Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Luego, describe el proceso para plantear y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo la separación de variables, integración y uso de condiciones iniciales. Finalmente, resuelve dos ejemplos numéricos aplicando estos pasos.

1. Matemática II
Sesión 3

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Ecuaciones diferenciales.

3. Elaborado por Elsa Guédez
Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que
relaciona una función con sus derivadas.
Las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas
diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones
de las funciones que satisfacen la ecuación.
Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera vez en los
trabajos de cálculo de Newton y Leibniz.
Isaac Newton hizo una lista de tres clases de ecuaciones
diferenciales, entre ellas:

4. Elaborado por Elsa Guédez
Ecuaciones Diferenciales
Si la función depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria (nuestro caso).
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
Al resolver la ecuación diferencial ordinaria el objetivo es
encontrar la función “y” .
Se pasa dx para poder integrar:
Y se obtiene la solución más general:

5. Elaborado por Elsa Guédez
Proceso para plantear y resolver una E.D.
Como una Ecuación Diferencial es una ecuación que
contiene dos variables, una dependiente por ejemplo
“y” y otra independiente por ejemplo “x”, además
de la derivada y’.
Ecuaciones Diferenciales
Lo primero que se debe hacer es identificar cuál es la
variable dependiente y cuál es la independiente.

6. Elaborado por Elsa Guédez
Una vez identificadas ambas variables se
procede a plantear la ecuación diferencial.
Ecuaciones Diferenciales
Al plantear la ecuación diferencial se busca
resolver un problema de valor inicial (P.V.I.)
para lo cual se necesita, además, colocar la
condición inicial: y(x0)=y0
P.V.I:

7. Elaborado por Elsa Guédez
Dado que en la Ecuación diferencial, están
mezcladas tanto la variable “x” como la “y”,
se hace necesario reescribir la ecuación de
forma tal que se obtenga únicamente una
variable en cada lado de la igualdad.
Ecuaciones Diferenciales
A este procedimiento se le denomina
“separación de variables”

8. Elaborado por Elsa Guédez
Se procede entonces a resolver la E.D.
Ecuaciones Diferenciales
Quiere decir que se debe obtener:
y = solución (general)
Para ello, el paso que se debe realizar es
integrar en ambos lados de la igualdad.
Al resolver la ecuación diferencial ordinaria el
objetivo es encontrar la función “y” .

9. Elaborado por Elsa Guédez
Una vez resuelta la ecuación diferencial, la
solución de la misma se le denomina
“Solución General” de la Ecuación
Diferencial y representa muchas curvas, una
“Familia de Curvas”, tantas como valores
tenga la constante de integración “C”, de ahí
el carácter “General” de la expresión.
Ecuaciones Diferenciales

10. Elaborado por Elsa Guédez
A esta “Solución General” de la Ecuación
Diferencial se le determina el valor que debe
tener la constante de integración “C”.
Ecuaciones Diferenciales
Para ello se utiliza la condición inicial que se
sustituye en las variables “x” y “y” que se
tienen en la solución general.
Esta nueva expresión que contiene el valor
de la constante “C” recibe el nombre de
“Solución Particular” de la Ecuación
Diferencial.

11. Elaborado por Elsa Guédez
Nota:
Ecuaciones Diferenciales
La solución en la cual no se obtiene que la
variable “y” está escrita como “y = …” pero
se expresa la relación de “y” con “x”, se
denomina solución de forma implícita.
Una vez se obtenga la solución escrita en
la forma y = g(x) se obtiene la solución
de forma explícita.

12. Elaborado por Elsa Guédez
Hallar una ecuación de la forma y = g(x) para
una curva que corta al eje “y” en 2 y de la cual
se ha establecido que la pendiente de cualquier
recta tangente está dada por la expresión:
Ejemplo:

13. Elaborado por Elsa Guédez
Solución Ejemplo 1
Ejemplo 1:
El enunciado planteado corresponde al siguiente
Problema de Valor Inicial:

14. Elaborado por Elsa Guédez
Separando variables y colocando las integrales
resulta:
Solución del Ejemplo 1:

15. Elaborado por Elsa Guédez
Para resolver se considera el cambio de variable:
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
Solución del Ejemplo 1:

16. Elaborado por Elsa Guédez
Se despeja “dx”:
Se despeja , de la variable “u”:
Se obtiene “dx” respecto a la variable “u”:
Solución del Ejemplo 1:

17. Elaborado por Elsa Guédez
Sustituyendo en la integral, se obtiene:
Resolviendo las integrales y devolviendo el cambio a la
variable “x”, resulta:
Solución del Ejemplo 1:

18. Elaborado por Elsa Guédez
La expresión
es la Solución General de la Ecuación Diferencial.
Solución del Ejemplo 1:

19. Elaborado por Elsa Guédez
Para buscar el valor de la constante “C” se utiliza la
condición inicial:
Se resuelve y se obtiene:
Solución del Ejemplo 1:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Por lo tanto, la Solución Particular de la Ecuación
Diferencial queda así:
Esta expresión muestra la relación de “y” con “x” de
forma implícita.
Como se pide obtener la solución escrita en la forma
y = g(x) debemos despejar “y” mediante la
aplicación de logaritmos:
Solución del Ejemplo 1:

21. Elaborado por Elsa Guédez
Por lo tanto, la Solución Particular de la Ecuación
Diferencial escrita de forma explícita queda así:
Solución del Ejemplo 1:

22. Elaborado por Elsa Guédez
La base de un recipiente que contiene 9 litros de
agua, presenta un orificio con un mecanismo que
permite la salida del liquido a razón de
Ejemplo 2:
a) Determina cuánta agua se habrá derramado
durante los primeros 2 minutos.
b) Determina cuánto tiempo tomará para que el
recipiente quede vacío.

23. Elaborado por Elsa Guédez
a) Sea “X” la cantidad de litros de agua dentro del
recipiente a los “t” minutos.
A medida que transcurre el tiempo, “X” disminuye y
en consecuencia, la razón a la que cambia “X” con
respecto a “t” en lts/min es negativa, esto es:
Así mismo, sabemos que por ser una expresión
exponencial, la función F(t) que mide la tasa a la que
cambia la cantidad de agua en el tiempo es positiva,
es decir,
Solución del Ejemplo 2:

24. Elaborado por Elsa Guédez
Por lo tanto:
Además, X(0) = 9 lts.
Y se pide: hallar 9 - X(2)
Solución del Ejemplo 2:

25. Elaborado por Elsa Guédez
Separando variables en la Ecuación diferencial resulta:
Integrando, resulta:
Solución del Ejemplo 2:

26. Elaborado por Elsa Guédez
Para obtener “C” sustituimos t = 0 y X = 9, así:
En consecuencia:
Solución del Ejemplo 2:

27. Elaborado por Elsa Guédez
Finalmente,
Conclusión (a):
A los 2 minutos se habrán derramado 8,0909 litros
de agua.
Solución del Ejemplo 2:

28. Elaborado por Elsa Guédez
b) Se tiene:
Se despeja t:
Solución del Ejemplo 2:
Conclusión (b):
El tiempo necesario para que el recipiente quede
vacío es aproximadamente 4 min.