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Múltiplos y divisores
- 1. : Se obtienenal multiplicar un número por todos los números naturales. Tenemos que dominar muy bien ya que así sabremos hallar los múltiplos de cualquier número. Ejemplos: Múltiplos de 3: 3,6,9,12,15… Múltiplos de 6: 6,12,18,24… : Se obtienen al dividir un número por otro natural,siendo el resto 0. Es muy importantes saber 2 6 5 4 3 9
- 2. ¿ Como averiguarsi un número es divisible por 11? Tenemos el número 4158 Sumamos las cifras que ocupan los lugares impares:4+5=9 Sumamos las cifras que ocupan los lugares pares:1+8=9 Ahora hayamos la diferencia: 9-9=0,por lo tanto el número 4158 es divisible por 11. Por ejemplo: 32:4=8 y de resto 0 por lo tanto 32 es MÚLTIPLO de 8 y 8 es DIVISOR de 32. 10 0 0 11
- 3. Los números primosson aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad. Ejemplos: 3,5,7,11… Los números compuestos son aquellos que tienen algún divisor además de ellos mismos y la unidad. Ejemplos:4,6,8,10… LA CRIBA DE ERATÓSTENES Es un procedimiento para determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado. Empezamos en el número 2 y tachamos todos los múltiplos de 2;continuamos con el siguiente número no tachado en la tabla,en este caso el número 3,y tachamos todos los múltiplos de 3.El siguiente número no tachado en la tabla es el número 5 y tachamos todos los múltiplos de 5.Lo hacemos también con el siete y tachamos todos los múltiplos. Tenemos que recordar que el 2,3,4,5 y 7 no se tachan ya que son primos.
- 4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Elmínimo común múltiplo es el menor de los múltiplos comunes distintos de 0 Se puede calcular de dos formas: 1.Escribimos los primeros múltiplos de cada número,señalamos los múltiplos comunes y de ellos elegimos el más pequeño. Por ejemplo: Múltipos de 3:{3,6,9,12,15,18,21,24,27…} Múltiplos de 6:{6,12,18,24,30…} El mínimo común múltiplo de 3 y 6 distinto de 0 es 6 2.Descomposición en factores primos 3 3 6 2 Para hallar el m.c.m tenemos que coger los factores 1 3 3 comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 1 En este caso serían: 3x2:6 3:3x1 6:2x3x1 Por lo tanto,el m.c.m de (3 y 6) = 6
- 5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Elmáximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números. También de puede realizar de dos formas diferentes: 1.Escribimos todos los divisores de cada número,y de estos señalamos los divisores comunes. El divisor mayor será el M.C.D Divisores de 30:{1,2,3,5,6,10,15 y 30} Divisores de 20:{1,2,4,5,10 y 20} El máximo común divisor de 20 y 30 es 10 2.Descomposición en factores primos 30 2 20 2 30:2x3x5 20=2²x5 15 3 10 2 Para hallar el M.C.D tenemos que coger los factores 5 5 5 5 comunes elevados al menor exponente. 1 1 El M.C.D de 30 y 20=2x5=10 PROBLEMAS DONDE PODEMOS USAR EL m.c.m y el M.C.D Trucos: Si en el problema aparecen preguntas como: ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuándo se encontrarán?
- 6. ¿Cuándo volverána estarjuntos? Ejemplo:Dos ciclistas dan vueltas a un circuito de ciclocross.Parten a la vez y el primero tarda 60 minutos en dar una vuelta,mientras que el segundo tarde 90 minutos.¿Cuántas vueltas dará cada uno hasta volver a encontrarse en la salida? Tendremos que hallar el m.c.m de 60 y 90 60 2 90 2 60=2²x3x5 90=2x3²x5 30 2 45 3 El m.c.m de ( 60 y 90) =2²x3²x5=180minutos 15 3 15 3 El primero tendrá que dar 3 vueltas ya que cada 5 5 5 5 vuelta le lleva 60 min. Y el segundo tendra que 1 1 dar 2 vueltas ya que cada vuelta le lleva 90min. Si en el problema aparecen palabras como -El mayor,el máximo,repartir,dividir,distribuir,(en partes iguales,en trozos iguales,…) Laura ha comprado 120kg de abono orgánico y 80kg de abono químico.Si quiere envasarlos en sacos de igual peso( es decir,repartirlos) pero sin mezclar el abono,¿cuánto pesarán los sacos?
- 7. Tendremos que hallarel M.C.D de 120 y 80 120 2 80 2 120=2³x3x5 8=2⁴x5 60 2 40 2 El M.C.D de 120 y 80= 2³x 5=40kg pesarán los 30 2 20 2 sacos. 15 3 10 2 5 5 5 5 1 1 Más problemas para realizar Julia tiene 135 cuentas amarillas,150 rojas y 180 verdes.Quiere hacer el mayor número posible de collares con la misma composición de cuentas. a) ¿Cuántos collares puede confeccionar sin que le sobre ninguna cuenta? b) ¿Cuántas cuentas de cada color tendrá cada collar? Maite tiene 30 caramelos de fresa y 45 de menta.Los quiere empaquetar en bolsas,de manera que todas tengan la misma composición.Si quiere preparar el mayor número de bolsas sin que sobre ningún caramelo. a) ¿Cuántas bolsas obtendrá? b) ¿Qué composición tendrá cada bolsa?