Fracc simples parte 1 y 2 ucv (2021)

Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Fracciones simples
(primera parte)

MÉTODO DE SEPARACIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
El Método de Separación en Fracciones Simples
(MSFS) es una herramienta que sirve para integrar funciones
que cumplan las siguientes características:
2. (Grado del P(x) ) < ( Grado de Q(x) )
1. Aplicable sólo para integrar expresiones conformadas por
divisiones de polinomios, es decir, integrales de la forma:

Para desarrollar el método se hace necesario establecer el
concepto de “Fracción Simple” según dos tipos.
La aplicación del MSFS se realiza considerando 2 casos:
Caso 1: Denominador con anuladores sólo reales.
Caso 2: Denominador con anuladores complejos.
Fracciones simples

Resolver la siguiente integral:
Ejemplo 1 [ejemplo ilustrativo del Caso 1]
Fracciones simples
 
x
d
4
-
x
8
5x
-
x
2x
2
3
2

Solución del Ejemplo 1
Dada la integral:
Aplicando Ruffini para factorizar el denominador, queda:
X1 = 1
Continuando con la factorización se obtiene:
X2 = X3 = 2

Comparando los términos de numerador se tiene:
Aplicando el método de separación en fracciones simples queda:

Agrupando los términos semejantes e igualando a la
expresión racional, se obtiene el sistema:
De donde, al resolver, resulta:

Resolviendo la integral, resulta:
De allí:

Dada la integral:

Obteniendo:
En consecuencia:
X1 = X2 = 2
y al buscar sus anuladores se tiene:
, además:

Comparando los términos se tiene:
Agrupando los términos semejantes, igualando a la expresión
racional, resolviendo el sistema, se obtiene:
De donde, al sustituir, resulta:
A = 1, B = -1, C = -1, D = 0

De allí, se obtiene:
Aplicando el cambio de variable z = x2 + 4 se resuelve la
primera integral, la segunda corresponde a la fórmula 19 del
resumen 1 y la tercera se resuelve considerando el cambio
w = x -2… obteniéndose así:

Dada la integral:
Obteniendo: X1 = -5, además:

En consecuencia:
Comparando los términos del numerador se tiene:
racional y resolviendo el sistema, se obtiene:
A = 7, B = -7, C = 6

Al plantear la integral, se tiene:

Haciendo el cambio de variable: Z = x + 2, obtiene:

Al integrar, se tiene:

Dada la integral:
Obteniendo:
X1 = -10
, además:

En consecuencia:
Comparando los términos del numerador se tiene:
racional y resolviendo el sistema, se obtiene:
A = -3300, B = 3300, C = 33000

Completando cuadrados en el segundo término, se obtiene:
Realizando el cambio de variable u = x – 5, se tiene:

Devolviendo el cambio de variable a “x”:
Separando y resolviendo cada integral:

Fracciones simples
(segunda parte)
MÉTODO DE SEPARACIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

Fracciones simples
Cuando se presenten integrales de la forma:
Y se tiene (Grado del P(x) )  ( Grado de Q(x) )
Se recurre al teorema siguiente:

Teorema:
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Grado (P(x))  Grado (Q(x))
entonces:
de manera que:
Fracciones simples

Ejemplo 1
Fracciones simples

Dado que el grado del polinomio numerador es mayor que el
polinomio del denominador, se requiere realizar una división
de polinomios tal como se presenta a continuación:

En consecuencia:
Aplicando, a la expresión racional, el proceso de separación en
fracciones simples queda:

Y agrupando los términos semejantes e igualando a la
integral racional, se resuelve el sistema, obteniendo:

Por lo tanto:
De allí:

Ejemplo 2

Dado que el grado del polinomio numerador es igual que el
polinomio del denominador, se requiere realizar una división de
polinomios tal como se presenta a continuación:
Se obtiene:

Factorizando el denominador para aplicar el proceso de
separación en fracciones simples queda:
Por lo tanto se obtiene:

Igualando y agrupando términos semejantes, se
obtiene el sistema que al resolverlo queda:
Por lo tanto:

Y al completar cuadrados en el denominador se tiene:
Haciendo el cambio de variable z = x + 1, se obtiene:

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