Ejercicios de termodinámica teórica para el repaso de los conceptos fundamentales y básico al inicio del curso teórico. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de física.
Ejercicios de termodinámica teórica para el repaso de los conceptos fundamentales y básico al inicio del curso teórico. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de física.
La mycoplasmosis aviar es una enfermedad contagiosa de las aves causada por bacterias del género Mycoplasma. Esencialmente, afecta a aves como pollos, pavos y otras aves de corral, causando importantes pérdidas económicas en la industria avícola debido a la disminución en la producción de huevos y carne, así como a la mortalidad.
1. Termodinámica2
1. Ejercicio 1
Para un gas real a presiones moderadas, P(v −b) = Rθ, donde R y b son constantes, es una ecuación
de estado aproximada que tiene en cuenta el tamaño finito de las moléculas. Demostrar que:
(a) β =
1/θ
1 + bP/Rθ
(b) κ =
1/P
1 + bP/Rθ
Solución
Podemos despejar v de la ecuación dada, así:
v =
Rθ
P
+ b
Ahora, derivando dicha ecuación respecto a P y respecto a θ, tenemos que:
dv =
∂v
∂θ
dθ +
∂v
∂P
dP
dv =
R
P
dθ +
−Rθ
P2
dP
Sabemos que el coeficiente de dilatacion cúbico β y la compresibilidad isotérmica κ son respectiva-
mente:
β =
1
v
∂v
∂θ
=
1
v
R
P
κ = −
1
v
∂v
∂P
= −
1
v
−Rθ
P2
Reemplazando v en β y κ
β =
1
Rθ
P
+ b
R
P
=
R
Rθ + Pb
(1)
κ = −
1
Rθ
P
+ b
−Rθ
P2
=
Rθ
RθP + P2b
(2)
Dividiendo (1) entre Rθ, tenemos:
1
2. β =
1/θ
1 + Pb/Rθ
Dividiendo (2) entre RθP, tenemos:
κ =
1/P
1 + Pb/Rθ
2. Ejercicio 2
La ecuación de Brillouin
M = Ngµβ
(J +
1
2
) coth
(J +
1
2
)
gµβH
kθ
−
1
2
coth
1
2
gµβH
kθ
En la que N, g, µβ, J, k, son constantes atómicas, es la ecuación de estado para un material para-
magnético ideal, válida para todos los valores de la razón H/θ
a. Hallar cómo varía la cotangente hiperbólica de x cuando x tiende a 0
Solución
Redefiniendo coth(x)
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
evaluando el límite por derecha y por izquierda,respectivamente se tiene:
lı́m
x→0+
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
= ∞
lı́m
x→0−
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
= −∞
Lo que conlleva a concluir que el límite no existe.
b. Demostrar que la ecuación de Brillouin se reduce a la de Curie cuando H/θ tiende a 0
Solución
implementamos unas sustituciones para simplificar:
t =
H
θ
, J0
= J +
1
2
, c =
gµβ
K
, N0
= Ngµβ.
dividiendo M en t:
M
t
= N0
J0 coth(J0ct)
t
−
coth(c
2t)
2t
expandiendo coth en sen y cos:
M
t
= N0
2J0 cosh(J0ct) sinh(c
2t) − cosh(c
2t) sinh(J0ct)
2t sinh(J0ct) sinh(c
2t)
2
3. Tomando el límite de t → 0, genera una indeterminación del tipo 0/0, por tanto es necesario aplicar
la regla de L’Hôpital, obteniendo:
= lı́m
t→0
N0
2J02c sinh(J0ct) sinh(c
2t) + cJ0 cosh(J0ct) cosh(c
2t) − c
2 sinh(c
2t) sinh(J0ct)
2 sinh(J0ct) sinh(c
2t) + 2tJ0c cosh(J0ct) sinh(c
2t)
...
...
−cJ0 cosh(c
2t) cosh(J0ct)
+ct sinh(J0ct) cosh(c
2t)
,
= N0
(2J02c − c
2) sinh(J0ct) sinh(c
2t)
2 sinh(J0ct) sinh(c
2t) + 2tJ0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + ct sinh(J0ct) cosh(c
2t)
aplicando L’Hôpital:
= lı́m
t→0
N0
(2J02c − c
2)[J0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + c
2 sinh(J0ct) cosh(c
2t)]
4J0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + 2c sinh(J0ct) cosh(c
2t) + 2J0c2t cosh(J0ct) cosh(c
2t)
...
...
(1)
+2J02c2t sinh(J0ct) sinh(c
2t) + c2
2 t sinh(J0ct) cosh(c
2t)
#
de nuevo aplicando L’Hôpital, y teniendo presente sólo los términos que no se anulan:
M
t
= lı́m
t→0
(2J02c − c
2)[J0c2 cosh(J0ct) cosh(c
2t)]
6J0c2 cosh(J0ct) cosh(c
2t)
Tomando el límite:
M
t
= N0
J02c
3
−
c
12
renombrando C0
c a lo de la derecha y sustituyendo t:
M =
HCc
θ
.
que resulta siendo la ecuación de la ley de Curie.
c. Demostrar que la constante de Curie viene dada por:
C0
C =
Ng2J(J + 1)µ2
βµ0
3k
Solución
Sabiendo que: M =
HC0
C
θ
, y teniendo que t =
H
θ
, J0 = J +
1
2
, c =
gµθ
k
, N0 = Ngµβ
M
t
= N0
J02
c
3
−
c
12
#
C0
C = N0
J02
c
3
−
c
12
#
C0
C = (Ngµβ)
(J +
1
2
)2(
gµθ
k
)
3
−
gµθ
k
12
De donde:
3