Ecuac diferenc ucv (2021)

Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que
relaciona una función con sus derivadas.
Las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas
diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones
de las funciones que satisfacen la ecuación.
Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera vez en los
trabajos de cálculo de Newton y Leibniz.
Isaac Newton hizo una lista de tres clases de ecuaciones
diferenciales, entre ellas:

Si la función depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria (nuestro caso).
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
Al resolver la ecuación diferencial ordinaria el objetivo es
encontrar la función “y” .
Se pasa dx para poder integrar:
Y se obtiene la solución más general:

Proceso para plantear y resolver una E.D.
Como una Ecuación Diferencial es una ecuación que
contiene dos variables, una dependiente por ejemplo
“y” y otra independiente por ejemplo “x”, además
de la derivada y’.
Lo primero que se debe hacer es identificar cuál es la
variable dependiente y cuál es la independiente.

Una vez identificadas ambas variables se
procede a plantear la ecuación diferencial.
Al plantear la ecuación diferencial se busca
resolver un problema de valor inicial (P.V.I.)
para lo cual se necesita, además, colocar la
condición inicial: y(x0)=y0
P.V.I:

Dado que en la Ecuación diferencial, están
mezcladas tanto la variable “x” como la “y”,
se hace necesario reescribir la ecuación de
forma tal que se obtenga únicamente una
variable en cada lado de la igualdad.
A este procedimiento se le denomina
“separación de variables”

Se procede entonces a resolver la E.D.
Quiere decir que se debe obtener:
y = solución (general)
Para ello, el paso que se debe realizar es
integrar en ambos lados de la igualdad.
Al resolver la ecuación diferencial ordinaria el
objetivo es encontrar la función “y” .

Una vez resuelta la ecuación diferencial, la
solución de la misma se le denomina
“Solución General” de la Ecuación
Diferencial y representa muchas curvas, una
“Familia de Curvas”, tantas como valores
tenga la constante de integración “C”, de ahí
el carácter “General” de la expresión.

A esta “Solución General” de la Ecuación
Diferencial se le determina el valor que debe
tener la constante de integración “C”.
Para ello se utiliza la condición inicial que se
sustituye en las variables “x” y “y” que se
tienen en la solución general.
Esta nueva expresión que contiene el valor
de la constante “C” recibe el nombre de
“Solución Particular” de la Ecuación
Diferencial.

Nota:
La solución en la cual no se obtiene que la
variable “y” está escrita como “y = …” pero
se expresa la relación de “y” con “x”, se
denomina solución de forma implícita.
Una vez se obtenga la solución escrita en
la forma y = g(x) se obtiene la solución
de forma explícita.

Hallar una ecuación de la forma y = g(x) para
una curva que corta al eje “y” en 2 y de la cual
se ha establecido que la pendiente de cualquier
recta tangente está dada por la expresión:
Ejemplo:

Solución Ejemplo 1
Ejemplo 1:
El enunciado planteado corresponde al siguiente
Problema de Valor Inicial:

Separando variables y colocando las integrales
resulta:
Solución del Ejemplo 1:

Para resolver se considera el cambio de variable:
Se deriva en ambos lados de la igualdad:

Se despeja “dx”:
Se despeja , de la variable “u”:
Se obtiene “dx” respecto a la variable “u”:

Sustituyendo en la integral, se obtiene:
Resolviendo las integrales y devolviendo el cambio a la
variable “x”, resulta:

La expresión
es la Solución General de la Ecuación Diferencial.

Para buscar el valor de la constante “C” se utiliza la
condición inicial:
Se resuelve y se obtiene:

Por lo tanto, la Solución Particular de la Ecuación
Diferencial queda así:
Esta expresión muestra la relación de “y” con “x” de
forma implícita.
Como se pide obtener la solución escrita en la forma
y = g(x) debemos despejar “y” mediante la
aplicación de logaritmos:

Por lo tanto, la Solución Particular de la Ecuación
Diferencial escrita de forma explícita queda así:

La base de un recipiente que contiene 9 litros de
agua, presenta un orificio con un mecanismo que
permite la salida del liquido a razón de
Ejemplo 2:
a) Determina cuánta agua se habrá derramado
durante los primeros 2 minutos.
b) Determina cuánto tiempo tomará para que el
recipiente quede vacío.

a) Sea “X” la cantidad de litros de agua dentro del
recipiente a los “t” minutos.
A medida que transcurre el tiempo, “X” disminuye y
en consecuencia, la razón a la que cambia “X” con
respecto a “t” en lts/min es negativa, esto es:
Así mismo, sabemos que por ser una expresión
exponencial, la función F(t) que mide la tasa a la que
cambia la cantidad de agua en el tiempo es positiva,
es decir,

Por lo tanto:
Además, X(0) = 9 lts.
Y se pide: hallar 9 - X(2)

Separando variables en la Ecuación diferencial resulta:
Integrando, resulta:

Para obtener “C” sustituimos t = 0 y X = 9, así:
En consecuencia:

Finalmente,
Conclusión (a):
A los 2 minutos se habrán derramado 8,0909 litros
de agua.

b) Se tiene:
Se despeja t:
Conclusión (b):
El tiempo necesario para que el recipiente quede
vacío es aproximadamente 4 min.

Ecuac diferenc ucv (2021)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Ecuac diferenc ucv (2021)

Más de Elsa Guédez

Último

Ecuac diferenc ucv (2021)