Este documento describe varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo, el método de Newton, y los métodos cuasi-Newton como el método de Broyden. Explica los algoritmos de cada método, cómo calcular el jacobiano, y provee ejemplos numéricos para ilustrar su implementación.

1. Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

2. Contenido Planteamiento del problema Método de Punto Fijo Método de Newton Variantes del método de Newton Evaluación diferida del jacobiano Aproximación por diferencias finitas Newton unidimensional Métodos cuasi-Newton (Broyden)

3. Notación Escalar Vectorial

4. Resolución iterativa x (0) estimación inicial de la solución Iteraciones: x (1) , x (2) , …, x (k) Criterio de convergencia | x (k+1)  x (k) | < tol Criterio de parada k > maxiter

5. Esquema del algoritmo Entrada: f, x 0 , tol, maxiter Proceso Inicializar incr, iter Mientras incr > tol & iter < maxiter Obtener x incr = norm(x  x 0 ) Actualizar x 0 , iter Salida: x, iter, incr Si incr > tol no converge

6. Método de Punto Fijo Punto fijo Estimación inicial Iteraciones Criterio de parada

7. Algoritmo de Punto Fijo function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol + 1; while incr > tol & iter < maxiter x = feval(g,x0); incr = norm(x - x0); iter = iter + 1; x0 = x; end if incr > tol, disp(‘No converge’), end

8. Ejemplo Sistema no lineal Problema de Punto Fijo

9. Punto Fijo con desplazamientos simultáneos Punto Fijo con desplazamientos sucesivos

10. Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos simultáneos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;

11. Ejemplo 1: Desp. simultáneos

12. Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos sucesivos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;

13. Ejemplo 1: Desp. sucesivos

14. Método de Newton Sistema de ecuaciones Aproximación por el plano tangente Paso de Newton

15. Algoritmo de Newton function [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol+1; while incr > tol & iter < maxiter [fx,dfx] = feval(f,x); delta = - dfx \ fx; incr = norm(delta); iter = iter+1; x = x + delta; end if incr>tol, disp(‘No converge’), end El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano

16. Método de Newton. Ejemplo 2 Sistema Estimación inicial Primera iteración

17. Resultados Newton Ejemplo 2

18. Método de Newton. Ejemplo 3 Sistema no lineal Jacobiana

19. Resultados Newton. Ejemplo 3

20. Variantes de Newton (Ejercicio...) Actualización periódica del Jacobiano Aproximación del Jacobiano por diferencias divididas Newton con desplazamiento unidimensional

21. Métodos casi-Newton Idea de la secante No usa las derivadas parciales Convergencia superlineal Formulación matricial

22. Método de Broyden Iterar siendo

23. Actualización de la inversa

24. Algoritmo de Broyden Entrada x 0 ,tol, maxiter Inicio M: Inversa del Jacobiano en x 0 x 1 = x 0  M*F(x 0 ) incr, iter Iteraciones: k = 1, 2, ... Actualizar M % A k-1 -1  A k -1 x k+1 = x k  M*F(x k )

25. Actualización de M w = v; % F(x k  1 ) v = F(x); % F del iterado actual y = v  w; % F(x k )  F(x k  1 ) z =  M*y; %  A k  1 -1 * y k p =  s' *z; % (s k - x k-1 ) T * A k  1 -1 * y k q = s' *M; % s k T * A k  1 -1 R = (s+z)*q/p; % Transformación rango 1 M = M+R; % Inversa nueva: A k -1 s =  M*v; % Paso de Broyden: s k+1

26. Algoritmo de Broyden % Inicio v = F(x 0 ) M = inv(DF(x 0 )) % Inversa Jacobiano s =  M*v; x = x 0 +s; % Paso de Newton incr = norm(s); while incr > tol w = v; % F(x(k  1)) v = F(x); y = v  w; % F(x(k))  F(x(k  1)) z =  M*y; %  inv(A(k  1))*y(k) p =  s' *z; q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k  1) R = (s+z)*q/p; M = M+R; % inversa de A(k) s =  M*v; x = x+s; % Paso de Broyden incr = norm(s); end

27. Resultados de Broyden. Ejemplo 3

28. Alternativas al primer paso Estimar el Jacobiano por diferencias divididas Estimación unidimensional del Jacobiano

29. F i n