Modelamiento

GICI-Grupo de Investigación en control Industrial1
1.DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO
Para investigar como varía el comportamiento de un proceso
químico ante cambios en los disturbios externos y las variables
manipuladas y estar en la capacidad de diseñar el controlador
apropiado, puede usarse dos enfoques:
a. Enfoque experimental. Este enfoque se aplica cuando el equipo
físico del proceso industrial esta disponible. El método consiste en
cambiar deliberadamente las variables de entrada del proceso
(disturbios externos y variables manipuladas) y medir
cuidadosamente las variables de salida (temperatura, presión, flujo,
etc.) para observar como varían estas con el tiempo.
MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE
PROCESOS INDUSTRIALES

b. Enfoque teórico. Se aplica generalmente cuando se requiere
diseñar un controlador para un proceso industrial cuya planta aún
no ha sido construida. La representación del proceso se hace
mediante ecuaciones matemáticas (algebraicas y ó diferenciales),
cuya solución permite conocer el comportamiento dinámico del
proceso.
1.1 Necesidad del modelamiento matemático para el control
de procesos :
Para diseñar un sistema de control es necesario conocer la
dinámica de la planta ante cambios en las variables de entrada y
perturbaciones externas. Si la planta no esta construida entonces
para conocer su dinámica es necesario tener el modelo
matemático de la planta y en el caso de que la planta física exista
la aplicación del método experimental es muy costosa por lo que
también es útil tener el modelo matemático de la planta.

Generalmente lo que el diseñador necesita es una descripción
sencilla de cómo reacciona el proceso ante cambios en la variable
de entrada y esto es lo que el modelo matemático provee al
diseñador del sistema de control.
Ejemplo 1.1. Diseño de un controlador de Acción precalculada
para un proceso.
Figura 1.1 Configuración de un control de Acción Precalculada.

Con el objetivo de mantener la salida en un nivel deseado, es
necesario cambiar el valor de la variable manipulada de tal forma
que elimine el impacto que el disturbio podría ocasionar en la
salida.
En que cantidad habrá que variar la variable manipulada para
eliminar el efecto del disturbio?.
Salida =
Salida =
Las relaciones matemáticas , son previstas por el modelo
matemático del proceso.
Si queremos que la salida permanezca sin variación, la variable
manipulada debe cumplir la siguiente relación:
)disturbio(1f
)manipuladavariable(2f
21 fyf
    021  manipuladabariablefdisturbiof

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Aquí puede verse la importancia del modelo matemático en el
diseño de sistemas de control de acción precalculada (feedforward).
Por otro lado tan importante como tener el modelo matemático es
que el modelo sea preciso, pues de lo contrario será imposible
obtener diseños eficientes de los sistemas de control de acción
precalculada.
1.2 Variables y ecuaciones de estado de un proceso :
Con el objetivo de caracterizar un proceso (tanque de calor, reactor,
columna de destilación etc.) se requiere lo siguiente:
• Un conjunto de variables, las cuales describen el estado natural
del sistema.
• Un conjunto de ecuaciones que relacionen las variables
mencionadas y que describan como el estado natural del sistema
cambia con el tiempo.
5

Las ecuaciones que relacionan las variables de estado (variables
dependientes) a las variables independientes se derivan aplicando
el principio de conservación y se denominan ecuaciones de
estado. El principio de conservación de una cantidad de estado S,
establece que:
     
   
tiempodeperiodo
sistemaelporconsumidaSdeCantidad
tiempodeperiodo
sistemaelporgeneradaSdeCantidad
tiempodeperiodo
sistemadelsalequeSdeFlujo
tiempodeperiodo
sistemaalentraqueSdeFlujo
tiempodeperiodo
sistemaelenSdenAcumulació



La cantidad S puede ser cualquiera de las siguientes cantidades
fundamentales:
• Masa Total
• Masa de los componentes individuales
• Energía Total
Figura 1.2 un sistema general y su interacción con el externo.

Las ecuaciones son:
Balance total de masa:
Balance de masa en el componente A:
Balance total de energía:
 
 

salj
jj
enti
ii FF
dt
Vd


   
rVFcFc
dt
Vcd
dt
nd
salj
jAj
enti
iAi
AA
 

  WsQhFphFp
dt
PKUd
dt
dE
salj
jjj
enti
iii 

  

Por convención se toma como positiva la cantidad si fluye
entrando al sistema y negativa si sale del sistema.
Las ecuaciones de estado con las variables de estado asociadas
constituyen el modelo matemático del proceso, el cual representa
el comportamiento estático o dinámico del proceso.
Ejemplo 1.2 Ecuaciones y variables de estado para el tanque con
calentador y agitador.
Consideremos el tanque con calentador y agitador del ejemplo 1.1,
figura 1.2. las cantidades fundamentales dadas como datos son:
a. La masa total del líquido en el tanque.
b. La energía total del material en el tanque.
Las variables de estado para el tanque calentador son:

La masa total en el tanque:
Masa total =
Donde p es la densidad del liquido, V el volumen del liquido, A la
sección horizontal del área del tanque, y h la altura del nivel del
liquido.
La energía total del tanque es:
Como el tanque no se mueve, la energía cinética K y la potencial
p permanecen constantes, entonces, derivando la ecuación
encontramos:
AhV  
 KUE
dt
dU
dt
dE 

Para el sistema del liquido:
Donde H es la entalpía total del liquido del tanque. Además,
donde:
calor especifico del liquido del tanque
temperatura de referencia, donde la entalpia especifica del
liquido se asume cero.
dt
dH
dt
dU

   refref TTAhcTTVcH   
pc
refT
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Variables de estado: h y T
- Y los parámetros constantes:
Balance total de masa:
donde Fe y F es la rata de flujo que ingresa y sale del tanque.
Asumiendo la densidad constante, la ecuación se transforma en:
refp TcAp ,,,
  
  
tiempo
salidade
tiempo
entradade
tiempo
acumulada
totalmasatotalmasatotalmasa

  FF
dt
Ahd
e 


FF
dt
dh
A e 
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Balance total de energía :
donde Q es la cantidad de calor suministrada por el vapor por
unidad de tiempo. La ecuación se simplifica, se asumimos que
Tref=0 y la agrupación convenientemente, a la forma:
   
   
tiempo
vaporelpor
tiempo
salidade
tiempo
entradade
tiempo
totalenergía
dadaenergíatotalenergíatotalenergíadenacumulació

       QTTFcTTFec
dt
TTAhcd
refprefep
refp




 
p
ee
c
Q
TTF
dt
dT
Ah


13

Las variables de las ecuaciones diferenciales pueden ser
clasificadas así:
Variables de estado : h, T
Variables de salida : h,T
Variables de entrada:
- disturbios
- variables manipuladas:
(para el control por retroalimentación)
(para el control por acción precalculada)
Parámetros
ee FT ,:
FQ,
pcpA ,,:
eF
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2 . CONSIDERACIONES EN EL MODELAMIENTO PARA
PROCESOS DE CONTROL
2.1 El modelo entrada – salida :
El modelo debería tener la siguiente forma general:
Salida = f (variables de entrada)
Figura 2.1 un proceso y sus variables de entrada y salida
15

Usando la figura 2.1, la relación se expresaría:
Cada modelo que describe directamente la relación entre las
variables de entrada y salida de un proceso se llama modelo
entrada-salida.
2.2 Grados de libertad :
Se denomina grados de libertad de un proceso a las variables
independientes que deben ser especificadas para poder definir un
proceso en forma completa. Por lo tanto los interrogantes sobre
el control de un proceso pueden darse por concluidas solo y solo
si todos los grados de libertad del proceso hayan sido
especificados.
  midondednddmkmmfyi ,....2,1,...2,1;,...2,1 
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Ejemplo 2.1. Grados de libertad del tanque con calentador y
agitador.
El modelo matemático del tanque con calentador y agitador, tal
como se dedujo en el ejemplo 1.2, esta dado por:
Las ecuaciones tienen solución?
Si la solución es posible, cuantas soluciones existen?
Estas preguntas se responden analizando el número de ecuaciones y
de variables.
FF
dt
dh
A e   
p
ee
pc
Q
TTF
dt
dT
Ah 
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Número de ecuaciones = 2 ecuaciones (3.1) y (3.2)
Número de variables = 6
Se ha asumido que A, p, y Cp son parámetros que permanecen
constantes.
Evidentemente:
Número de variables > número de ecuaciones
Las variables que pueden especificarse arbitrariamente son los
grados de libertad y el número viene dado por la siguiente relación:
(número de variables) – (número de ecuaciones)
Para especificar completamente un proceso el número de los
grados de libertad debe ser igual a cero.
QyTeFFeTh ,,,,,
f
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2.3 Grados de libertad y el control de proceso :
Un proceso industrial cuidadosamente modelado tendrá, en general
uno o más grados de libertad. Por lo tanto desde que f > 0 el
proceso tendrá un infinito número de soluciones y nace la
pregunta:
Que se debe hacer para reducir el número de grados de libertad a
cero tal que se logre tener un sistema completamente especificado
con comportamiento único?
Existen dos fuentes que nos proveen de ecuaciones adicionales (1)
el mundo exterior al sistema y (2) al sistema de control.
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