1) El documento presenta el método de separación en fracciones simples para integrar funciones racionales. 2) Este método involucra dos casos dependiendo de si el denominador tiene anuladores reales o complejos. 3) Se resuelven 4 ejemplos ilustrativos aplicando los pasos del método.

1. Matemática II
Sesión 11

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Fracciones simples
(primera parte)

3. Elaborado por Elsa Guédez
MÉTODO DE SEPARACIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
El Método de Separación en Fracciones Simples
(MSFS) es una herramienta que sirve para integrar funciones
que cumplan las siguientes características:
2. (Grado del P(x) ) < ( Grado de Q(x) )
1. Aplicable sólo para integrar expresiones conformadas por
divisiones de polinomios, es decir, integrales de la forma:

4. Elaborado por Elsa Guédez
Para desarrollar el método se hace necesario establecer el
concepto de “Fracción Simple” según dos tipos.
La aplicación del MSFS se realiza considerando 2 casos:
Caso 1: Denominador con anuladores sólo reales.
Caso 2: Denominador con anuladores complejos.
Fracciones simples

5. Elaborado por Elsa Guédez
Resolver la siguiente integral:
Ejemplo 1 [ejemplo ilustrativo del Caso 1]
Fracciones simples
 
x
d
4
-
x
8
5x
-
x
2x
2
3
2

6. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Dada la integral:
Aplicando Ruffini para factorizar el denominador, queda:
X1 = 1
Continuando con la factorización se obtiene:
X2 = X3 = 2

7. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Comparando los términos de numerador se tiene:
Aplicando el método de separación en fracciones simples queda:

8. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Agrupando los términos semejantes e igualando a la
expresión racional, se obtiene el sistema:
De donde, al resolver, resulta:

9. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Resolviendo la integral, resulta:
De allí:

10. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2 [ejemplo ilustrativo del Caso 2]
Resolver la siguiente integral:

11. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Dada la integral:
Aplicando Ruffini para factorizar el denominador, queda:

12. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Obteniendo:
En consecuencia:
X1 = X2 = 2
y al buscar sus anuladores se tiene:
, además:

13. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Comparando los términos se tiene:
Agrupando los términos semejantes, igualando a la expresión
racional, resolviendo el sistema, se obtiene:
De donde, al sustituir, resulta:
A = 1, B = -1, C = -1, D = 0

14. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
De allí, se obtiene:
Aplicando el cambio de variable z = x2 + 4 se resuelve la
primera integral, la segunda corresponde a la fórmula 19 del
resumen 1 y la tercera se resuelve considerando el cambio
w = x -2… obteniéndose así:

15. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3 [ejemplo ilustrativo del Caso 2]
Resolver la siguiente integral:

16. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Dada la integral:
Aplicando Ruffini para factorizar el denominador, queda:
Obteniendo: X1 = -5, además:
y al buscar sus anuladores se tiene:

17. Elaborado por Elsa Guédez
En consecuencia:
Comparando los términos del numerador se tiene:
Agrupando los términos semejantes, igualando a la expresión
racional y resolviendo el sistema, se obtiene:
A = 7, B = -7, C = 6
Solución del Ejemplo 3

18. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
De donde, al sustituir, resulta:
Al plantear la integral, se tiene:

19. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Haciendo el cambio de variable: Z = x + 2, obtiene:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Al integrar, se tiene:

21. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 4 [ejemplo ilustrativo del Caso 2]
Resolver la siguiente integral:

22. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
Dada la integral:
Aplicando Ruffini para factorizar el denominador, queda:
Obteniendo:
X1 = -10
y al buscar sus anuladores se tiene:
, además:

23. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
En consecuencia:
Comparando los términos del numerador se tiene:
Agrupando los términos semejantes, igualando a la expresión
racional y resolviendo el sistema, se obtiene:
A = -3300, B = 3300, C = 33000

24. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
De donde, al sustituir, resulta:
Completando cuadrados en el segundo término, se obtiene:
Realizando el cambio de variable u = x – 5, se tiene:

25. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
Devolviendo el cambio de variable a “x”:
Separando y resolviendo cada integral:

26. Elaborado por Elsa Guédez
Fracciones simples
(segunda parte)
MÉTODO DE SEPARACIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

27. Elaborado por Elsa Guédez
Fracciones simples
Cuando se presenten integrales de la forma:
Y se tiene (Grado del P(x) )  ( Grado de Q(x) )
Se recurre al teorema siguiente:

28. Elaborado por Elsa Guédez
Teorema:
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Grado (P(x))  Grado (Q(x))
entonces:
de manera que:
Fracciones simples

29. Elaborado por Elsa Guédez
Resolver la siguiente integral:
Ejemplo 1
Fracciones simples

30. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Dado que el grado del polinomio numerador es mayor que el
polinomio del denominador, se requiere realizar una división
de polinomios tal como se presenta a continuación:

31. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
En consecuencia:
Aplicando, a la expresión racional, el proceso de separación en
fracciones simples queda:

32. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Y agrupando los términos semejantes e igualando a la
integral racional, se resuelve el sistema, obteniendo:

33. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo tanto:
De allí:

34. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:

35. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Dado que el grado del polinomio numerador es igual que el
polinomio del denominador, se requiere realizar una división de
polinomios tal como se presenta a continuación:
Se obtiene:

36. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Factorizando el denominador para aplicar el proceso de
separación en fracciones simples queda:
Por lo tanto se obtiene:

37. Elaborado por Elsa Guédez
Igualando y agrupando términos semejantes, se
obtiene el sistema que al resolverlo queda:
Solución del Ejemplo 2
Por lo tanto:

38. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Y al completar cuadrados en el denominador se tiene:
Haciendo el cambio de variable z = x + 1, se obtiene:

39. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2