Este documento describe el método de Broyden, un método indirecto para encontrar el mínimo de una función. El método utiliza una relación recurrente para generar una sucesión de aproximaciones al vector óptimo. Comienza con un vector inicial x0 y genera nuevos vectores xk a través de una dirección de búsqueda sk basada en el gradiente de la función y una aproximación de la matriz hessiana.

1. TecNM/Instituto Tecnológico de Cd. Madero
MÉTODOS INDIRECTOS
MÉTODO DE BROYDEN
(MÉTODO DE LA SECANTE)
Charles George Broyden
(1933-2011)
Dr. David Macias Ferrer
Centro de Investigación
en Petroquímica

2. MÉTODO DE BROYDEN
Direcciones de Búsqueda, basada en la relación:  
1
ˆs H xk k k
f

    
Donde es una aproximación de la inversa de H, para abreviar:
 1
x x η xk k k k k
f
  
Para k = 0:
1
ˆHk

 
 
1
ˆη Hk k

   
  
 
1
x η g x η g
η η
x η g g
Tk k k k k k
k k
Tk k k k

     
 
   
La relación recurrente es
de la forma:
0
η I
Para
k  0:
Donde:
   
   
1
1
g x x
x x x
k k k
k k k
f f
f f


   
  
El escalar k puede
estar determinado
Por la optimización de:
 x sk k
f  Un Criterio de convergencia adecuado
que puede ser aplicado desde el
comienzo es:
 xk
f  

3. Vector Inicial x0
Optimizar f(x0 +  s0 ), para encontrar 0
Generar el vector x1
Encontrar el vector de dirección s0
Vector Óptimo xopt
Evaluar la Función Objetivo en xopt, es decir f(xopt ) Solución Óptima f(xopt )
 0 0 0
s η xf  
|f(xk)|<
1 0 0 0
x x s 
k = 0
Sí
No
k = k + 1
Optimizar f(xk +  sk ), para encontrar k
Generar el vector xk+1
Encontrar el vector de dirección sk+1
 1
s η xk k k
f
  
1
x x sk k k k

 
MÉTODO DE BROYDEN

4. EJEMPLO
Encuentre el vector x que minimice la función      
2 2
1 2 1 2, 4 5 6f x x x x   
Si:  0
8 9x
T

MÉTODO DE BROYDEN

5. EJEMPLO
Encuentre el vector x que minimice la función      
2 2
1 2 1 2, 4 5 6f x x x x   
Si:  0
8 9x
T

MÉTODO DE BROYDEN

6. EJEMPLO
Aplicando la relación de recurrencia:  1 0 0 0 0
x x η xf   donde: 0
η I
El gradiente es:  
 
 
1
2
8 5
2 6
x
x
f
x
 
   
  
 0 24
6
xf
 
   
 
Por lo tanto, para x0:
Encuentre el vector x que minimice la función      
2 2
1 2 1 2, 4 5 6f x x x x   
Si:  0
8 9x
T

De aquí que:
1
1
1
2
8 24
9 6
x
x


 
 
Luego entonces:1 8 1 0 24
9 0 1 6
x 
    
     
    
Optimizando f():
       
2 2 2
4 8 24 5 9 6 6 2340 612 45f             
MÉTODO DE BROYDEN

7. CONTINUACIÓN
Derivando respecto de : 4680 612
df
d


 
4680 612 0  Si f’() = 0 entonces:
Sustituyendo en la relación recurrente: 1 0 0 0
x x s 
De aquí que: 0
0.1307 
Luego entonces:
1 8 1 0 24
0.1307
9 0 1 6
x
    
     
    
1 4.8632
8.2157
x
 
  
 
 
 
 
1
8 4.8632 5 1.0944
4.43142 8.2157 6
xf
   
         
El gradiente para x1 es:
Donde:  0 0 0
s η xf  
MÉTODO DE BROYDEN

8. Aplicando la relación de recurrencia para k = 0:
1
3.1368 1 0 25.094 3.1368 1 0 25.094
0.7842 0 1 1.5686 0.7842 0 1 1.56861 0
0 1 3.1368 1 0 25.094
0.7842 0 1 1.5686
η
T
T
                 
            
                    
           
     
       
25.094
1.5686
 
 
 
  
 
0 0 0 0 0 0
1 0
0 0 0 0
x η g x η g
η η
x η g g
T
T
     
 
   
De aquí que:
0 1.0944 24 25.094
4.4314 6 1.5686
g
      
        
     
0 4.8632 8 3.1368
8.2157 9 0.7842
x
     
        
     
Por otro lado, para x0:
CONTINUACIÓN
MÉTODO DE BROYDEN

9. De aquí que:
1
21.957 21.957 482.12 17.223
1 0 1 00.7844 0.7844 17.223 0.6153
0 1 0 1 552.2221.957 25.094
0.7844 1.5686
η
T
T
    
    
             
      
   
   
1 1 0 0.8730 0.0312 0.1269 0.0311
0 1 0.0312 0.0011 0.0311 0.9988
η
       
       
       
Finalmente:
Aplicando la relación de recurrencia:  2 1 1 1 1
x x η xf  
De aquí que:
2 4.8632 0.1269 0.0311 1.0944
8.2157 0.0311 0.9988 4.4314
x 
     
     
    
CONTINUACIÓN
MÉTODO DE BROYDEN

10. CONTINUACIÓN
Optimizando f():
       
2 2
2
4 4.8632 0.2771 5 8.2157 4.4605 6
20.2032 20.0695 4.9842
f   
 
     
  
2
1
2
2
4.8632 0.2771
8.2157 4.4605
x
x


 
 
Luego entonces:
Derivando respecto de : 40.4064 20.0695
df
d


 
40.4064 20.0695 0  Si f’() = 0 entonces: De aquí que: 1
0.4967 
MÉTODO DE BROYDEN

11. CONTINUACIÓN
El módulo del gradiente es:  2
0.006xf 
Sustituyendo el valor de 1:
Luego entonces:
2 5.0008
6.0001
x
 
  
 
 
 
2
1
2
2
4.8632 0.2771 0.4967
8.2157 4.4605 0.4967
x
x
 
 
 
 
 
2
8 5.0008 5 0.0064
2 6.0001 6 0.0002
xf
    
     
   
El gradiente para x2 es:
Aquí el resultado numérico difiere un
poco del obtenido en la hoja de Excel
ya que en estos cálculos se truncó a 4
decimales
Tomando todos los decimales (véase hoja de Excel):  2
0xf 
MÉTODO DE BROYDEN

12. k  x1 x2 f(xk) |f(xk)|
0 0.130769 8.000000 9.000000 45.0000 24.738633
1 0.496681 4.861538 8.215384 4.984615 4.567132
2 ---- 5.000000 6.000000 0.000000 0.000000
En 2 etapas tenemos los siguientes resultados :
RESÚMEN
MÉTODO DE BROYDEN

13. Por lo tanto el vector óptimo que corresponde al extremo mínimo es:
5
6
xopt  
  
 
Extremo Mínimo Local
Punto Óptimo
de la Función
     
2 2
1 2 1 2, 4 5 6f x x x x   
MÉTODO DE BROYDEN
RESÚMEN

14. BIBLIOGRAFÍA
T.F. Edgar, D.M. Himmelblau, L.S. Lasdon, “Optimization of Chemical Processes”, 2nd
Edition, New York, USA, McGraw Hill Inc., 2001