Integrales impropias ucv (2021)

Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Integrales Impropias

INTEGRALES IMPROPIAS
Se llaman integrales impropias aquellas que contienen límites
de integración infinitos o bien aquellas para las cuales la
función que se desea integrar, presenta una discontinuidad en
algún punto del intervalo de integración.
Estas integrales se evalúan siguiendo las definiciones que se
presentan a continuación:

Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “+∞ ”. Si el
límite existe, se indica que la integral es convergente, de lo
contrario se indica que es divergente.
Definición 1
Si F(x) es continua para x  [ a,+ ) entonces

Resolver la siguiente integral y determinar si converge o diverge:
Ejemplo 1

Solución del Ejemplo 1
Es claro que es continua para x∈ [0, ∞) y en
consecuencia, la integral sólo presenta impropiedad en
“+” y así:
Como sólo si x < 0 entonces:
Sea:

Dada la continuidad de F(x) para x∈[0, k] con k > 0, es
posible aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, para lo
cual se considera:
Se hace el cambio de variable:
Aplicando, integración por partes:

Y de allí, queda:
Obteniendo:

Evaluando, se obtiene:
Sustituyendo (2) en (1):

De allí:

ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la
región infinita delimitada por las gráficas de: , y = 0
y x = 0, región que se muestra en el siguiente gráfico.
x
e
y


La recta y = 0 es
asíntota horizontal
de la gráfica de
motivo por el cual la
región no se cierra
en el extremo
derecho y es infinita.
Esto indica que una
región infinita
puede tener área
finita.

Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “-∞ ”. Si el
Definición 2
Si F(x) es continua para x  ( - , a ] entonces

Ejemplo 2

Y sabiendo que es continua para x∈ (-∞, -1],
Como al factorizar x3 + 16x = 0 se tiene x(x2 +16) = 0,
donde x = 0 ∉ (-∞, -1] y (x2 +16) = 0 no tiene raíz real,
entonces el denominador no tiene problemas en el intervalo.
Sea:
la integral sólo presenta impropiedad en “-” y así:

Se obtiene:
Sea:
Factorizando el denominador para aplicar el proceso de
separación en fracciones simples queda:

Por lo tanto se obtiene:
Haciendo distributiva, igualando y agrupando términos
semejantes, se obtiene el sistema que al resolverlo
queda:

Por lo tanto:
Y al integrar, se tiene:

Al evaluar queda:
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:

Reacomodando para aplicar L´Hòpital:
Indet (∞ - ∞)

Indet (∞/∞), L´Hòpital

ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la región
infinita delimitada por las gráficas de: x = -1, y = 0 y
, región que se muestra en el siguiente gráfico.
16x
x
16
-
y 3


La recta y = 0 es
asíntota horizontal de la
gráfica de
16x
x
16
-
y 3


motivo por el cual
la región no se
cierra en el
extremo
izquierdo y es
infinita.
Esto constituye otro ejemplo de que una
región infinita puede tener área finita.

Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “x = a ”. Si el
Definición 3
Si F(x) es continua para x  (a,b] y discontinua en x = a,
entonces:

Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “x = b ”. Si el
De manera análoga
Si F(x) es continua para x  [a,b) y discontinua en x = b,
entonces:

Ejemplo 3

es continua para x∈ (0, 2] y discontinua en x= 0.
Para el denominador e4x - 1= 0 se tiene x = 0, donde
x = 0 ∈ [0, 2] quiere decir que:
Sea:
En consecuencia, la integral presenta una “impropiedad” en
x = 0, por lo tanto:

Dada la continuidad de F(x), para x ∈ [k, 2] con 0 < k < 2, es posible
aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, para lo cual se considera:

Haciendo el cambio de variable z = e4x – 1, se obtiene :
Luego, sustituyendo (2) en (1), resulta:

Evaluando los límites de integración:

ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la región
infinita delimitada por las gráficas de: x = 0, y = 0 y ,
región que se muestra en el siguiente gráfico. 1
e
e
y 4x
8x


La recta y = 0 es asíntota
horizontal de la gráfica de
1
e
e
y 4x
8x


motivo por el cual
la región no se
cierra en el
extremo izquierdo
y es infinita.
Esto constituye un ejemplo de que una
región infinita puede tener área infinita.

Ejemplo 4
La región descrita es utilizada para diseñar un “Tanque infinito”,
al rotarla alrededor de la recta y = -1 ¿será infinito el volumen de
este tanque?
Considera la región limitada en el primer cuadrante por los ejes
coordenados y la función F(x) = - Ln(x) ; donde “x” e “y” se
miden en metros.

El siguiente gráfico muestra los elementos a considerar a
efectos de calcular el volumen del “tanque infinito” referido:

Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para x ∈ [K, 1]
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: xi
* (Puntos medios de c/subintervalo – optativo)
Por lo cual, el volumen de la arandela # i es:

Y así, el volumen del sólido correspondiente a la rotación de la
zona donde x  K,1 es:

Por ser continua la función a integrar para x  K,1 , es
posible aplicar el T.F.C. e integrar por partes:

Resolviendo la integral que falta:

Por lo tanto, el volumen del “Tanque Infinito” corresponde a:
Evaluando:
Al evaluar, el segundo término tiende a la indeterminación
0·∞, por lo tanto:

De allí, se tiene:

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