ırculo se relaciona con su diam´etro mediante la ecuaci´on
A =
π
4
D2
¿Qu´e tan r´apido cambia el ´area del c´ırculo con respecto al di´ametro cuando el
radio es de 20 m?
dA
dD
=
π
4
2D =
πD
2
Como el radio del c´ırculo es de 20m el di´ametro es de 40m, as´ı el ´area cambia
con respecto a di´amtro a una raz´on de π40
2 = 20π m2/m.

6. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
VELOCIDAD (INSTANT ´ANEA)
La velocidad instant´anea es la derivada de la posici´on con respecto al
tiempo. Si la posici´on de un cuerpo en el momento t es s = f(t), entonces, la
velocidad del cuerpo en el momento t es
v(t) =
ds
dt
= l´ım
∆t→0
f(t + ∆t) − f(t)
∆t
La rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
EJEMPLO 3
Encuentre la velocidad instant´anea de la pelota que cae en el ejemplo 1.
Como v(s) = ds
dt = −32t, as´ı v(3) = s (3) = −32(3) = −96 pies/s.

7. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
ACELERACI ´ON
La aceleraci´on es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo t. Si la
posici´on de un objeto en el tiempo t es s = f(t), entonces la aceleraci´on del
objeto en el tiempo t es
a(t) =
dv
dt
=
d2s
dt2
EJEMPLO 4
La posici´on de una part´ıcula est´a dada por la siguiente funci´on:
s = f(t) = t3
− 6t + 1
donde t se mide en segundos y s en metros. Halle la aceleraci´on de la
part´ıcula despu´es de 4 s.
Como v(t) = 3t2 − 6, as´ı a(t) = 6t, de esta manera a(4) = 6(4) = 24m/s2

8. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
EJEMPLO 5
Suponga que
c(x) = x3
− 6x2
+ 15x
es el costo de producci´on en d´olares de x radiadores cuando se producen entre
8 y 30 unidades, y que
r(x) = x3
− 3x2
+ 12x
es el ingreso en d´olares por vender x radiadores. Suponga que, en su taller, se
producen 10 radiadores al d´ıa. ¿Aproximadamente cu´anto m´as costar´a
producir un radiador adicional cada d´ıa y cu´al es su incremento estimado de
ingreso por la venta de 11 radiadores al d´ıa?

9. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
El costo de fabricar un radiador m´as al d´ıa cuando se producen 10, es
aproximadamente c (x) :
c (x) =
d
dx
x3
− 6x2
+ 15x = 3x2
− 12x + 15
c (10) = 3(10)2
− 12(10) + 15 = 195
El costo adicional ser´a aproximadamente de $195. El ingreso marginal es
r (x) =
d
dx
(x3
− 3x2
+ 12x) = 3x2
− 6x + 12.
La funci´on de ingreso marginal estima el incremento del ingreso que se
generar´a al vender una unidad m´as. Si actualmente usted vende 10 radiadores
al d´ıa, puede esperar que su ingreso se incremente en aproximadamente
r (10) = 3(100) − 6(10) + 12 = $252
Si usted aumenta sus ventas a 11 radiadores al d´ıa.

10. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.