El documento presenta tres ejemplos que utilizan modelos de dispersión circular para calcular cantidades de petróleo derramado, personas enfermas, y dodos en extinción basados en su distancia del punto de origen. En cada ejemplo se calcula la cantidad dentro de un rango de distancias usando integrales definidas.

1. Matemática II
Sesión 9

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Modelos de Dispersión Circular

3. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 1
El 24 de marzo de 1989 Alaska vivió la peor tragedia ecológica
de su historia al encallar el petrolero Exxon-Valdez, en la
localidad de Prince William Sound, y verter 41 millones de
litros de crudo que se expandieron sobre más de 2000 Km de
costa.
Según el modelo utilizado por un experto en prevención de
desastres de este tipo, el crecimiento inicial de la marea negra,
sobre la superficie marina del sureste de Alaska en el evento
referido, era en forma circular y de modo que, a “x” kilómetros
del punto del cual emergía el petróleo ésta se expandía
liberando:

4. Elaborado por Elsa Guédez
De acuerdo al modelo descrito ¿qué cantidad de petróleo
habría en la zona de la mancha donde x ∈ [1/2, 1] Km.?
Justifica la integral planteada.
Ejemplo 1

5. Elaborado por Elsa Guédez
La cantidad de barriles de crudo “B” que habrá en una zona
donde x ∈ [-1/2, 1] Km se determinará considerando:
Solución del Ejemplo 1
Asumiendo constante a F(x) para cada subintervalo y dada por
su valor en el punto muestra respectivo, se determina la
cantidad de barriles Bi que habrá en la zona correspondiente al
subintervalo # i, así:

6. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1

7. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo tanto, la cantidad de barriles de petróleo “B” que habrá
en una zona donde x ∈ [1/2, 1] Km está dada por:

8. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C., así:
Haciendo el cambio de variable: u = sen(x)
Y resolviendo, se obtiene:

9. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Sustituyendo (2) en (1), se tiene:
Y resolviendo, se obtiene:
Conclusión
De acuerdo al modelo descrito, alrededor de 235.419 barriles de
petróleo se habrían derramado en una zona donde x ∈ [1/2, 1] Km.

10. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2
De acuerdo al modelo utilizado por un especialista en
epidemias, el brote más reciente de ébola en 2015 se propagó
de forma circular en los centros urbanos y de modo que: a “x”
kilómetros del punto del brote, la cantidad de enfermos se
dispersó a razón de:
Las medidas sanitarias que se aplicaron indicaban que si la
cantidad de enfermos, en una zona donde el modelo sea
válido, era de al menos 20, se requería declarar la cuarentena
y cerrar el paso a la zona en cuestión.
Calcula la cantidad de enfermos que habría en una zona
urbana que abarca un radio de /2 Km , medido desde el
punto del brote, y determina si fue necesario o no declarar la
cuarentena. Justifica la integral planteada.

11. Elaborado por Elsa Guédez
Solución de Ejemplo 2
La cantidad exacta de enfermos “E” que habría en una zona
que abarca desde 0 km. hasta /2 km. del punto del brote se
determinará considerando:
Asumiendo constante a F(x) para cada subintervalo y dada por
su valor en el punto muestra respectivo, se determina la
cantidad de enfermos que habrá en la zona correspondiente a
cada uno de éstos y así, en la zona relacionada al subintervalo
# i, la cantidad de enfermos Ei viene dada por:

12. Elaborado por Elsa Guédez
Solución de Ejemplo 2


13. Elaborado por Elsa Guédez
Solución de Ejemplo 2
Por lo tanto, la cantidad de enfermos que habría en una zona
que abarca desde 0 km. hasta /2 km. del punto del brote es:

14. Elaborado por Elsa Guédez
Solución de Ejemplo 2
Realizando integración por partes, se tiene:
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C., así:

15. Elaborado por Elsa Guédez
Solución de Ejemplo 2
Evaluando:
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:
Conclusión
Alrededor de 23 personas se habrían enfermado en una zona
que abarque desde 0 km. hasta /2 km. del punto del brote, y
dado que 23 > 20 entonces: debió declararse la
cuarentena.

16. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3
La extinción de una especie se define como la muerte del
último individuo de ésta. El Dodo, o Raphus cucullatus,
fue una especie de ave de la isla Mauricio, isla situada en
el océano Índico, que sufrió el proceso de extinción hacia
finales del siglo XVII en apenas 100 años y producto de
diversos factores relacionados con el proceso colonizador
europeo.
Un especialista en el tema de la extinción ha estado
trabajando en el diseño de un modelo que describa la
distribución poblacional del Dodo en el momento crítico de
su extinción hacia el año 1681, momento en el cual fue
avistado el último ejemplar.

17. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3
Según el modelo, esta distribución fue circular y de modo que a
“x” kilómetros del sitio en que fue visto por última vez, la especie
se distribuía a razón de:
De acuerdo al modelo descrito ¿qué cantidad de dodos habría
en un sector de la Zona de Estudio donde x ∈ [1/2, 1]?

18. Elaborado por Elsa Guédez
La cantidad de dodos “D” que habrá en una zona donde
x ∈ [1/2, 1] Km. se determinará considerando:
Solución del Ejemplo 3
Asumiendo constante a F(x) para cada subintervalo y
dada por su valor en el punto muestra respectivo, se
determina la cantidad de dodos que habrá en la zona
correspondiente a cada uno de éstos y asi así, en la
zona relacionada al subintervalo # i, la cantidad de
dodos Di viene dada por:

19. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3


20. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Por lo tanto, la cantidad de dodos que habrá en una zona
donde x ∈ [1/2, 1] está dada por:

21. Elaborado por Elsa Guédez
Realizando el cambio de variable u = sec(x), y
resolviendo, se tiene:
Solución del Ejemplo 3
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C., así:

22. Elaborado por Elsa Guédez
Evaluando los valores se tiene D  25 dodos.
Solución del Ejemplo 3
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:
Conclusión
De acuerdo al modelo descrito, alrededor de 25 dodos
habrían en una zona donde x ∈ [1/2, 1] Km .