El documento habla sobre métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. Explica el método de Newton-Raphson, el cual es un método abierto que encuentra raíces iterativamente a través de la tangente de la función en cada punto. También presenta un ejemplo de aplicar el método para calcular la tasa de contratación en un modelo de crecimiento de población de una empresa.

1. 2014
Proyecto Final
METODOS NÚMERICOS
JOHN MOYA C
PROF ANTONIO TAMARGO

2. Introducción
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de
diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en
última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario
para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en
procesos más sencillos empleando números.
Métodos Abiertos
Estos métodos son aquellos que aprovechan las raíces de ecuaciones, estos tienen
características importantes de recalcar, como lo son por ejemplo: sólo requieren un valor
inicial o un par, pero que pueden no encerrar la raíz.
Uno de los problemas que estos métodos presentan es que pueden ser divergentes
conforme se realizan iteraciones, sin embargo si un método abierto se hace converger a la
solución, usualmente lo hace con mayor rapidez que los métodos cerrados.
Método De Newton Raphson
El método de Newton-Raphson es un método
abierto, en el sentido de que su convergencia
global no está garantizada. La única manera
de alcanzar la convergencia es seleccionar un
valor inicial lo suficientemente cercano a la
raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
iteración con un valor razonablemente
cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto). La relativa
cercanía del punto inicial a la raíz depende
mucho de la naturaleza de la propia función;

3. si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la
raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige
seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método
linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de
dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior.
Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un
valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola
variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables
a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos
que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones,
etc.
Objetivos
Aplicar los métodos numéricos en la vida real
Ejemplo
El aumento de personal en una empresa internacional puede modelarse en períodos cortos
suponiendo que el crecimiento de esto es una función continua en t mediante una ecuación
diferencial cuya solución es:
𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝛽𝑡
+
𝑣
𝛽
(𝑒 𝛽𝑡
− 1)
Donde N(t) es el número de personas en el tiempo t (medido en años), β es la razón de contratación,
N0 es la población inicial y v es una razón constante de despidos, que se mide en número de despidos
al año.
Supóngase que una población dada tiene un millón de individuos inicialmente y una inmigración de
400,000 individuos al año. Se observa que al final del primer año la población es de 1.506,000
individuos. Se pide:
a) Determinar la tasa de contratación.

4. Solución
En este problema nos dan el modelo:
𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝛽𝑡
+
𝑣
𝛽
(𝑒 𝛽𝑡
− 1)
Los datos N0 = 106, v = 200, N(1) = 10500 , y nos piden simplemente que despejemos el valor de β :
1506 103
= 106
𝑒 𝛽
+
4 105
𝛽
(𝑒 𝛽
− 1)
Simplificamos antes de resolver el cero de cierta función asociada:
𝑓(𝛽) = 1000𝑒 𝛽
+
400
𝛽
(𝑒 𝛽
− 1) − 1506 = 0

5. Con un dato inicial bajo x1 = 1 (lo esperable para la natalidad de una población que en un año sólo
ha pasado de 1400000 a algo más de millón y medio de habitantes) la respuesta se obtiene en 6
iteraciones
𝑓′(𝛽) = 1000𝑒 𝛽
+
400
𝛽2
∗ 𝑒 𝛽
Procedimientos
1000𝑒 𝛽
+
400
𝛽2 (𝑒 𝛽
− 1) − 1506
200𝑒 𝛽(5𝛽2 + 2𝛽 − 2) + 2
𝛽2
𝑥0 =
1899,59456
3118,281828
= 0,609179
𝑥1 =
883,7745667
2142.140387
= 0,412566
𝑥2 =
499.823835
1775,231418
= 0,281554
𝑥3 =
281,177161
1567,007649
= 0,179435
𝑥4 =
128,674436
1422,15564
= 0,000478