El documento describe los métodos de Newton-Raphson y bisección para encontrar las raíces de una función. Explica cómo implementar estos métodos usando Excel y Maple, y provee ejemplos numéricos de encontrar raíces de funciones específicas. Concluye que aunque existen diferentes formas de calcular raíces, el enfoque en el documento es usar software para ilustrar la revolución tecnológica en cálculos matemáticos.
Exposición de Calculo diferencial
Se desea hacer una lata, con capacidad de un litro, que tenga la forma de un cilindro recto circular. Halla la razón de la altura al radio de la base de manera que utilice la menor cantidad de material en la fabricación de la lata. Sugerencia: Dibuja un cilindro recto de radio r y altura h. De su fórmula para calcular el volumen, considera V = 1 y despeja h en términos de r; sustituye h en la fórmula para calcular el área de un cilindro recto.
Primer paso
El volumen de un cilindro es
V(r, h)=PI·(r^2)·h donde r es el radio y h la altura
Sabiendo que el volumen va a a ser un litro podemos expresar la altura en función del radio y todo ello en centímetros:
1 litro = 1000 cm^3
1000 = PI(r^2)h
h = 1000 / [PI(r^2)]
El área es la lateral más la de las dos bases:
Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h)
Paso #2
Sustituimos ahora la h que habíamos calculado arriba y así tendremos el área en función solo del radio
Área(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)])
Área(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)])
Simplificando PI·r tenemos
Área(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r) o si se prefiere se pone en dos partes, creo que mejor
Área(r) = 2PI(r^2) + 2000/r
Paso #3
Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.
Área'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0
PI·r - 500/(r^2) = 0
PI·r^3 - 500 = 0
r = (500/PI)^(1/3) = (159,15494)^(1/3) = 5,4192607 cm
La derivada segunda es
Área''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3)
que es claramente positiva para ese valor de r, luego es un mínimo tal como queríamos.
h = 1000 / [PI(r^2)]
h = 1000 / [PI(5,4192607^2)] = 1000/(PI· 29,368387) = 1000/ 92,263507 = 10,8385521 cm
Paso #4
Luego el cilindro que menos metal utiliza en su construcción para albergar un litro es aquel que tiene:
radio = 5,4192607 cm
altura = 10,8385521 cm
nos podemos fijar que la altura es exactamente el doble que el radio, es decir que la altura es igual que el diámetro.
Exposición de Calculo diferencial
Se desea hacer una lata, con capacidad de un litro, que tenga la forma de un cilindro recto circular. Halla la razón de la altura al radio de la base de manera que utilice la menor cantidad de material en la fabricación de la lata. Sugerencia: Dibuja un cilindro recto de radio r y altura h. De su fórmula para calcular el volumen, considera V = 1 y despeja h en términos de r; sustituye h en la fórmula para calcular el área de un cilindro recto.
Primer paso
El volumen de un cilindro es
V(r, h)=PI·(r^2)·h donde r es el radio y h la altura
Sabiendo que el volumen va a a ser un litro podemos expresar la altura en función del radio y todo ello en centímetros:
1 litro = 1000 cm^3
1000 = PI(r^2)h
h = 1000 / [PI(r^2)]
El área es la lateral más la de las dos bases:
Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h)
Paso #2
Sustituimos ahora la h que habíamos calculado arriba y así tendremos el área en función solo del radio
Área(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)])
Área(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)])
Simplificando PI·r tenemos
Área(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r) o si se prefiere se pone en dos partes, creo que mejor
Área(r) = 2PI(r^2) + 2000/r
Paso #3
Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.
Área'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0
PI·r - 500/(r^2) = 0
PI·r^3 - 500 = 0
r = (500/PI)^(1/3) = (159,15494)^(1/3) = 5,4192607 cm
La derivada segunda es
Área''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3)
que es claramente positiva para ese valor de r, luego es un mínimo tal como queríamos.
h = 1000 / [PI(r^2)]
h = 1000 / [PI(5,4192607^2)] = 1000/(PI· 29,368387) = 1000/ 92,263507 = 10,8385521 cm
Paso #4
Luego el cilindro que menos metal utiliza en su construcción para albergar un litro es aquel que tiene:
radio = 5,4192607 cm
altura = 10,8385521 cm
nos podemos fijar que la altura es exactamente el doble que el radio, es decir que la altura es igual que el diámetro.
En este trabajo vamos a comprender el calculo de las áreas geométricas como: el cuadrado, el triangulo, el rectángulo, la circunferencia entre otros...
En este trabajo vamos a comprender el calculo de las áreas geométricas como: el cuadrado, el triangulo, el rectángulo, la circunferencia entre otros...
Libro dedicado al cálculo aproximado de raíces de ecuaciones no lineales utilizando Octave: Bisección, Regula, Secante, Pto. Fijo, Newton-Raphson, Wegstein, Müller, Sturm, etc.
APUNTES Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS NUMERICOJulio Ruano
EL PRESENTE TEXTO ES DE MI COMPLETA AUTORIA, POR LO QUE AGRADECERIA COMENTARIOS Y SUGERENCIAS SOBRE EL MISMO PARA EN UN FUTURO DESARROLLAR UNA SEGUNDA EDICION.
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2. •El método de Newton-Raphson es un método de optimización
iterativo que se basa en aproximar la función a optimizar por medio
de la serie de Taylor hasta orden 2. Tiene la ventaja sobre el método
de ascenso más rápido que no requiere un proceso iterativo para
determinar hasta donde moverse.
5. La llamada a la rutina de bisección será como
sigue:[it,inter]=bisect(a,b,funci,eps);donde [a,b] es el intervalo
donde se busca el cero de f(x) = 0 (debiéndose cumplir que
f(a)f(b) < 0) y eps es la precisión absoluta que le vamos a pedir a
nuestro resultado numérico.
Recordemos el algoritmo:Algoritmo de bisección en un intervalo
[a,b], tal que f(a)f(b) < 0
23. CONCLUSIONES
Existen diferentes formas de calcular las raíces de una función, pero
en este caso nos enfocamos mas en realizarlas por medio de software
para dar a conocer la revolución tecnológica en los cálculos
matemáticos.
Esta presentación es una guía al lector para poder identificar las
maneras de solución de estos diferentes ejercicios.