1. Modelo de discusi´n y resoluci´n de sistemas con un par´metro.
o
o
a
1
Discutir el siguiente sistema en funci´n del par´metro a ∈ R. Resolverlo en los casos que sea posible.
o
a

 (a + 1)x + y + 2z = −2
2x + y + (a + 1)z = 3

x + (a + 1)y + 2z = −2
En primer lugar, es m´s c´modo escribir el sistema mediante la matriz ampliada A∗ , compuesta con la
a o
matriz de los coeficientes A y de la columna de los t´rminos independientes:
e


a+1
1
2
| −2
(
)
1
a+1 | 3 = A|B
A∗ =  2
1
a+1
2
| −2
El rango de A depender´ del valor del determinante de A:
a
det(A) =
a+1
1
2
2
1
a + 1 = 2(a + 1) + a + 1 + 4(a + 1) − 2 − 4 − (a + 1)3
1
a+1
2
= 2a + 2 + a + 1 + 4a + 4 − 6 − (a3 + 3a2 + 3a + 1) =
= −a3 − 3a2 + 4a = −a(a2 + 3a − 4) = −a(a − 1)(a + 4)
det(A) = 0 ⇔ a = 0 o a = 1 o a = −4
Obsevaciones: Primera: Al calcular el determinante de A, normalmente se obtiene un
polinomio cuya variable independiente es el par´metro, en este caso es a.
a
Para encontrar las ra´ces del polinomio, generalmente habr´ que emplear la
ı
a
regla de Ruffini. Si el polinomio es de segundo grado, no es necesario hacer Ruffini.
Segunda: Cuando se especifican los valores que anulan un polinomio,
se emplea la disyunci´n o entre los valores.
o
Tercera: Si se niegan los valores que anulan el polinomio, se emplea
la conjunci´n y.
o
Si a ̸= 0 y a ̸= 1 y a ̸= −4 ⇒ det(A) ̸= 0 ⇒ rg(A) = 3. Como coincide con el n´mero de filas,
u
el rango de la ampliada A∗ tambi´n ser´ 3. Por lo que seg´n el Teorema de Rouch´-Frobenius, el sistema
e
a
u
e
ser´ compatible determinado.
a
Vamos a pasar a estudiar el rg(A) en los casos en que se anula el determinante.
Lo ideal ser´a sustituir las ra´ces del polinomio en A y estudiar cada caso por
ı
ı
separado. Pero en esta situaci´n voy a buscar un menor complementario de orden 2 que no
o
dependa de a o si depende de a, que no se anule para a = 0 o a = 1 o a = −4.
En la matriz de abajo est´n marcados cuatro elementos que forman un menor complementario cuyo valor
a
4 − a − 1 = 3 − a no se anula para las ra´
ıces del polinomio.

a+1
1
1
A∗ =  2
1
a+1
2
a+1
2

| −2
| 3
| −2

2. Modelo de discusi´n y resoluci´n de sistemas con un par´metro.
o
o
a
2
Intercambiando las columnas C2 ↔ C1 , recordando ese cambio de inc´gnitas z por y al final y llevando
o
la primera fila abajo, se obtiene la siguiente matriz:

2
A∗ =  1
a+1
a+1
2
2

1
| 3
a + 1 | −2
1
| −2
2 a+1
= 3 − a ̸= 0 para a = 0 o a = 1 o a = −4 ⇒ rg(A) = 2.
1
2
Para estudiar el rg(A∗ ) hay que orlar el menor anterior con la fila F3 y columna C4 y estudiar si vale 0
o no.
Como
2
a+1 3
1
2
−2
a+1
2
−2
= −8 − 2(a + 1)2 + 6 − 6(a + 1) + 2(a + 1) + 8 = −2(a + 1)2 − 4a + 2
= −2(a2 + 2a + 1) − 4a + 2 = −2a2 − 4a − 2 − 4a + 2 = −2a2 − 8a
= −2a(a + 4)
Obs´rvese que se desarrollan todas las cuentas y no se pone el resultado
e
que dar´a la calculadora ( si se tiene calculadora que opera con CAS )
ı
El polinomio anterior se anula para a = 0 o a = −4, as´ que se puede afirmar por el Teorema de
ı
Rouch´ Frobenius lo siguiente:
e
•
•
•
Si a = 0 o a = −4, rg(A) = rg(A∗ ) = 2 y el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO
con grado de indeterminaci´n g = n − r = 3 − 2 = 1 ( habr´ que parametrizar y ).
o
a
∗ ) = 3 ̸= 2 = rg(A) por lo que el sistema es INCOMPATIBLE.
Si a = 1 rg(A
Si a ̸= 0 y a ̸= −4 y a ̸= 1 el sistema ser´ COMPATIBLE DETERMINADO.
a
Resolver el sistema solo hay que hacerlo cuando se pide. Hay que leer con atenci´n
o
si se pide resolver el sistema cuando exista soluci´n ( sistema compatible ) o resolver
o
el sistema cuando se tenga soluci´n ´nica ( determinado ) o infinitas soluciones
o u
( indeterminado ). Suele ser muy com´n confundir los t´rminos indeterminado e incompatible.
u
e
o
Resoluci´n del caso compatible indeterminado. Como se prepar´ previamente la matriz, parametrizando
o
y = t ∈ R y eliminando la ultima fila:
´


(
)
2
a+1
1
| 3
2 a+1 |
3−t
∗
A = 1
2
a + 1 | −2
1
2
| −2 − (a + 1)t
a+1
2
1
| −2
Se obtiene un sistema de Cramer para las variables x y z. Recu´rdese que se cambiaron dos
e
columnas de inc´gnitas.
o

3. Modelo de discusi´n y resoluci´n de sistemas con un par´metro.
o
o
a
x =
=
z =
3−t
a+1
−2 − (a + 1)t
2
6 − 2t + 2a + 2 + (a + 1)2 t
8 + 2a + t(a2 + 2a + 1 − 2)
=
=
3−a
a−3
a−3
2 + 2a − 1)
8 + 2a + t(a
3−a
2
3−t
1 −2 − (a + 1)t
−4 − 2(a + 1)t − 3 + t
−7 + t(−2a − 2 + 1)
−7 − t(2a + 1)
=
=
=
3−a
3−a
3−a
3−a
Sustituyendo el valor a = 0 se obtienen las soluciones:

 x = 8−t


3
y = t
siendo t ∈ R


 z = −7 − t
3
Sustituyendo el

 x =


y =


 z =
valor a = −4 se obtienen las soluciones:
7t
=t
7
t
7t − 7
=t−1
7
siendo t ∈ R
Resoluci´n del caso compatible determinado.
o
x =
=
y =
=
z =
=
−2
1
2
3
1
a+1
−2 a + 1
2
−4 − 2a − 2 + 6a + 6 + 4 − 6 + 2(a + 1)2
2a2 + 8a
=
=
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
2a(a + 4)
−2
=
−a(a − 1)(a + 4)
a−1
a + 1 −2
2
2
3 a+1
1
−2
2
6a + 6 − 2a − 2 − 8 − 6 + 8 + 2(a + 1)2
2a2 + 8a
=
=
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
2a(a + 4)
−2
=
−a(a − 1)(a + 4)
a−1
a+1
1
−2
2
1
3
1
a + 1 −2
−2a − 2 + 3 − 4a − 4 + 2 + 4 − 3(a + 1)2
−3a2 − 12a
=
=
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
−a(a − 1)(a + 4)
3
−3a(a + 4)
=
−a(a − 1)(a + 4)
a−1
3