Problemario

Métodos Numéricos II
Manzano Martínez Matilde
MÉTODOS
NUMÉRICOS
En este documento encontrará
diferentes métodos de análisis
numérico con su respectivo
ejemplo, esto hará que el tema
quede mejor comprendido.
Métodos Numéricos II 2017

Tabla de contenido
I. Solución de sistemas de ecuaciones no lineales.............................................................................. 3
1.1 Método del punto fijo ............................................................................................................... 3
1.2 Métodos de Newton ..................................................................................................................... 6
1.2.1 Método de Newton Raphson................................................................................................. 6
1.2.2 Método de Newton Raphson Modificado.............................................................................. 9
1.2.3 Método de Broyden ............................................................................................................. 14
II. Interpolación y aproximación polinomial. .................................................................................... 20
2.1.1 Fórmula de LaGrange........................................................................................................... 20
2.1.2 Diferencias divididas ............................................................................................................ 23
2.1.3 Fórmulas de interpolación de Newton................................................................................. 26
2.1.4 Método de Hermite.............................................................................................................. 29
2.2 Ajuste de curvas .......................................................................................................................... 32
2.2.1 Spline cúbico ........................................................................................................................ 32
2.2.2 Mínimos cuadrados.............................................................................................................. 38
3 Diferenciación e integración numérica .......................................................................................... 46
3.1 Diferenciación numérica ......................................................................................................... 46
3.2 Reglas de integración (Newton-Cotes).................................................................................... 57
Referencias........................................................................................................................................ 65

I. Solución de sistemas de ecuaciones no lineales.
1.1 Método del punto fijo
El método del punto fijo es una técnica para resolver sistemas no lineales, consiste en
escribir las ecuaciones que componen el sistema de la forma: fi (x1, x2, …, xn) = 0 para i = 1,
2, …, n, y se tratan de encontrar los valores (x1, x2, …, xn) que satisfagan todas las ecuaciones
del sistema. Para usar el método, fi (x1, x2, …, xn) se reordena en una forma xi = gi (x1, x2, …,
xn) para i = 1, 2, …, n equivalente. Estas ecuaciones se toman como fórmulas recursivas para
obtener una estimación a partir de una estimación previa, para lo que se escriben de la
siguiente forma: xi
(k+1) = gi (x1
k, x2
k, …, xn
k) para i = 1, 2, …, n.
Ejemplo. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
f1(x, y) =x2-y-2=0
f2(x, y) = 2xy-3=0
Para encontrar los puntos en que coinciden ambas funciones se requiere generar una
sucesión {(x(k), y(k))} convergente a una de las soluciones. Para ello, se debe despejar la
variable x de la primera ecuación y la variable y de la segunda, sin embargo, esto no puede
hacerse directamente en ambas ecuaciones, por lo que debemos agregar múltiplos
“adecuados” a cada miembro de cada ecuación:
f1(x, y) =x2-y-2-4x=-4x
f2(x, y) = 2xy-3-5y=-5y
Un punto fijo de un sistema de n ecuaciones xi = gi (x1, x2, …, xn) para i = 1, 2, …, n, es un
punto (r1, r2, …, rn) tal que ri = 𝑔i (r1, r2, …, rn). Para las funciones xi = gi (x1, x2, …, xn), el
método del punto fijo es: rik+1 = 𝑔i (r1k, r2k, …, rnk) para k = 0, 1, …
Supóngase que las funciones xi = gi (x1, x2, …, xn) así como sus derivadas parciales, son
continuas en una región que contiene un punto fijo (r1, r2, …, rn), entonces si (r10, r20, …, rn0)
está suficientemente cerca del punto fijo y ∑ |
𝜕𝑔𝑖
𝜕𝑥 𝑗
| ≤ 𝑀 < 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛
𝑗=1 el

método del punto fijo genera una sucesión convergente al punto fijo. Si las condiciones no
se cumplen, entonces la iteración podría ser divergente. (Mathews & Fink, 2000).
Ahora bien, realizando los despejes, las ecuaciones quedan de la siguiente forma:
𝑥 = 𝑓1(x, y) =
−𝑥2+𝑦+4𝑥+2
4
𝑦 = 𝑓2
(x, y) =
−2𝑥𝑦+5𝑦+3
5
Estas dos ecuaciones se emplean como fórmulas recursivas empezando con un punto inicial
(x0, y0). Antes de comenzar a iterar, debemos tomar otro punto en consideración, la
convergencia, que en este caso al tratarse de funciones de varias variables deben emplearse
las derivadas parciales.
Para entender mejor el problema, es necesario visualizar las gráficas de las ecuaciones
originales:

Como podemos ver, las gráficas se intersectan en un punto cercano a (2,1), es por ello que
utilizaremos este punto como nuestro punto inicial (x0, y0) = (2,1) para avaluar las derivadas
parciales y comenzar a realizar las iteraciones.
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
=
−2𝑥 + 4
4
,
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
=
1
4
𝑠𝑢𝑠𝑡. 𝑒𝑛 (𝑥0, 𝑦0) → |0 +
1
4
| =
1
4
< 1 ∴ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
=
−2𝑦
5
,
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
=
−2𝑥 + 5
5
𝑠𝑢𝑠𝑡. 𝑒𝑛 (𝑥0, 𝑦0) → |−
2
5
+
1
5
| =
1
5
< 1 ∴ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Los resultados se muestran en las siguientes tablas:
Donde se observa claramente que el punto de intersección es (1.6980,0.8833), también
podemos notar que converge más rápido si utilizamos iteraciones sucesivas, es por eso que
se recomienda utilizar iteraciones sucesivas en vez de simultáneas.
iteraciones sucesivas
k x y
0 2 1
1 1.75 0.9
2 1.709375 0.884625
3 1.70004053 0.88306566
4 1.69827249 0.88319121
5 1.69803793 0.88331434
6 1.69803331 0.88335547
7 1.6980429 0.88336528
8 1.6980468 0.88336705
9 1.69804783 0.88336725
10 1.69804803 0.88336724
11 1.69804806 0.88336723
12 1.69804806 0.88336722
13 1.69804806 0.88336722
14 1.69804806 0.88336722
iteraciones simultáneas
k x y
0 2 1
1 1.75 0.8
2 1.684375 0.84
3 1.68509521 0.87405
4 1.69372124 0.88490701
5 1.69777508 0.88539269
6 1.6985132 0.88411363
7 1.69830483 0.88344216
8 1.69810555 0.88330052
9 1.69804007 0.88332552
10 1.69803643 0.88335667
11 1.69804367 0.88336795
12 1.69804758 0.88336901
13 1.69804844 0.88336797
14 1.6980483 0.88336733
15 1.69804813 0.88336717
16 1.69804806 0.88336718
17 1.69804805 0.88336721
18 1.69804806 0.88336722
19 1.69804806 0.88336722
20 1.69804806 0.88336722

1.2 Métodos de Newton
1.2.1 Método de Newton Raphson
El método de Newton-Raphson es un método de optimización iterativo que se basa en
aproximar las funciones de un sistema de ecuaciones, ya sean lineales o no. Para resolver
este tipo de ecuaciones necesitaremos algunos conceptos como el de derivada que,
generalizando a este método, se utilizarán las derivadas parciales para poder crear la matriz
Jacobiana.
Matriz Jacobiana: Sean fi (x1, x2, …, xn) para i = 1, 2, …, n, funciones con n variables (xj)
independientes. Su matriz Jacobiana J (x1, x2, …, xn), está dada por las derivadas parciales
de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables:
𝐽 = [
𝑓1 𝑥1
⋯ 𝑓1 𝑥 𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑓𝑛 𝑥1
⋯ 𝑓𝑛 𝑥 𝑛
]
La diferencial: En una función de varias variables, la diferencial es el instrumento que se usa
para mostrar el efecto de los cambios de las variables independientes en las variables
dependientes. Supóngase que los valores de las funciones fi (x1, x2, …, xn) se conocen en el
punto (x1
0, x2
0, …, xn
0) y se desean estimar sus valores en un punto cercano (x1, x2, …, xn). Si
se denotan con fi los cambios diferenciales en las variables dependientes y por xi los
cambios diferenciales en las variables independientes, esto puede escribirse con notación
matricial de la siguiente manera:
[
𝑓1 𝑥1
⋯ 𝑓1 𝑥 𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑓𝑛 𝑥1
⋯ 𝑓𝑛 𝑥 𝑛
] [
∆𝑥1
⋮
∆𝑥 𝑛
] = − [
𝑓1
⋮
𝑓𝑛
]
El diferencial es la ecuación matricial que se utiliza en los métodos para solución de
ecuaciones no lineales.
Usando notación vectorial para el sistema de ecuaciones no lineales se tiene:
F(X) = 0
Definiendo los vectores columna como F = [f1, fn, …, fn)]t , X = [x1, x2, …, xn]t
La extensión del método de Newton para sistemas no lineales es:
X(k+1) = X(k) – [F´(x(k) )]-1 F(x(k))], donde F´(x(k)) es la matriz Jacobiana.

f1(x, y, z) =x2-x+2y2+yz-10=0
f2(x, y, z) = 5x-6y+z=0
f3(x, y, z) = z-x2-y2=0
La gráfica nos ayudará a visualizar el punto inicial (x0, y0, z0) que es la intersección de las tres
ecuaciones principales, para después sustituir en las derivadas y obtener J.
Primero obtenemos las derivadas parciales para crear nuestra matriz J:

f1x= 2x-1 f1y= 4y+z f1z= y
f2x= 5 f2y= -6 f2z= 1
f3x= -2x f3y= -2y f3z= 1
𝐽 = [
2x − 1 4y + z y
5 −6 1
−2x −2y 1
]
Sustituyendo con (x0, y0, z0) = (1,2,3) para la primera iteración tenemos:
𝑥0
= [
1
2
3
] − [
1 11 2
5 −6 1
−2 −4 1
]
−𝐼
[
4
−4
−2
] = [
1.15384615
1.53846154
3.46153846
] ←
𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
X0
Jacobiana fi(x0
) X1
x 1 1 11 2 4 1.15384615
y 2 5 -6 1 -4 1.53846154
z 3 -2 -4 1 -2 3.46153846
X1
Jacobiana fi(x1
) X2
x 1.15384615 1.30769231 9.61538462 1.53846154 0.23668639 1.11056952
y 1.53846154 5 -6 1 0 1.5112416
z 3.46153846 -2.30769231 -3.07692308 1 -0.23668639 3.51460204
X2
Jacobiana fi(x2
) X3
x 1.11056952 1.22113903 9.55956846 1.5112416 0.00191033 1.11009933
y 1.5112416 5 -6 1 0 1.51097914
z 3.51460204 -2.22113903 -3.02248321 1 -0.00261379 3.51537817
X3
Jacobiana fi(xi3
) X4
x 1.11009933 1.22019865 9.55929471 1.51097914 1.5515E-07 1.11009928
y 1.51097914 5 -6 1 0 1.51097911
z 3.51537817 -2.22019865 -3.02195827 1 -2.8997E-07 3.51537827
X4
Jacobiana fi(x4
)
x 1.11009928 1.22019855 9.55929471 1.51097911 0
y 1.51097911 5 -6 1 0
z 3.51537827 -2.22019855 -3.02195822 1 0

Como puede verse, el valor de los incrementos es muy pequeño y después de 4 iteraciones
hemos encontrado las raíces, las iteraciones se detienen cuando la norma del vector de los
incrementos es menor a una tolerancia previamente establecida. En este caso no
establecimos tolerancia, pero se nota a simple vista que hemos encontrado los valores
(1.110099, 1.510979, 3.515378).
1.2.2 Método de Newton Raphson Modificado
El método de Newton-Raphson modificado consiste en aplicar el método de Newton-
Raphson univariable dos veces (para el caso de un sistema de n ecuaciones no lineales
con n incógnitas, se aplicará n veces), una para cada variable. Cada vez que se hace esto, se
considera las otras variables fijas.
Sea el sistema: fi (x1, x2, …, xn) = 0 con i = 1, 2, …, n. Se eligen los valores iniciales (x1
0, x2
0, …,
xn
0) y empleando el método de Newton se calcula un nuevo valor, aunque al tratarse de una
ecuación de varias variables se emplea la derivada parcial evaluada en los valores iniciales:
𝑥𝑖
𝑘+1
= 𝑥𝑖
𝑘
−
𝑓𝑖(𝑥1
𝑘
, 𝑥2
𝑘
, … , 𝑥 𝑛
𝑘
)
𝜕𝑓𝑖
𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝑘
Con lo cual se obtendría (x1
1, x2
1, …, xn
1) y se procede de forma sucesiva hasta alcanzar una
tolerancia previamente establecida. Normalmente este método converge si los valores
iniciales de las variables son cercanos a la raíz.
Para comprender mejor el método, a continuación, se muestra un ejemplo:
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
f1 (x, y, z) = x2+y2+z2= 9
f2 (x, y, z) = xyz =1
f3 (x, y, z) = x+y- z2=0
Primero calculamos las derivadas parciales de la siguiente manera:
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= −2𝑧

Es necesario apoyarnos con una herramienta computacional, por ello, graficaremos las
ecuaciones originales para darnos una idea de qué punto inicial (x0, y0, z0) utilizar. Se pueden
emplear desplazamientos simultáneos o sucesivos.
Primero analizaremos el método con desplazamientos simultáneos en el punto inicial (2.4,
0.5, 1.7) que elegimos de acuerdo a la gráfica anterior.
Para la primera iteración, evaluaremos el punto que elegimos de la siguiente manera:
f1 (x, y, z) = (2.4)2+(0.5)2+(1.7)2-9= -0.1
f2 (x, y, z) = (2.4)(0.5)(1.7)-1= 1.04
f3 (x, y, z) = (2.4)+(0.5)- (1.7)2= 0.01
Después, en las parciales evaluaremos el punto:

𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2(2.4) = 4.8
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= (2.4)(1.7) = 4.08
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= −2(1.7) = −3.4
Ahora obtendremos el nuevo punto (x, y, z):
x= 2.4 - (-0.1/4.8)= 2.42083333
y= 0.5 – (1.04/4.08) = 0.24509804
z= 1.7 – (0.01/-3.4) = 1.70294118
El proceso se repite hasta alcanzar una tolerancia establecida que es obtenida de la
siguiente forma:
x1-x0 = 2.42083333 - 2.4 =0.02083333
y1-y0 = 0.24509804 - 0.5 = -0.254901
z1-z0 = 1.70294118 - 1.7 = 0.00294118
De los resultados tomamos el mayor en valor absoluto, en este caso es 0.254901 y así hasta
llegar a la tolerancia que para efectos de este ejemplo será 0.0002, existen varios criterios
de paro, en este ejemplo utilizamos la norma espectral.
K (x, y, z) fi (x, y, z) Dfxi Error
0
2.4 -0.1 4.8
0.254901960.5 1.04 4.08
1.7 0.01 -3.4
1
2.42083333 -0.17948427 4.84166667
0.068727350.24509804 0.01042568 4.12253676
1.70294118 -0.23407728 -3.40588235
2
2.4579041 -0.22921287 4.91580819
0.046627710.24256909 -0.02566282 4.01674085
1.63421382 0.02981837 -3.26842765
3
2.5045318 0.03521609 5.00906361
0.016105470.24895806 0.02465902 4.11578972
1.64333698 0.05293344 -3.28667395
4
2.49750133 0.05029498 4.99500266
0.010069060.24296674 0.00696586 4.14445973
1.65944245 -0.01328118 -3.3188849
5
2.48743227 -0.0139777 4.97486454
0.003553690.24128597 -0.0064334 4.11779675
1.65544075 -0.01176584 -3.3108815

6
2.49024193 -0.01098893 4.98048387
0.00220640.24284831 -0.00101955 4.11359844
1.65188706 0.00435938 -3.30377413
7
2.49244833 0.00448643 4.98489667
0.00090.24309616 0.00168552 4.12053198
1.65320658 0.00245251 -3.30641316
8
2.49154833 0.00225516 4.98309666
0.000452560.24268711 8.7415E-05 4.12089217
1.65394832 -0.00130961 -3.30789664
9
2.49109577 -0.00131954 4.98219154
0.000264850.2426659 -0.00042096 4.11915743
1.65355242 -0.00047393 -3.30710483
10
2.49136062
0.24276809
1.65340911
Ahora analizaremos el método con desplazamientos sucesivos, utilizando el punto inicial
anterior. El proceso es muy parecido, sólo que ahora iremos actualizando los valores con
forme los vayamos obteniendo.
Para la primera iteración, evaluaremos el punto que elegimos de la siguiente manera:
f1 (x, y, z) = (2.4)2+(0.5)2+(1.7)2-9= -0.1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
= 2(2.4) = 4.8
Estos datos son suficientes para obtener la nueva x:
x = 2.4 – (-0.1/4.8) = 2.42083333
f2 (x, y, z) = (2. 42083333)(0.5) (1.7)-1= 1.05770833
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
= (2.42083333)(1.7) = 4.11541667
Estos datos son suficientes para obtener la nueva y:
y= 0.5 – (1.05770833/4.11541667) = 2.24298876
Y así en adelante

K (x, y, z) fi (x, y, z) Dfxi Error
0
2.4 -0.1 4.8
0.257011240.5 1.05770833 4.11541667
1.7 -0.2261779 -3.4
1
2.42083333 -0.41227504 4.84166667
0.085151470.24298876 -0.0053331 4.09346876
1.63347709 0.082029 -3.26695417
2
2.5059848 0.09054507 5.01196961
0.018065770.24429159 0.00805147 4.12642718
1.6585858 -0.02064741 -3.31717159
3
2.48791904 -0.02123181 4.97583808
0.004266980.2423404 -0.00204419 4.11799197
1.65236139 0.00472464 -3.30472279
4
2.49218602 0.00498574 4.98437204
0.001000270.2428368 0.00046351 4.11990071
1.65379106 -0.00111482 -3.30758212
5
2.49118575 -0.00116834 4.98237149
0.000234490.2427243 -0.00010969 4.11944878
1.65345401 0.00026101 3.30690802
6
2.49142024
0.24275092
1.65353294
Para la tolerancia hemos utilizado el mismo criterio, si analizamos las dos tablas nos
daremos cuenta que al utilizar desplazamientos sucesivos converge más rápido, pero no
siempre es así, puede converger para unos arreglos y divergir para otros, es por ello que
recomiendo siempre realizar los dos desplazamientos para comparar, por lo general el
método converge si los valores iniciales están cercanos a la raíz, aunque no hay manera de
saber cuándo nuestro vector inicial convergerá o no.

1.2.3 Método de Broyden
Es un método cuasinewtoniano para la solución numérica de ecuaciones no lineales con
más de una variable. Fue descrito originalmente por C. G. Broyden en 1965.
El método de Broyden consiste en que a partir de una aproximación inicial X (0) a la solución
F(x) = 0, se calcula la siguiente aproximación X (1) por el método de Newton.
No obstante, para calcular X (2) ya no se hace con el método de Newton y se recurre al
método de la secante. En el método de la secante univariable se emplea la siguiente fórmula
para sustituir el cálculo de la derivada:
𝑓′(𝑥1) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Dado que, en el caso de los sistemas no lineales, X (1) - X (0) es un vector, el cociente
correspondiente esta indefinido. Sin embargo, el método procede de manera semejante al
método de Newton, porque la matriz J (X (1)) es reemplazada por una matriz A que tiene la
propiedad de que:
𝐴(𝑋(1)
− 𝑋(0)
) = 𝐹(𝑋(1)
) − 𝐹(𝑋(0)
)
Esta matriz es la que se usa para determinar X (2) como:
𝑋(2)
= 𝑋(1)
− (𝐴(1)
)
−1
𝐹(𝑋(1)
)
Y cuyos componentes se obtienen con dos iteraciones previas X(k) y X(k-1), de la siguiente
manera: 𝐴
𝑘
= 𝐴
𝑘−1
+
[∆𝐹
( 𝑘)
−𝐴
( 𝑘−1)
∆𝑋
( 𝑘)
](∆𝑋
( 𝑘)
)
𝑡
||(∆𝑋
(𝑘)
)||2
2 … (1) donde:
∆𝐹(𝑘)
= 𝐹(𝑋(𝑘)
) − 𝐹(𝑋(𝑘−1)
)
∆𝑋(𝑘)
= 𝑋(𝑘)
− 𝑋(𝑘−1)

Se requieres dos vectores iniciales X (0) y X (1)
Se emplea la matriz Jacobiana
𝐴(1)
= 𝐽0
+
[∆𝐹(1)
− 𝐽(0)
∆𝑋(1)
](∆𝑋(1)
)
𝑡
||(∆𝑋(1))||2
2
La inversión de A(k) en cada iteración significa un esfuerzo computacional considerable que
puede reducirse empleando la forma de inversión matricial de Sherman Morrison.
Teorema de Sherman Morrison
Si A es una matriz no singular y X y Y son vectores, entonces A + XY t es no singular, siempre
que Y t A-1 X  -1.
(𝐴 + 𝑋𝑌t)-1 = 𝐴-1 −
𝐴−1 𝑋𝑌 𝑡 𝐴−1
1+𝑌 𝑡 𝐴−1 𝑋
… (2)
Para ello se obtiene la inversa de la ecuación (1)
(𝐴 𝑘
)−1
= (𝐴 𝑘−1
+
[∆𝐹(𝑘)
− 𝐴(𝑘−1)
∆𝑋(𝑘)
](∆𝑋(𝑘)
)
𝑡
||∆𝑋(𝑘)||
2
2 )
−1
Haciendo 𝐴 = 𝐴(𝑘−1)
, 𝑌 = ∆𝑋 𝑘
, 𝑋 =
[∆𝐹( 𝑘)
−𝐴
( 𝑘−1)
∆𝑋( 𝑘)
]
||∆𝑋
( 𝑘)
||
2
2
Y reescribiendo como (A k) -1 = (A+ XYt)-1, se ajusta al teorema y se sustituye y desarrolla en
la ecuación (2).
(𝐴(𝑘)
)
−1
= (𝐴(𝑘−1)
)
−1
+
[∆𝑋
( 𝑘)
−(𝐴(𝑘−1))
−1
∆𝐹
( 𝑘)
](∆𝑋
( 𝑘)
)
𝑡
(𝐴(𝑘−1))
−1
(∆𝑋
( 𝑘)
)
𝑡
(𝐴(𝑘−1))
−1
∆𝐹
( 𝑘)
… (2.1)

Una vez determinada X (2) , el método se repite para determinar X(3), usando [A(2)]-1 que se
obtiene a partir de (2.1) con A(1) y con X(2) y X(1) en lugar de X(1) y X(0). En general, una vez
determinado X(i), se calcula X(i+1) por medio de:
𝑋(𝑖+1)
= 𝑋 𝑖
− (𝐴𝑖
)
−1
𝐹(𝑋 𝑖
)
f1(x, y, z) = x2-4x+y2=0
f2(x, y, z) = x2 -x-12y+1=0
f3(x, y, z) = 3x2 -12x+y2-3z2+8=0
En la gráfica anterior se muestran 4 puntos, 2 de ellos son las raíces (rojos) y los otros 2
(negros) son los puntos cercanos a las raíces que utilizaremos para este método.

Para empezar, haremos una iteración con el método de Newton tomando como valor inicial
X0= [3,1,1]t
Primero construiremos la matriz Jacobiana (utilizando las derivadas parciales como lo
hemos venido haciendo). 𝐽 = [
2𝑥 − 4 2𝑦 0
2𝑥 − 1 −12 0
6𝑥 − 12 2𝑦 −6𝑧
]
Evaluamos el valor inicial en la Jacobiana
𝐽 = [
2(3) − 4 2(1) 0
2(3) − 1 −12 0
6(3) − 12 2(1) −6(1)
] = [
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
Evaluamos el valor inicial en las ecuaciones para crear una matriz de 3x1
F1= (3)2-4(3) +(1)2= -2
F2 = (3)2 –(3)-12(1) +1= -5
F3 = 3(3)2 -12(3) +(1)2-3(1)2+8= -3
𝐹(𝑋0) = [
−2
−5
−3
]
Para obtener X1:
𝑋1
= [
3
1
1
] − [
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
−1
[
−2
−5
−3
] = [
4
1
1.5
]
Después se calcula la inversa por Sherman con la ecuación (2.1) empleando la matriz
Jacobiana para la primera iteración.
∆𝑋 = 𝑋1
− 𝑋0
= [
4
1
1.5
] − [
3
1
1
] = [
1
0
0.5
]
∆𝐹 = 𝐹1
− 𝐹0
= [
1
1
2.25
] − [
−2
−5
−3
] = [
3
6
5.25
]

(𝐴1
)−1
= [
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
−1
+
[[
1
0
0.5
]−[
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
−1
[
3
6
5.25
]] [[
1
0
0.5
]
𝑡
[
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
−1
]
[
1
0
0.5
]
𝑡
[
2 2 0
5 −12 0
6 2 −6
]
−1
[
3
6
5.25
]
(𝐴1
)−1
= [
0.2183659 0.0397686 0.0202458
0.1182213 −0.0629067 0.0043384
0.3803326 0.0361533 −0.1634129
]
Y así en adelante para las demás iteraciones
tolerancia x1 Inversa de Sherman F(x1) X2
3.0000000 4.0000000 0.1576354 0.0333735 0.0212594 1.0000000 3.6963124
6.0000000 1.0000000 0.1054351 -0.0642531 0.0045518 1.0000000 0.9349241
5.2500000 1.5000000 0.4021218 0.0384478 -0.1637765 2.2500000 1.4511931
tolerancia x2 inversa de Sherman F(x2) x3
1.2484413 3.6963124 0.1567063 0.0332154 0.0191435 -0.2484413 3.7611575
1.2526762 0.9349241 0.1052591 -0.0642831 0.0041510 -0.2526762 0.9485765
3.0613739 1.4511931 0.4079806 0.0394448 -0.1504341 -0.8113739 1.4279276
0.2499144 3.7611575 0.2018835 0.0375086 0.0008815 0.0014731 3.7591700
0.2549067 0.9485765 0.1150702 -0.0633507 0.0001850 0.0022305 0.9482000
0.8992671 1.4279276 0.3286913 0.0319099 -0.1183830 0.0878932 1.4404607
0.0077109 3.7591700 0.1986577 0.0372113 0.0028050 -0.0062378 3.7606990
0.0084411 0.9482000 0.1143747 -0.0634148 0.0005997 -0.0062106 0.9485320
0.1295541 1.4404607 0.3357290 0.0325584 -0.1225792 -0.0416610 1.4377773

0.0060116 3.7606990 0.1995935 0.0372986 0.0023080 -0.0002262 3.7607571
0.0059842 0.9485320 0.1145763 -0.0633960 0.0004927 -0.0002264 0.9485446
0.0399462 1.4377773 0.3337609 0.0323748 -0.1215342 -0.0017148 1.4376504
0.0002286 3.7607571 0.1994585 0.0372861 0.0023809 0.0000024 3.7607565
0.0002288 0.9485446 0.1145476 -0.0633987 0.0005082 0.0000024 0.9485444
0.0017329 1.4376504 0.3341025 0.0324066 -0.1217186 0.0000181 1.4376517
Nos hemos detenido con una tolerancia F(x) < 0.0005, la hemos obtenido con la norma
espectral que es el mayor valor absoluto de las diferencias entre las F(x).
Hemos llegado a una buena aproximación de la raíz, en este caso la solución es
(3.76075, 0.94854, 1.43765).
0.0000024 3.7607565 0.2001988 0.0373554 0.0020111 0.0000000 3.7607565
0.0000024 0.9485444 0.1147073 -0.0633837 0.0004284 0.0000000 0.9485444
0.0000181 1.4376517 0.3323369 0.0322413 -0.1208366 0.0000000 1.4376517

II. Interpolación y aproximación polinomial.
2.1 Interpolación Polinomial.
La interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no
aparecen en la tabla, es históricamente una tarea fundamental. La necesidad de interpolar
empezó con los primeros estudios de astronomía cuando el movimiento de cuerpos
celestes debía determinarse a partir de observaciones periódicas.
2.1.1 Fórmula de LaGrange.
Los polinomios de LaGrange se pueden determinar especificando algunos puntos en el
plano por los cuales debe pasar. El polinomio de LaGrange es quizá la forma más simple
para mostrar la existencia de un polinomio para interpolación con datos separados de
manera no uniforme. Los datos en los que los valores x no son equidistantes, a menudo son
resultados de observaciones experimentales o de análisis de datos históricos.
Supóngase que se tiene la tabla de datos con cuatro pares de valores x distintos y f(x) con
xi indexado por la variable i.
Por estos cuatro pares de datos es posible hacer pasar una cúbica y crear un polinomio de
grado 3:
𝑃3(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥3)
𝑓0 +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)
𝑓1
+
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)
𝑓2 +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2 )
(𝑥3 − 𝑥0)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)
𝑓3
El patrón de cada término es formar el numerador como un producto de factores lineales
de la forma (x-xi), omitiendo una xi en cada término y usando el valor omitido para formar
i x f(x)
0 x0 f0
1 x1 f1
2 x2 f2
3 x3 f3

el denominador al sustituir x en cada uno de los factores del numerador. En cada término
se multiplica por la fi que corresponde a la xi omitida en los factores del numerador. El
polinomio de LaGrange de otros grados de polinomios de interpolación emplea este mismo
patrón de formar una suma de polinomios, todos del grado deseado; tendrá n+1 términos
cuando el grado sea n.
Ejemplo.
La siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y temperatura (°F) para
termopares formados por Platino y Platino -10% Rodio con juntas refrigeradas a 32°.
Estimar la temperatura para micro voltios de 300, 1700, 3300, 5300 y 5900.
Mvt T(°F)
0 32
500 176
1000 296.7
1500 405.7
2000 509
2500 608.4
3000 704.7
3500 799
4000 891.9
4500 983
5000 1072.6
5500 1160.8
6000 1247.5
Haremos estimaciones para polinomios de segundo y tercer grado, para los polinomios de
segundo grado tomaremos 3 puntos y para los polinomios de tercer grado, tomaremos 4,
estos puntos dependerán del valor que queramos interpolar, para efectos de ejemplo
estimaremos P2(x=1700) y P3(x=300)

𝑃3(𝑥 = 300) =
(300−500)(300−1000)(300−1500)
(0−500)(0−1000)(0−1500)
32 +
(300−0)(300−1000)(300−1500)
(500−0)(500−1000)(500−1500)
176 +
(300−0)(300−500)(300−1500)
(1000−0)(1000−500)(1000−1500)
296.7 +
(300−0)(300−500)(300−1000)
(1500−0)(1500−500)(1500−1000)
405.7
𝑃2(𝑥 = 1700) =
(1700−1500)(1700−2000)
(1000−1500)(1000−2000)
296.7 +
(1700−1000)(1700−2000)
(1500−1000)(1500−2000)
405.7 +
(1700−1000)(1700−1500)
(2000−1000)(2000−1500)
509
El procedimiento se sigue de la misma manera para los demás puntos.
Al error que obtenemos de hacer la diferencia entre un polinomio de grado dos y tres se le
conoce como error de interpolación. Lo que indica qué tan buenas aproximaciones hemos
obtenido.
Xi P2(xi) P3(xi) error
300 121.196 121.8456 0.6496
1700 447.704 447.368 0.336
3300 761.52 761.4496 0.0704
5300 1125.688 1125.6816 0.0064
5900 1230.28 1230.2848 0.0048

2.1.2 Diferencias divididas
Hay dos desventajas al usar el polinomio de LaGrange para interpolación. Primero, implican
más operaciones aritméticas que el método de diferencias divididas. Segundo y más
importante, si se desea sumar o restar un punto del conjunto usado para obtener el
polinomio, esencialmente deben volver a empezarse los cálculos. Deben repetir todo el
procedimiento aritmético si es necesario interpolar en un nuevo valor x. El método de
diferencias divididas evita todos estos cálculos.
Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio de interpolación,
a partir de datos tabulados, se conocen como métodos de diferencias divididas, y pueden
usarse para derivar técnicas para aproximar las derivadas y las integrales de funciones, así
como para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. El tratamiento de las tablas
de diferencias divididas supone que la función f(x) es conocida para varios valores de x.
Dichos valores no necesariamente están igualmente espaciados u obedecen algún orden
(sin embargo, si están ordenados puede ser ventajoso).
El tratamiento de tablas de diferencias divididas supone que la función f(x) se conoce en
varios valores de x.
Considérese el polinomio de enésimo grado escrito en una forma especial:
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑎1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑎2 + ⋯ + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)𝑎 𝑛
Si las ai se escogen de modo que Pn (x)=f(x) en los n+1 puntos conocidos, (xi, fi), i = 0…n,
entonces Pn (x) es un polinomio de interpolación. Una notación estándar para las diferencias
divididas es:
x f(x)
X0 f0
X1 f1
X2 f2
X3 f3

𝑓[𝑥0 , 𝑥1] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
, 𝑐𝑜𝑛 𝑓[𝑥0] = 𝑓0
= 𝑓𝑥0 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥0 𝑦 𝑥1
𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙, 𝑓[𝑥 𝑠 , 𝑥𝑡] =
𝑓𝑡−𝑓𝑠
𝑥 𝑡−𝑥 𝑠
Las diferencias de segundo orden y de orden superior se definen en términos de diferencias
de orden inferior. Por ejemplo
𝑓[𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2 ] =
𝑓[𝑥1,𝑥2]−𝑓[𝑥0,𝑥1]
𝑥2−𝑥0
𝑓[𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ] =
𝑓[𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥 𝑛] − 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛−1]
𝑥 𝑛 − 𝑥0
Utilizaremos el ejemplo que usamos en LaGrange.
La siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y temperatura (°F) para
termopares formados por Platino y Platino -10% Rodio con juntas refrigeradas a 32°.
Estimar la temperatura para micro voltios de 1700 y 5900.
A continuación, se muestra la tabla de diferencias divididas hasta la cuarta diferencia, esta
tabla nos alcanza para doce diferencias, pero sólo se muestran cuatro.
i xi fxi f[1] f[2] f[3] f[4]
0 0 32 0.288 -0.0000472 1.66667E-08 -4.93333E-12
1 500 176 0.2408 -2.22E-05 6.8E-09 -2E-12
2 1000 296.4 0.2186 -0.000012 2.8E-09 -8.66667E-13
3 1500 405.7 0.2066 -7.8E-06 1.06667E-09 2E-13
4 2000 509 0.1988 -6.2E-06 1.46667E-09 -3.33333E-13
5 2500 608.4 0.1926 -4E-06 8E-10 -6.66667E-13
6 3000 704.7 0.1886 -2.8E-06 -5.33333E-10 4.66667E-13
7 3500 799 0.1858 -3.6E-06 4E-10 -1.33333E-13
8 4000 891.9 0.1822 -3E-06 1.33333E-10 -1.33333E-13
9 4500 983 0.1792 -2.8E-06 -1.33333E-10
10 5000 1072.6 0.1764 -0.000003
11 5500 1160.8 0.1734
12 6000 1247.5

𝑃3(𝑥 = 1700) = 296.6 + [(0.2185)(1700 − 1000)] + [−0.000012(1700 −
1000)(1700 − 1500)] + [2.8𝐸 − 09(1700 − 1000)(1700 − 1500)(1700 − 2000)] =
447.6224
𝑃4(𝑥 = 1700) = 447.6224 + [−8.66667E − 13(1700 − 1000)(1700 − 1500)(1700 −
2000)(1700 − 2500) = 447.5933
𝑃2(𝑥 = 5900) = 1072.6 + [0.1764(5900 − 5000)] + [−0.000003(5900 −
5000)(5900 − 5500)] = 1230.28
𝑃3(𝑥 = 5900) = 1230.28 + [−1.33333𝐸 − 10(5900 − 4500)(5900 − 5000)(5900 −
5500)] = 1230.2848
Error de interpolación
El término del error para un polinomio de interpolación derivado de una tabla de diferencias
divididas es idéntico y equivalente al del polinomio de LaGrange porque, como ya se dijo,
todos lo polinomios de grado n que utilizan n+1 puntos son idénticos.
Regla del término siguiente
Debido a que casi siempre se trata con datos experimentales se desconoce la función, para
estos casos existe una forma para estimar el error de la interpolación, esto se debe a que la
diferencia dividida de enésimo orden es en sí una aproximación para f (n) (x)/n!. Lo que esto
significa es que” el error de la interpolación lo da aproximadamente el valor del término
siguiente que se sumaría”. Esta regla fundamental para estimar el error de la interpolación
se denomina regla del término siguiente. Es fácil plantearla y usarla.
E(x) = (aproximadamente) el valor del término siguiente que se sumaría a Pn (x)
Entonces, el error por regla del término siguiente para P2 (x=5900) es el siguiente
ERTS2= [−1.33333𝐸 − 10(5900 − 4500)(5900 − 5000)(5900 − 5500) = −0.0672
ERTS3= No es posible obtener un polinomio de cuarto grado, por ello no se puede aplicar la
regla.
Y así se aplica para los demás polinomios

2.1.3 Fórmulas de interpolación de Newton
El método de interpolación de Newton es un poco más complicado en su programación que
el de LaGrange, pero también más versátil, ya que si los datos están ordenados e igualmente
espaciados la fórmula se puede simplificar y además mejorar la precisión.
Fórmula progresiva de Newton
Cuando x0, x1,…, xn, están ordenados consecutivamente e igualmente espaciados, la fórmula
de diferencias divididas:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + ∑ 𝑓[𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥 𝑘 ](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑘−1 )
𝑛
𝑘=1
Se simplifica utilizando la siguiente notación:
h = xi+1 - xi para i=0, 1,…,n
x =x0 + sh, la diferencia (x – xi) puede escribirse como x – xi = (s – i) h;
Así que la formula anterior puede escribirse de la manera siguiente:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑃𝑛[𝑥0 + 𝑠ℎ] = 𝑓[𝑥0] + 𝑠ℎ𝑓[𝑥0 , 𝑥1] + 𝑠(𝑠 − 1)ℎ2
𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ] +
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) … (𝑠 − 𝑛 + 1)ℎ 𝑛
𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛]
Fórmula de diferencias divididas progresiva de Newton
Considerando que los datos están igualmente espaciados se puede construir el polinomio
haciendo uso de la notación de diferencia progresiva, . Con esta notación:
𝑓[𝑥0 , 𝑥1] =
𝑓1−𝑓0
𝑥1−𝑥0
=
∆𝑓0
ℎ
𝑓[ 𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2 ] =
∆𝑓1−∆𝑓0
2ℎ2 =
∆2 𝑓0
2ℎ2
𝑓[ 𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥 𝑘 ] =
∆ 𝑘 𝑓0
𝑘!ℎ 𝑘
El polinomio queda de la siguiente forma:

𝑃𝑛 = 𝑓(𝑥0) + 𝑠∆𝑓(𝑥0 ) + 𝑠(𝑠 − 1)∆2 𝑓(𝑥0)
2!
+ ⋯ + 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) … (𝑠 −
𝑛 − 1)∆ 𝑛 𝑓(𝑥0)
𝑛!
Fórmula regresiva de Newton
Si los puntos de la tabla se reordenan descendentemente xn, xn-1, ..., x0, resultará una
fórmula similar a la primera ecuación
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥 𝑛] + ∑ 𝑓[𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1, … , 𝑥 𝑛 ](𝑥 − 𝑥 𝑛)(𝑥 − 𝑥 𝑛−1) … (𝑥 − 𝑥 𝑘+1 )
𝑛
𝑘=1
Usando espacios iguales con x = xn + sh y x = xi + (s + n – i) h se obtiene:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑃𝑛[𝑥 𝑛 + 𝑠ℎ] = 𝑓[𝑥 𝑛] + 𝑠ℎ𝑓[𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛] + 𝑠(𝑠 + 1)ℎ2
𝑓[𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ] +
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) … (𝑠 + 𝑛 − 1)ℎ 𝑛
𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛]
Esta fórmula se llama de diferencias divididas regresiva de Newton, que se usa para derivar
una fórmula aplicada más comúnmente conocida como fórmula de diferencia regresiva de
Newton.
Consecuentemente:
𝑃𝑛 = 𝑓(𝑥 𝑛) + 𝑠∇𝑓(𝑥 𝑛 ) + 𝑠(𝑠 + 1)∇2 𝑓(𝑥 𝑛)
2!
+ ⋯ + 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) … (𝑠 +
𝑛 − 1)∆ 𝑛 𝑓(𝑥 𝑛)
𝑛!
Esta última ecuación se llama fórmula de diferencia regresiva de Newton, y se emplea para
aproximar valores que se encuentran al final de la tabla.
Las fórmulas de diferencias Newton no son apropiadas para aproximar un valor x que se
encuentre cerca del centro de la tabla. En estas circunstancias se dispone de fórmulas de
centradas.
Ejemplo. Obtener una estimación para la presión a 58° y 83° con un polinomio de segundo
y tercer grado.
T(°F) P(l/plg2)
50 24.94
60 30.11
70 36.05
80 42.84
90 50.57

100 59.3
Primero creamos la tabla de diferencias
i xi fxi ∆fxi ∆2fxi ∆3fxi ∆4fxi ∆5fxi
0 50 24.94 5.17 0.77 0.08 0.01 -0.04
1 60 30.11 5.94 0.85 0.09 -0.03
2 70 36.05 6.79 0.94 0.06
3 80 42.84 7.73 1
4 90 50.57 8.73
5 100 59.3
Procedemos a obtener las estimaciones:
1.-Newton progresivo
Se escogió Newton progresivo para estimar x=58° debido a que está al principio de la tabla
h=xi+1 – xi =60-50=10
(x-x0)/h =s (58-50)/10=4/5 =s
𝑃2(58°) = 24.94 +
4
5
(5.17) +
4
5
(
4
5
− 1)
(0.77)
2!
= 29.0144
𝑃3(58°) = 29.0144 +
4
5
(
4
5
− 1) (
4
5
− 2)
(0.08)
3!
= 29.01696
2.-Newton regresivo
X=xn+sh
S= (x-xn)/h 83-90/10= -0.7
𝑃2(83°) = 50.57 + (−0.7)(7.73) + (−0.7)(−0.7 + 1)
(0.94)
2!
= 45.0603
𝑃2(83°) = 45.0603 + (−0.7)(−0.7 + 1)(−0.7 + 2)
(0.09)
3!
= 45.056205

2.1.4 Método de Hermite
Un polinomio se puede ajustar no solo a los valores de la función sino también a las
derivadas en los puntos. Los polinomios ajustados a los valores de la función y de su
derivada se llaman polinomios de interpolación de Hermite o polinomios osculantes.
El conjunto de los polinomios osculantes es una generalización de los polinomios de Taylor
y los polinomios de LaGrange. Estos polinomios tienen la propiedad de que, dados n + 1
números distintos, x0, x1, x2, ..., xn y los enteros no negativos m0, m1, m2, ..., mn, el polinomio
osculante que aproxima a una función f ∈ Cm [a, b], donde m = máx. {m0, m1, m2, ..., mn} y xi
∈ [a, b] para cada i = 0, 1, ... , n es el polinomio de menor grado con la propiedad de que
coincide con la función f y todas sus derivadas de orden menor o igual a mi en xi para cada
i = 0, 1, ... , n . El grado de este polinomio osculante será a lo más
𝑀 ∑ 𝑚𝑖 + 𝑛
𝑛
𝑖=0
ya que el número de condiciones a satisfacer es ∑ 𝑚𝑖 + (𝑛𝑛
𝑖=0 + 1)
y un polinomio de grado M tiene M + 1 coeficientes que pueden usarse para satisfacer estas
condiciones.
Si f ∈ C1 [a, b] y x0, x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] son distintos, el único polinomio de menor grado que
coincide con f y f’ en x0, x1, x2, ..., xn es un polinomio de grado a lo más 2n + 1 dado por
𝐻2𝑛+1(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝐻 𝑛,𝑗(𝑥) + ∑ 𝑓′(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝐻̂ 𝑛,𝑗(𝑥)
Donde:
𝐻 𝑛,𝑗(𝑥) = [1 − 2(𝑥 − 𝑥𝑖)𝐿′
𝑛,𝑗(𝑥𝑗)]𝐿 𝑛,𝑗
2
(𝑥)
𝐻̂ 𝑛,𝑗(𝑥) = (𝑥 − 𝑥𝑗)𝐿 𝑛,𝑗
2
(𝑥)
En este contexto, Ln,j denota al j-ésimo coeficiente polinomial de LaGrange de grado n.
Donde el término del error
𝑓(𝑥) − 𝐻2𝑛+1(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0)2
… (𝑥 − 𝑥 𝑛)2
(2𝑛 + 2)!
𝑓(2𝑛+2)
(𝜀)
Para alguna 𝜀 𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝜀 < 𝑏
Ejemplo. Encontrar una aproximación de f(x=10)

j xj f(xj) f'(xj)
0 3 225 77
1 5 383 80
2 8 625 74
3 13 993 72
El primer paso es encontrar los cocientes de LaGrange y sus derivadas, así como los
cuadrados de los cocientes sin derivar.
𝐿0 =
(𝑥−5)(𝑥−8)(𝑥−13)
(3−5)(3−8)(3−13)
=
𝑥3−26𝑥2+209𝑥−520
−100
= 0.3
𝐿′
0(3) =
3𝑥2−52𝑥+209
−100
= −0.8
𝐿2
0 = (0.3)(0.3) = 0.09
𝐿1 =
(𝑥−3)(𝑥−8)(𝑥−13)
(5−3)(5−8)(5−13)
=
𝑥3−24𝑥2+167𝑥−312
48
= −0.875
𝐿′
1(5) =
3𝑥2−48𝑥+167
48
= 0.041666667
𝐿2
1 = (−0.875)(−0.875) = 0.765625
Después sacar las respectivas 𝐻 𝑛,𝑗 𝑦 𝐻̂ 𝑛,𝑗
𝐻0(𝑥) = [1 − 2(10 − 3)(−0.8)](0.09) = 1.098
𝐻̂0(𝑥) = (10 − 3)(0.09) = 0.63
𝐻1(𝑥) = [1 − 2(10 − 5)(0.041666667)](0.765625) = 0.446614583
𝐻̂1(𝑥) = (10 − 5)(0.765625) = 3.828125
Una vez obtenidos los datos, procedemos a realizar la suma
𝐻2𝑛+1(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝐻 𝑛,𝑗(𝑥) + ∑ 𝑓′(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝐻̂ 𝑛,𝑗(𝑥)
𝐻7(𝑥) = 117.7277708 + 638.225 = 𝟕𝟓𝟓. 𝟗𝟓𝟐𝟕𝟕𝟎𝟖
A continuación, se muestra la tabla de los datos que faltan:

Lj(x) L'j(xj) L2(xj) Hnj(xj) H^nj(xj) f(xj)Hnj(x) f'(xj)H^nj(x)
0.3 -0.8 0.09 1.098 0.63 247.05 48.51
-0.875 0.041666667 0.765625 0.446614583 3.828125 171.053385 306.25
1.4 0.333333333 1.96 0.653333333 3.92 408.333333 290.08
0.175 0.425 0.030625 0.10871875 -0.091875 107.957719 -6.615
Existe otra forma alternativa.
La necesidad de determinar y evaluar los cocientes de LaGrange y sus derivadas hace el
procedimiento tedioso, aun para valores pequeños de n. Un método alternativo para
generar aproximaciones de Hermite está basada en la fórmula de diferencias divididas y la
conexión entre la enésima diferencia dividida y la enésima derivada de f.
Lo que hace esta forma alternativa es tomar z0 = z1 =x0 y así sucesivamente.
Lo mismo sucede con f[z0 ] = f[z1 ]=f(x0 ).
Para la primera columna de diferencias divididas se realiza lo siguiente:
Se irán intercalando los valores de las f’(xj ) y las diferencias divididas comenzando con las
derivadas de f(xj ), las diferencias divididas restantes se producen de la manera usual y por
último se emplean las diferencias divididas apropiadas en la fórmula de diferencia dividida
interpolante de Newton.
j xj f(xj) f[1] f[2] f[3] f[4] f[5] f[6] f[7]
0 3 225 77 1 -0.25 0.038888889 -0.03814814 0.006686574 -0.00117433
1 3 225 79 0.5 -0.055555556 -0.151851852 0.02871759 -0.005056713
2 5 383 80 0.222222222 -0.814814815 0.135324074 -0.02184953
3 5 383 80.66666667 -2.222222222 0.267777778 -0.039472222
4 8 625 74 -0.08 -0.048
5 8 625 73.6 -0.32
6 13 993 72
7 13 993
P7(x)= 755.9527708

2.2 Ajuste de curvas
2.2.1 Spline cúbico
Hay otra forma para ajustar un polinomio a aun conjunto de datos. Un spline cúbico ajusta
una “curva suave” a los puntos, tomando prestada la idea de instrumento que se usa para
dibujar. La curva spline puede ser de muchos grados. Supóngase que se tiene el siguiente
conjunto de n+1 puntos de datos, que no necesariamente deben estar igualmente
espaciados:
(xi, yi), i=0, 1, 2, …, n.
En general, un conjunto de polinomios de enésimo grado se ajusta entre cada par de puntos
adyacentes, gi(x), desde xi hasta xi+1. Si el grado del spline es uno (entre los puntos sólo hay
rectas), la “curva” se vería como se muestra en la siguiente figura. El problema con el spline
lineal es que la pendiente es discontinua en los puntos (nodos). Los splines de grado mayor
que uno carecen de este problema.
Aunque los splines pueden ser de cualquier grado, los más conocidos y por mucho son los
splines cúbicos. Se escribe la ecuación para un polinomio cúbico, gi (xi), en el iésimo
intervalo, entre los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1), y tiene la ecuación:
𝑔𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)3
+ 𝑏𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)2
+ 𝑐𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖) + 𝑑𝑖
Así, la función del spline cúbico que desea es de la forma:
𝑔(𝑥) = 𝑔𝑖(𝑥) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [ 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1], 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖
= 0, 1, … , 𝑛 − 1 𝑦 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑔𝑖(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 𝑦 𝑔 𝑛−1(𝑥 𝑛) = 𝑦𝑛;
𝑔𝑖(𝑥𝑖+1) = 𝑔𝑖+1(𝑥𝑖+1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 2 ;
𝑔′𝑖(𝑥𝑖+1) = 𝑔′𝑖+1(𝑥𝑖+1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 2 ;

𝑔′′𝑖(𝑥𝑖+1) = 𝑔′′
𝑖+1
(𝑥𝑖+1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 2 ;
Las ecuaciones anteriores indican que el spline cúbico se ajusta a cada uno de los puntos,
que es continua y que es continua en pendiente y curvatura a lo largo de toda la región
generada por los puntos, respectivamente.
Si hay n+1 puntos, el número de intervalos y el número de gi (x) es n. Así, hay cuatro veces
n incógnitas, que son las (𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖, 𝑑𝑖) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0,1 , … , 𝑛 − 1.
De la primera condición obtenemos que di = yi.
Con h= xi+1 – xi como el ancho de cada intervalo, el polinomio gi(x) puede escribirse como
𝑔𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖(ℎ)3
+ 𝑏𝑖(ℎ)2
+ 𝑐𝑖(ℎ) + 𝑦𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔′′(𝑥𝑖), 𝑖𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑆𝑖
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆𝑖 = 6𝑎𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖) + 2𝑏𝑖 = 𝑔′′
𝑖
(𝑥𝑖) = 2𝑏𝑖
𝑆𝑖+1 = 𝑔′′
𝑖
(𝑥𝑖+1) = 6𝑎𝑖(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) + 2𝑏𝑖 = 6𝑎𝑖ℎ𝑖 + 2𝑏𝑖
Los coeficientes para este polinomio:
𝑎𝑖 =
𝑆 𝑖+1−𝑆 𝑖
6ℎ 𝑖
𝑏𝑖 =
𝑆 𝑖
2
𝑐𝑖 =
𝑦 𝑖+1−𝑦 𝑖
ℎ 𝑖
−
𝑠𝑖+1−2𝑆 𝑖
6
ℎ𝑖 𝑑𝑖 = 𝑦𝑖
Después de hacer varias sustituciones y simplificando obtenemos la siguiente ecuación que
nos ayudará a la notación matricial.
Esta última ecuación es válida en cada punto interno i = 1, 2, ..., n – 1, lo cual proporciona
n-1 ecuaciones que relacionan los n+1 valores Si . Al dar condiciones a los extremos se
obtienen dos condiciones adicionales que implican S0 y Sn, las cuales son arbitrarias en cierta
medida.
A menudo se usan cuatro alternativas:
1.-Spline natural, consiste en hacer cero los extremos; S0 =0 y Sn =0
2.-Forzar que las pendientes en cada extremo asuman valores específicos.
3.-Se toma S0 = S1, Sn = Sn-1. Esto equivale a suponer que las cúbicas en la frontera tienden a
parábolas en sus extremidades.

4.- Extrapolando S0 con S1 y S2 y Sn con Sn-1 y Sn-2 (produce demasiada curvatura en los
extremos).
Como puede observarse hay n+1 incógnitas y n-1 ecuaciones. Para hacer el sistema
cuadrado se eliminan S0 y Sn usando las suposiciones en la frontera, la más común de ellas
es el spline natural. Una vez que se obtienen los valores Si se obtienen los coeficientes ai,
bi, ci, di para las cúbicas en cada intervalo. A partir de éstas es posible calcular puntos en la
curva de interpolación.
Ejemplo. Ajustar los datos de la siguiente tabla
i xi yi
0 0.62 2.14
1 0.74 2.96
2 1 2.8
3 1.78 3.6
4 2.42 3.44
5 3.16 3.16
6 4.7 1.04
7 7 2
8 9.08 0.54
9 10.36 1.94
10 9.52 3.6

Comenzamos calculando las hi y la primera diferencia dividida para nuestro valores.
ℎ0 = 𝑥1 − 𝑥0 = 0.74 − 0.62 = 0.12
ℎ1 = 𝑥2 − 𝑥1 = 1 − 0.74 = 0.26 …
𝑓[𝑥0, 𝑥1] =
2.96−2.14
0.74−0.62
=6.833333
𝑓[𝑥1, 𝑥2] =
2.8−2.96
1−0.74
= −0.6153846 …
Una vez obtenidas las diferencias divididas, procedemos a realizar la diferencia entre ellas
y multiplicarlas por 6, de la siguiente manera:
6 ∗ (𝑓[𝑥1, 𝑥2] − 𝑓[𝑥0, 𝑥1]) = 6 ∗ (−0.6153846 − 6.833333) …
Después hacemos la matriz
Usando spline natural (haciendo S0=0 y S10=0), procederemos a resolver el sistema:
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
0.12 0.76 0.26 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.26 2.08 0.78 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.78 2.84 0.64 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.64 2.76 0.74 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.74 4.56 1.54 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1.54 7.68 2.3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2.3 8.76 2.08 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2.08 6.72 1.28 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1.28 0.88 -0.84
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
0.76 0.26 0 0 0 0 0 0 0
0.26 2.08 0.78 0 0 0 0 0 0
0 0.78 2.84 0.64 0 0 0 0 0
0 0 0.64 2.76 0.74 0 0 0 0
0 0 0 0.74 4.56 1.54 0 0 0
0 0 0 0 1.54 7.68 2.3 0 0
0 0 0 0 0 2.3 8.76 2.08 0
0 0 0 0 0 0 2.08 6.72 1.28
0 0 0 0 0 0 0 1.28 0.88
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
6([Fi+1]-[Fi])
-44.6923077
9.846153846
-7.65384615
-0.77027027
-5.98946999
10.76408809
-6.71588629
10.77403846
-18.4196429
=

S1= -64.12356654
S2= 15.54462646
S3= -7.454540891
S4= 2.175377088
S5= -2.707303867
S6= 3.081854936
S7= -3.797960811
S8= 9.358646185
S9= -34.54398861
Ahora calcularemos los coeficientes del polinomio con las fórmulas que obtuvimos:
𝑎𝑖 =
𝑆 𝑖+1−𝑆 𝑖
6ℎ 𝑖
𝑏𝑖 =
𝑆 𝑖
2
𝑐𝑖 =
𝑦 𝑖+1−𝑦 𝑖
ℎ 𝑖
−
𝑠𝑖+1−2𝑆 𝑖
6
ℎ𝑖 𝑑𝑖 = 𝑦𝑖
i hi f[1] Si ai bi ci
0 0.12 6.83333333 0 -89.0605091 0 8.11580466
1 0.26 -0.61538462 -64.1235665 51.0693545 -32.0617833 4.26839067
2 0.78 1.02564103 15.5446265 -4.914352 7.77231323 -2.04687154
3 0.64 -0.25 -7.45454089 2.50779114 -3.72727045 1.10826183
4 0.74 -0.37837838 2.17537709 -1.09970292 1.08768854 -0.58107058
5 1.54 -1.37662338 -2.70730387 0.62653234 -1.35365193 -0.77788349
6 2.3 0.4173913 3.08185494 -0.49853737 1.54092747 -0.48947917
7 2.08 -0.70192308 -3.79796081 1.0542153 -1.89898041 -1.31300093
8 1.28 1.09375 9.35864619 -5.71648891 4.67932309 4.47011186
9 -0.84 -1.97619048 -34.5439886 -6.85396599 -17.2719943 -11.6485073
10 0

Los polinomios son de la forma:
𝑔𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)3
+ 𝑏𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)2
+ 𝑐𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖) + 𝑑𝑖
go= 0.62<=x<=0.74 = -89.0605091(x-0.62)3
+8.11580466 (x-0.62) +2.14
g1 = 0.74<=x<= 1=51.0693545 (x-0.74 )3
-32.0617833(x-0.74 )2
+ 4.26839067 (x-0.74) +2.96
g2 = 1 <=x<=1.78=-4.914352(x-1 )3
+7.77231323 (x-1 )2
-2.04687154 (x-1) +2.8
g3 = 1.78<=x<=2.42=2.50779114 (x-1.78 )3
-3.72727045 (x-1.78 )2
+1.10826183 (x-1.78) +3.6
g4= 2.42<=x<=3.16=-1.09970292 (x-2.42 )3
+1.08768854 (x-2.42 )2
-0.58107058 (x-2.42) +3.44
g5= 3.16<=x<=4.7=0.62653234 (x-3.16 )3
-1.35365193 (x-3.16 )2
-0.77788349 (x-1.78) +3.16
g6= 4.7<=x<= 7=-0.49853737 (x-4.7 )3
+1.54092747 (x-4.7 )2
-0.48947917 (x-4.7) +1.04
g7= 7 <=x<=9.08=1.0542153 (x-7 )3
-1.89898041 (x-7 )2
-1.31300093 (x-7) +2
g8= 9.08<=x<=10.36=-5.71648891 (x-9.08 )3
+4.67932309 (x-9.08 )2
+ 4.47011186 (x-9.08) +0.54
g9= 9.56<=x<=10.36=-6.85396599 (x-10.36 )3
-17.2719943(x-10.36 )2
-11.6485073 (x-10.36) +1.94
Estos polinomios han quedado expresados de forma general, usaremos el polinomio
adecuado dependiendo el punto que queramos interpolar, sustituyendo ese valor en x.

2.2.2 Mínimos cuadrados
El estudio de la teoría de la aproximación comprende dos tipos generales de problemas.
Uno se presenta cuando una función se da de manera explícita, pero se desea encontrar un
tipo más simple de ella, un polinomio, por ejemplo, que sirva para determinar los valores
aproximados de una función dada. El otro problema se refiere a la adaptación de las
funciones a ciertos datos y a la búsqueda de la función “óptima” en una clase que se pueda
emplear para representar los datos.
Fórmulas para mínimos cuadrados
El problema de ajustar la mejor recta con mínimos cuadrados a una colección de datos
implica minimizar el error total {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}1=1
𝑚
implica minimizar el error total.
con respecto a los parámetros a0 y a1. Para que haya un mínimo, debemos tener
Estas ecuaciones se simplifican en las ecuaciones normales

La solución de este sistema de ecuaciones es
Generalización
De modo similar se resuelve el problema de aproximar un conjunto de datos {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}1=1
𝑚
con un polinomio algebraico de grado n < m-1 mediante el procedimiento de mínimos
cuadrados. Sea el polinomio:
Para disminuir al mínimo el error de mínimos cuadrados, es necesario seleccionar las
constantes a0, a1, …, an de tal manera que las parciales con respecto a cada una de ellas sea
cero. Así para cada j:
Esto nos da n + 1 ecuaciones normales en las n + 1 incógnitas aj.

Conviene escribir las ecuaciones como sigue:
Ejemplo. Construye un polinomio por mínimos cuadrados que ajuste los puntos de la
siguiente tabla, (decide qué grado se ajusta mejor).
i xi yi
1 0.1 1.9
2 1.1 7.9
3 1.6 24.9
4 2.4 25.2
5 2.5 34.9
6 4.1 42.7
7 5.2 29.7
8 6.1 42.6
9 6.6 36.1
10 7.1 23.7
11 8.2 13
12 9.1 12.7
13 9.4 -3.1
14 11.1 -13
15 11.4 -28.7
16 12.2 -39.5
17 13.2 -48.6
18 14.1 -40.2
19 15.6 -51.6
20 16.1 -30.5
21 17.6 -34.6
22 17.9 -16.4
23 19.1 -13.4
24 20 -1.1

Aquí se muestra la gráfica de los valores de la tabla.
Podemos observar cómo se comportan los puntos e intuir qué polinomio se ajustaría mejor.
Procedemos a construir la tabla
xi yi xi
2
xi
3
xi
4
xi
5
xi
6
1 0.1 1.9 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
2 1.1 7.9 1.21 1.331 1.4641 1.61051 1.771561
3 1.6 24.9 2.56 4.096 6.5536 10.48576 16.777216
4 2.4 25.2 5.76 13.824 33.1776 79.62624 191.102976
5 2.5 34.9 6.25 15.625 39.0625 97.65625 244.140625
6 4.1 42.7 16.81 68.921 282.5761 1158.56201 4750.10424
7 5.2 29.7 27.04 140.608 731.1616 3802.04032 19770.6097
8 6.1 42.6 37.21 226.981 1384.5841 8445.96301 51520.3744
9 6.6 36.1 43.56 287.496 1897.4736 12523.3258 82653.95
10 7.1 23.7 50.41 357.911 2541.1681 18042.2935 128100.284
11 8.2 13 67.24 551.368 4521.2176 37073.9843 304006.671
12 9.1 12.7 82.81 753.571 6857.4961 62403.2145 567869.252
13 9.4 -3.1 88.36 830.584 7807.4896 73390.4022 689869.781
14 11.1 -13 123.21 1367.631 15180.7041 168505.816 1870414.55
15 11.4 -28.7 129.96 1481.544 16889.6016 192541.458 2194972.62
16 12.2 -39.5 148.84 1815.848 22153.3456 270270.816 3297303.96
17 13.2 -48.6 174.24 2299.968 30359.5776 400746.424 5289852.8
18 14.1 -40.2 198.81 2803.221 39525.4161 557308.367 7858047.97

19 15.6 -51.6 243.36 3796.416 59224.0896 923895.798 14412774.4
20 16.1 -30.5 259.21 4173.281 67189.8241 1081756.17 17416274.3
21 17.6 -34.6 309.76 5451.776 95951.2576 1688742.13 29721861.6
22 17.9 -16.4 320.41 5735.339 102662.568 1837659.97 32894113.4
23 19.1 -13.4 364.81 6967.871 133086.336 2541949.02 48551226.3
24 20 -1.1 400 8000 160000 3200000 64000000
∑ 231.8 -25.4 3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1 229355837
xi
7
xi
8
xiyi xi
2
yi xi
3
yi xi
4
yi P1 P2
0.0000001 0.00000001 0.19 0.019 0.0019 0.00019 32.2502404 36.3781159
1.9487171 2.14358881 8.69 9.559 10.5149 11.56639 28.7654725 31.629286
26.8435456 42.949673 39.84 63.744 101.9904 163.18464 27.0230885 29.3055306
458.647142 1100.75314 60.48 145.152 348.3648 836.07552 24.2352741 25.6577698
610.351563 1525.87891 87.25 218.125 545.3125 1363.28125 23.8867973 25.2078789
19475.4274 79849.2523 175.07 717.787 2942.9267 12065.9995 18.3111686 18.193349
102807.17 534597.285 154.44 803.088 4176.0576 21715.4995 14.4779238 13.5714716
314274.284 1917073.13 259.86 1585.146 9669.3906 58983.2827 11.3416327 9.91151842
545516.07 3600406.06 238.26 1572.516 10378.6056 68498.797 9.59924868 7.92549335
909512.016 6457535.31 168.27 1194.717 8482.4907 60225.684 7.8568647 5.97324131
2492854.71 20441408.6 106.6 874.12 7167.784 58775.8288 4.02361994 1.79716791
5167610.19 47025252.8 115.57 1051.687 9570.3517 87090.2005 0.88732878 -1.4980365
6484775.94 60956893.9 -29.14 -273.916 -2574.8104 -24203.2178 -0.15810161 -2.57212139
20761601.5 230453777 -144.3 -1601.73 -17779.203 -197349.153 -6.08220714 -8.42894577
25022687.9 285258642 -327.18 -3729.852 -42520.3128 -484731.566 -7.12763753 -9.42197538
40227108.3 490770721 -481.9 -5879.18 -71725.996 -875057.151 -9.9154519 -12.0106138
69826057 921703952 -641.52 -8468.064 -111778.445 -1475475.47 -13.4002199 -15.1248289
110798476 1562258518 -566.82 -7992.162 -112689.484 -1588921.73 -16.536511 -17.8121187
224839281 3507492789 -804.96 -12557.376 -195895.066 -3055963.02 -21.763663 -22.0477692
280402016 4514472463 -491.05 -7905.905 -127285.071 -2049289.64 -23.506047 -23.3921066
523104763 9206643835 -608.96 -10717.696 -188631.45 -3319913.51 -28.7331989 -27.2224807
588804631 1.054E+10 -293.56 -5254.724 -94059.5596 -1683666.12 -29.7786293 -27.9520806
927328422 1.7712E+10 -255.94 -4888.454 -93369.4714 -1783356.9 -33.9603508 -30.7488974
1280000000 2.56E+10 -22 -440 -8800 -176000 -37.096642 -32.718848
4107152968 7.4712E+10 -3252.81 -61473.399 -1013715.08 -16344198.1

P3 P4 (yi-P1)2
(yi-P2)2
(yi-P3)2
(yi-P4)2
-2.98529289 -6.96904742 921.137094 1188.74048 23.8660867 78.6600022
16.1117631 15.8328233 435.367941 563.079014 67.4330537 62.9296852
23.2749208 24.1749345 4.50750473 19.4086997 2.64088225 0.52572002
31.714274 33.7500703 0.93069603 0.20955322 42.4357664 73.1037019
32.522766 34.6445798 121.290633 93.9372116 5.65124161 0.0652395
38.8241427 41.0720574 594.815098 600.575941 15.0222699 2.65019715
36.9064112 38.3497484 231.711603 260.129429 51.9323617 74.8181479
32.3243443 32.8860589 977.085529 1068.53683 105.5891 94.3606509
28.8162737 28.8712378 702.28982 793.802825 53.052669 52.2550024
24.7343114 24.3021262 251.004936 314.237974 1.06980015 0.36255593
14.1758312 12.8400819 80.5753989 125.503447 1.38257901 0.02557381
4.46111443 2.64932383 139.539201 201.584241 67.8792354 101.016091
1.10668842 -0.79940889 8.65476614 0.27865583 17.6962275 5.29271946
-17.820076 -19.5991213 47.855858 20.8945367 23.2331324 43.548402
-28.851175 -22.6227338 465.366822 371.642233 0.02285389 36.9331639
-28.851175 -29.9804447 875.245486 755.666355 113.397473 90.6219337
-37.0964295 -37.3459278 1239.02452 1120.58708 132.332135 126.654141
-42.4518726 -41.7898049 559.96071 501.217231 5.07093008 2.52747968
-45.5660891 -43.5287539 890.207007 873.334348 36.4080802 65.1450139
-44.6430932 -42.305905 48.9153793 50.5221488 200.027085 139.379393
-34.7354033 -32.5045795 34.4193552 54.4277915 0.01833405 4.39078722
-31.3203915 -29.364933 178.987721 133.450566 222.618082 168.089488
-12.2364137 -12.5881826 422.728026 300.984243 1.353933 0.65904747
8.31407165 4.62580057 1295.75824 999.75155 88.624745 32.7847922
Ahora construiremos las matrices para los polinomios:
Recuerda que la matriz se construye con las sumas de las xi con el valor de m=24= 24 datos.
Y para resolver el sistema usamos la inversa de la matriz por el vector (xiyi).
1.- Para el polinomio lineal:
-25.4
-3252.81
𝑃1 = −3.48476796(𝑥𝑖) + 32.5987172
a0 32.5987172
a1 -3.48476796
24 231.8
231.8 3101.84

2.- Para el polinomio cuadrático:
-25.4
-3252.81
-61473.399
𝑃2 = 0.06754607( 𝑥𝑖
2
) − 4.8298852( 𝑥𝑖) + 36.860429
2.- Para el polinomio cúbico:
-25.4
-3252.81
-61473.399
-1013715.08
𝑃3 = 0.11957121( 𝑥𝑖
3
) − 3.5152931( 𝑥𝑖
2
) + 23.156378( 𝑥𝑖) − 5.26589734
3.- Para el polinomio de cuarto grado:
-25.4
-3252.81
-61473.399
-1013715.08
-16344198.1
a0 -9.73331718
a1 28.1053167
a2 -4.64692569
a3 0.20756603
a4 -0.00218441
𝑃4 = −0.00218441( 𝑥𝑖
4
) + 0.20756603( 𝑥𝑖
3
) − 4.64692569( 𝑥𝑖
2
) + 28.1053167(𝑥𝑖) −
9.73331718
a0 36.860429
a1 -4.8298852
a2 0.06754607
24 231.8 3101.84
231.8 3101.84 47145.212
3101.84 47145.212 768326.145
a0 -5.26589734
a1 23.156378
a2 -3.5152931
a3 0.11957121
24 231.8 3101.84 47145.212
231.8 3101.84 47145.212 768326.145
3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1
47145.212 768326.145 13080405.1 229355837
24 231.8 3101.84 47145.212 768326.145
231.8 3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1
3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1 229355837
47145.212 768326.145 13080405.1 229355837 4107152968
768326.145 13080405.1 229355837 4107152968 7.4712E+10

¿Qué polinomio se ajusta mejor?
Como se aprecia en la gráfica, el que mejor se ajusta es el polinomio cúbico.

3 Diferenciación e integración numérica
3.1 Diferenciación numérica
La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la
determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función
de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha
función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos
discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es
decir, el cálculo no nos da una solución directa, por lo tanto, se debe recurrir a otro tipo de
análisis.
Para estimar los valores de derivadas es posible usar una tabla de diferencias divididas.
Recordemos que el polinomio de interpolación de grado n que se satisface en los puntos p0,
p1, ..., pn es, en términos de diferencias divididas.
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) +
⋯ + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛] ∏ (𝑥 − 𝑥𝑖) + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑛−1
𝑖=0
Si Pn(x) coincide bien con f(x), también se podría obtener un polinomio que aproxime a la
derivada, f’(x), diferenciando el polinomio Pn(x).
𝑑
𝑑𝑥
∏ (𝑥 − 𝑥𝑖) =𝑛−1
𝑖=0 ∑
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥 𝑛−1)
(𝑥−𝑥 𝑖)
= ∑ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)𝑛−1
𝑗=0
𝑗≠𝑖
𝑛−1
𝑖=0
𝑛−1
𝑖=0
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0, 𝑥1] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2][(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥0)] + ⋯ +
𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛] ∑ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)𝑛−1
𝑖=0
𝑗≠𝑖
𝑛−1
𝑖=0
Término del error.
Para obtener el término del error para P’n(x), se diferencia el término del error de Pn(x).
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = ( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) …( 𝑥 − 𝑥 𝑛)
𝑓
( 𝑛+1)
(𝜀)
( 𝑛+1)!
Cuando este término es diferenciado se obtiene el error de aproximación para f’(x), cuando
x=xi
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = [∏ ( 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)𝑛−1
𝑗=0
𝑗≠𝑖
]
𝑓
( 𝑛+1)
(𝜀)
( 𝑛+1)!
𝜀 𝑒𝑛[𝑥, 𝑥0, 𝑥 𝑛]

Datos uniformemente espaciados.
Cuando los datos están uniformemente espaciados, es posible usar una tabla de diferencias
de la función para obtener el polinomio de Newton-Gregory. Esto se escribe en términos de
𝑠 =
(𝑥−𝑥 𝑖)
ℎ
;
En esta fórmula i es el índice donde inicia la tabla de diferencias divididas. Para aproximar
la derivada:
(1)
Con estas fórmulas también se debe proporcionar el valor de i, el cual depende de la
ubicación del valor de x a derivar, buscando que éste quede al centro de los valores
empleados.
Fórmulas más simples
La ecuación anterior es tediosa de aplicar cuando se hacen cálculos manuales. Si se estipula
que el valor x debe estar en la tabla de diferencias, el cálculo se simplifica
considerablemente. Así, para una estimación de f’(xi) se obtiene:
(2)

Debido a que, en x= xi, s=0 y
1
𝑛!
∏ (𝑠 − 𝑗) =
(−1) 𝑛−1
𝑛
𝑛−1
𝑗=0
La fórmula de la derivada de la ecuación (2) se denomina aproximación de diferencias
progresivas, porque todas las diferencias implican valores f que en la tabla están delante
de fi.
Mediante un polinomio de grado 1
Con dos términos
En general, con n términos, el error es O(hn), también se puede estimar el tamaño del error
a partir de la regla del término siguiente.
Supóngase que se utiliza un polinomio de 2º grado que coincide con la tabla en xi, xi+1 y xi+2
pero evaluado para f’(xi+1) usando s = 1. La ecuación (1) se convierte en:
Al volver a escribir en términos de los valores f se tiene
La ecuación anterior se denomina fórmula de diferencias centrales porque el valor x está
centrado dentro del intervalo de valores x usados en su construcción.

Técnicas de extrapolación
Hay otra forma para mejorar la exactitud de las estimaciones de las derivadas a partir de
una tabla de valores uniformemente espaciados, Esta técnica es equivalente a usar fórmulas
basadas en polinomios de grado superior sin encontrar la fórmula explícitamente.
El cálculo es un caso de una regla general: dadas dos estimaciones de un valor que tiene
errores de O(hn), donde las h están en razón de 2 a 1, es posible extrapolar a una mejor
estimación del valor exacto como se muestra en seguida:
𝑀𝑒𝑗𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑚á𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 +
1
2 𝑛 − 1
(𝑚á𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜)
Extrapolaciones de Richardson
Esta misma técnica puede aplicarse cuando se quiere derivar numéricamente una función
conocida. En esta aplicación, denominada método de extrapolación de Richardson, es
posible hacer más pequeños los valores h, en vez de usar valores más grandes como se
requiere cuando la función sólo se conoce como una tabla.
Se empieza en algún valor elegido arbitrariamente de h y f’(x) se calcula a partir de
𝑓′(𝑥) =
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥−ℎ)
2ℎ
Luego se calcula un segundo valor para f’(x) con h a la mitad de grande. A partir de estos
dos cálculos se extrapola usando la ecuación de mejor estimación. Este valor mejorado
tiene un error de 0(h4). Normalmente se construye una tabla al continuar con
extrapolaciones de orden superior con el valor de h dividido a la mitad cada etapa.
Ejemplo.
El voltaje E(t) en un circuito eléctrico obedece a la ecuación 𝐸(𝑡) = 𝐿 (
𝑑𝐼
𝑑𝑡
) + 𝑅𝐼(𝑡)
Donde R es la resistencia, L es la ductancia e I es la intensidad de la corriente. Sean L=0.05
henrios, R=2 ohmios y los valores de la intensidad I(t) en amperios, se muestran en la
siguiente tabla.
 Determinar I’(t) y emplear este valor para determinar E (1.2).
 Comparar la respuesta con el resultado exacto a partir de 𝐼(𝑡) = 10𝑒
−𝑡
10 sin(2𝑡)

t I(t)
1 8.2277
1.1 7.2428
1.2 5.9908
1.3 4.526
1.4 2.9122
Lo primero que hacemos es observar los datos de la tabla, y nos percatamos que el dato
que deseamos estimar (1.2) se encuentra dentro de ella, cuando esto sucede sabemos que
podemos utilizar diferencias progresivas o centradas, así que, haremos las estimaciones por
estos dos métodos y calcularemos la derivada para obtener el valor exacto.
Lo primero a realizar será la tabla de diferencias, ya que la necesitamos para los primeros
dos métodos.
Para las primeras diferencias:
[𝐼0, 𝐼1] = 7.2428 − 8.2277 = −0.9849
[𝐼1, 𝐼2] = 5.9908 − 7.2428 = −1.252
Para las segundas diferencias:
[[𝐼1, 𝐼2] − [𝐼0, 𝐼1]] = −1.252 − (−0.9849) = −0.2671
Y así hasta llenar la tabla, que queda de la siguiente forma:
t I(t) ∆1 ∆2 ∆3 ∆4
1 8.2277 -0.9849 -0.2671 0.0543 0.0095
1.1 7.2428 -1.252 -0.2128 0.0638
1.2 5.9908 -1.4648 -0.149
1.3 4.526 -1.6138
1.4 2.9122
Utilizaremos h=0.1 porque es la distancia que hay entre cada t.
Para el polinomio de grado dos por el método de diferencias progresivas haremos lo
siguiente:
𝑃′
2(1.2) =
1
0.1
[−1.4648 − (
−0.149
2
)] = −13.903
Para el polinomio de grado dos por el método de diferencias centradas:

𝑃′
2(1.2) =
1
2(0.1)
[4.526 − 7.2428] = −13.584
Ahora calcularemos la derivada de la función y evaluaremos con t=1.2
𝐼′( 𝑡) = 𝑒
−𝑡
10(−𝑡 sin(2𝑡) + 20 cos(2𝑡)) = −13.67927322
Para E(t) en el caso de diferencias progresivas:
E(t)= 0.5(-13.903) +2(5.9908) =11.28645
A continuación, se muestra la tabla de resultados obtenidos
I'(t) error E(t) error
Dif.progresiva -13.903 0.22372678 11.28645 0.011186339
Dif.centrada -13.584 -0.09527322 11.3024 -0.004763661
Valor exacto -13.67927322 11.2976363
El error lo obtenemos al hacer la diferencia entre el valor exacto y cada método.
Hemos obtenido buenas aproximaciones, pero podemos notar que el error es mucho más
pequeño por el método de diferencias centradas, eso indica que nos da una mejor
aproximación.
Ejemplo. Sea la función 4 ln 𝑥 +
cos(𝑥−3)
√1+𝑥2
Estimar la derivada para x=1.5 con h =0.1,0.05 y 0.025 empleando las fórmulas de
segundo grado progresiva y centrada.
Tabular la función en el intervalo [0.5,2.3] con intervalos de 0.1 y estimar la derivada en
cada punto; para [0.6, 2.2] con diferencias centradas.
Para x=2.3 deducir la fórmula de derivación a partir de la fórmula regresiva de Newton.
Utilizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo pasado para calcular por diferencias
progresivas y centrales.
Utilizamos polinomios de grado dos en ambos casos para comparar.

Los datos tabulados:
Para las estimaciones de la primera derivada de los datos a tabular primero evaluaremos
cada punto en la función y después obtendremos el valor de la derivada, lo hacemos para
cada uno de los puntos, por diferencias centradas:
𝑃′
2(0.6) =
1
2(0.1)
[−1.54452443 − (−2.10285899)] = 2.79167284
𝑃′
2(0.7) =
1
2(0.1)
[−1.17360153 − (−1.85829139)] = 3.4234493
x f(x) ∆1 ∆2 h f'(x)
1.4 1.867272647 0.60475594 0.0213211 6.16218684 D.Prog
1.5 2.472028588 0.62607704 0.01971672 0.1 6.15416493 D.Centrada
1.6 3.098105633 0.64579376
1.7 3.743899397
x f(x) ∆1 ∆2 h f'(x)
1.45 2.166874536 0.30515405 0.00532572 6.15842046 D.Prog
1.5 2.472028588 0.31047977 0.0051175 0.05 6.15633825 D.Centrada
1.55 2.782508361 0.31559727
1.6 3.098105633
x f(x) ∆1 ∆2 h f'(x)
1.475 2.318772147 0.15325644 0.00133115 6.15741156 D.Prog
1.5 2.472028588 0.15458759 0.0013046 0.025 6.15688059 D.Centrada
1.525 2.626616176 0.15589218
1.55 2.782508361
x f(x) f'(x)
0.5 -2.10285899
0.6 -1.85829139 2.79167284
0.7 -1.54452443 3.4234493
0.8 -1.17360153 3.94988708
0.9 -0.75454701 4.3967064
1 -0.29426025 4.78221853
1.1 0.201896695 5.11976243
1.2 0.729692236 5.41919803
1.3 1.285736301 5.68790206

Deducción de la fórmula a través de Newton Regresivo para x=2.3
Lo que haremos primero será derivar el polinomio de Newton Regresivo
𝑃′
𝑛(𝑥) = ∇𝑓(𝑥 𝑛) + (2𝑠 + 1)∇2 𝑓(𝑥 𝑛)
2!
+ (3𝑠2
+ 6𝑠 + 2)
∇3 𝑓(𝑥 𝑛)
3!
+ (𝑛𝑠 + (𝑛 − 1)𝑠 +
(𝑛 − 2)𝑠 + ⋯ + 1)
∇ 𝑛 𝑓(𝑥 𝑛)
𝑛!
Haciendo x=xi s=(x-xn)/h ds/dx= 1/h s=0
𝑃′
𝑛(𝑥𝑖) =
1
ℎ
[∇𝑓𝑖 +
1
2
∇2
𝑓𝑖 +
1
3
∇3
𝑓𝑖 + ⋯ +
1
𝑛
∇ 𝑛
𝑓𝑖]
Ahora calcularemos la derivada para x=2.3 a través de la fórmula deducida
Primero hacemos la tabla de diferencias, ya que es necesaria para los cálculos
Una vez obtenida la tabla, procedemos a calcular el polinomio de aproximación
𝑃′(𝑥) =
1
0.1
[0.74100242 +
1
2
(0.01380306) +
1
3
(−0.00067959)] = 7.47677423
En este caso sólo lo hicimos hasta de tercer grado, es claro que si utilizamos más
diferencias, la aproximación será mucho mejor.
1.4 1.867272647 5.93146144
1.5 2.472028588 6.15416493
1.6 3.098105633 6.35935404
1.7 3.743899397 6.54967418
1.8 4.408040469 6.72725457
1.9 5.08935031 6.89383756
2 5.786807981 7.05087192
2.1 6.499524695 7.19958039
2.2 7.226724059 7.34100894
2.3 7.967726482

Ejemplo. Extrapolación de Richardson
Sea f(x)= sen(x) cos (x) aproximar su primera y segunda derivada en el punto 3.2 con un
tamaño de paso h=0.05, 0.1, 0.2, 0.4.
Empezaremos creando la tabla con los valores de x y f(x) de acuerdo al tamaño de paso.
x f(x) h
3.15 0.00840695 0.05
3.2 0.0582746
3.25 0.10755999
x f(x) h
3.1 -0.0415447 0.1
3.2 0.0582746
3.3 0.15577068
x f(x) h
3 -0.13970775 0.2
3.2 0.0582746
3.4 0.24705668
x f(x) h
2.8 -0.31563332 0.4
3.2 0.0582746
3.6 0.39683393

A continuación, haremos el cálculo de la primera y segunda derivada para h=0.05, lo
mismo se hace para las demás h’s
𝑓′(3.2) =
0.10755999−0.00840695
(2∗0.05)
= 0.991530438
Para la segunda derivada en h=0.05
𝑓′′(3.2) =
0.10755999−2(0.0582746)+0.00840695
(0.05)2
= −0.232904226
x f(x) f'(3.2) f''(3.2)
3.15 0.00840695
3.2 0.058274602 0.99153044 -0.23290423
3.25 0.107559994
x f(x) f'(3.2) f''(3.2)
3.1 -0.0415447
3.2 0.058274602 0.98657692 -0.23232245
3.3 0.155770682
x f(x) f'(3.2) f''(3.2)
3 -0.13970775
3.2 0.058274602 0.96691106 -0.23000696
3.4 0.247056676
x f(x) f'(3.2) f''(3.2)
2.8 -0.31563332
3.2 0.058274602 0.89058406 -0.2209287
3.6 0.396833932
Recuerda que el método de Richardson puede aplicarse cuando se quiere derivar una
función conocida
Procedemos a hacer las extrapolaciones para cada derivada.
Primera extrapolación para la primera derivada:
𝑓′(3.2) =
0.99153044+(0.99153044−0.98657692)
22−1
= 0.993181612
𝑓′(3.2) =
0.98657692+(0.98657692−0.96691106)
22−1
= 0.993132201
𝑓′(3.2) =
0.96691106+(0.96691106−0.89058406)
22−1
= 0.992353394

Con estos nuevos valores podemos hacer una segunda extrapolación, a continuación, la
segunda extrapolación para la primera derivada:
𝑓′(3.2) =
0.993181612 +(0.993181612 −0.993132201)
24−1
= 0.993184906
𝑓′(3.2) =
0.993132201 +(0.993132201 −0.992353394)
24−1
= 0.993184121
Para la segunda derivada se sigue el mismo proceso.
Primera derivada Segunda derivada
1a extrap 2a extrap 1a extrap 2a extrap
0.993181612 0.99318491 -0.23309815 -0.23309841
0.993132201 0.99318412 -0.23309428 -0.23309836
0.992353394 -0.23303305
Los valores exactos en el punto son los siguientes:
f (3.2) = sen(x) cos(x)=0.0582746
f’ (3.2) = cos (2x) =0.993184919
f’’ (3.2) =-2 sen (2x) =-0.23309841
Como se puede observar los valores obtenidos a través de Richardson son una muy buena
aproximación.

3.2 Reglas de integración (Newton-Cotes)
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para integración numérica es
semejante a la de la derivación numérica. Se hace pasar un polinomio por puntos definidos
por la función y luego se integra esta aproximación polinomial de la función. Esto permite
integrar una función conocida sólo como una tabla de valores. Cuando los valores son
equidistantes, un punto inicial conveniente lo constituye el conocido polinomio hacia
delante de Newton Gregory, de modo que
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑃𝑛(𝑥 𝑠)𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
(1)
La fórmula que de aquí se obtenga puede no ser muy exacta porque el polinomio no es
idéntico a f(x). La expresión correspondiente al término del error para la fórmula de
integración es:
Existen varias maneras de emplear la fórmula (1). El intervalo de integración (a, b) puede
coincidir con el rango de ajuste del polinomio, (x0, xn). En este caso se obtienen las fórmulas
de Newton-Cotes, se trata de un conjunto de reglas de integración correspondientes a los
grados variables del polinomio de interpolación. Las tres primeras, con el grado del
polinomio igual a 1, 2 o 3, son particularmente importantes.
Si el grado del polinomio es de orden superior, los errores de redondeo e irregularidades
locales pueden causar problemas, por lo cual solo se utilizan las fórmulas de grados
menores.
La utilidad de la integración numérica rebasa la necesidad de integrar una función conocida
como tabla de valores. La integración numérica es válida, sin importar la complejidad del
integrando o la existencia de una forma cerrada para la integral.
Fórmulas de Newton Cotes
Se obtendrán las tres importantes fórmulas de Newton-Cotes. Durante la integración es
necesario cambiar la variable de integración de x a s, ya que los polinomios de Newton
Gregory están expresados en términos de 𝑠 =
𝑥−𝑥0
ℎ
. Observe que dx= h ds.
Para n=1

Para n=2
De manera semejante, para n=3, se encuentra

Regla del trapecio
Corresponde al caso donde , es decir:
donde es un polinomio de grado 1.
En el gráfico trazamos la recta que une los puntos: (a, f(a)) y (b, f(b)) obteniendo un
trapecio cuya superficie será, aproximadamente, el valor de la integral I.
Así tendremos:
conocida como Regla del Trapecio.
Es de apreciar que el error que se llega a cometer con esta forma de aplicación puede
ser significativo. Una mejor aproximación se obtiene dividiendo el intervalo de
integración en subintervalos y aplicando en cada uno de ellos la regla trapecial. A este
procedimiento se lo conoce como Regla Trapecial Compuesta.

Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula.
El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta.
La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo , que es
precisamente el área del trapecio que se forma.
La regla del trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo en
subintervalos, todos de la misma longitud .
Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando
propiedades de la integral tenemos que:
Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:
Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:

Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma, tenemos finalmente:
Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Cuantos más subintervalos se usen,
mejor será la aproximación a la integral, hasta que la importancia de los errores por
redondeo comience a tomar relevancia.
Regla de Simpson 1/3
La fórmula de 2º grado de Newton – Cotes integra un polinomio cuadrático sobre dos
intervalos del mismo ancho (a estos intervalos se les suele llamar paneles). A
continuación, se construirá la regla compuesta de la ecuación.
La fórmula compuesta que se aplica a una subdivisión del intervalo de integración en n
paneles (con n par) es:
La regla de Simpson 1/3 también se puede aplicar a valores tabulados (cuando no se conoce
la función). Si el número de intervalos de la tabla no fuera par, se puede hacer un
subintervalo en el intervalo final o algún otro y aplicar la regla del trapecio y el resto con la

Regla de Simpson. Para la regla del trapecio, lo mejor es buscar la parte en la que la función
es más lineal
Regla de Simpson 3/8
En una manera similar a la derivación de la Regla Trapezoidal y Regla de Simpson 1/3, un
polinomio de LaGrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse:
Para obtener:
Donde Esta ecuación se llama Regla e Simpson de 3/8 debido a
que h se multiplica por 3/8.
NOTE QUE x1 Y x2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTES IGUALES EL INTERVALO
[a, b]
Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La Regla de Simpson
3/8 se puede expresar también de la forma:

Ilustración de cómo se puede usar en conjunto las Reglas
de Simpson de 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones
múltiples con números nones de intervalos.
La Regla de Simpson 3/8 es menos eficiente que Simpson
1/3. Sin embargo, se emplea cuando se tienen una tabla de
valores con n impar, ya que se combinan las dos reglas.
Ejemplo.
El cuerpo de revolución que se muestra en la figura, se obtiene de girar la curva dada por
𝑦 = 1 + (
𝑥
2
)
2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
En torno al eje x. Calcular el volumen
𝑓(𝑥) = 𝜋 (1 + (
𝑥
2
)
2
)
2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Como es una función conocida, primero haremos la aproximación por la integral en el
intervalo [0, 2].
∫ 𝜋 (1 +
𝑥2
2
+
𝑥4
16
) 𝑑𝑥
2
0
= 𝜋 [𝑥 +
𝑥3
6
+
𝑥5
80
] 2
0
𝑣 = 𝜋 [2 +
8
6
+
2
5
] = 3.73333𝜋 𝑢3
Integrando por Simpson 1/3
𝐼 =
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑎 = 0 𝑏 = 2 𝑛 = 2 ∴ ℎ = 1
𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑓0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(0) = 𝜋
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 1 = 1
𝑓1 = 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(1) = 1.5625𝜋
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 1 + 1 = 2
𝑓2 = 𝑓(𝑥1 + ℎ) = 𝑓(𝑥2) = 𝑓(2) = 4𝜋
Reemplazando en la fórmula:
𝐼 =
1
3
[𝜋 + 4(1.5625𝜋) + 4𝜋] = 3.75𝜋
Integrando por Simpson 3/8
𝐼 =
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑎 = 0 𝑏 = 2 𝑛 = 3 ∴ ℎ =
2
3
𝑥0 = 𝑎 = 0
𝑓0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(0) = 𝜋
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 +
2
3
=
2
3
𝑓1 = 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥1) = 𝑓 (
2
3
) = 1.234568𝜋
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ =
2
3
+
2
3
=
4
3
𝑓2 = 𝑓(𝑥1 + ℎ) = 𝑓(𝑥2) = 𝑓 (
4
3
) = 2.08642𝜋
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ =
4
3
+
2
3
=
6
3
= 2
𝑓3 = 𝑓(𝑥2 + ℎ) = 𝑓(𝑥3) = 𝑓(2) = 4𝜋
Reemplazando en la fórmula:
𝐼 =
1
4
[𝜋 + 3(1.234568𝜋) + 3(2.08642𝜋) + 4𝜋] = 3.740741𝜋

Referencias
Análisis Numérico con aplicaciones 6ª edición, Gerald Curtis F.,Patrick O. Wheatley
http://cb.mty.itesm.mx/materias/ma4011/materiales/a130-18.pdf
https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-3/newton-raphson-modificado
http://www.esacademic.com/dic.nsf/eswiki/1376488#Descripci.C3.B3n_del_m.C3.A9todo
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/men_udea/pluginfile.php/25793/mod_resource/content/
0/Integracion_numerica/integracion_NUMERICA1.pdf
http://www.ing.unne.edu.ar/assets/pdf/academica/departamentos/computacion/comp/IN.pdf
www.cs.buap.mx/~andrex/numerico/integracionnumerica.pptx

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