Propiedades y sus relaciones: Reflexiva, Irreflexiva, Simetrica, Asimetrica, Antisimetrica, Transitiva

1. Propiedades
de relaciones.
Rawel Luciano 16-0511

2. Relación Reflexiva.
 una relación R es un conjunto
F es REFLEXIVA si (f,f) R
para todas las f F, esto es,
si f R f para todas las f  F.
 Por tanto, R es reflexiva si
cada elemento f  F está
relacionado consigo mismo.
 Si R es reflexiva en un
conjunto F, entonces
Dom(R)= Cod(R) = F

3. Relación Irreflexiva.
 Una relación R es un
conjunto F es
irreflexiva si
f R f para todas las f 
F.
 Por tanto, R es
irreflexiva si ningún
elemento está
relacionado consigo
mismo.

4. Ejemplos

5. Es posible caracterizar una relación reflexiva o
irreflexiva por su matriz como sigue.
La matriz de una relación reflexiva deberá
tener unos en toda su diagonal principal.
La matriz de una relación irreflexiva deberá
tener ceros en toda su diagonal principal.

6. Otras formas
Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su grafo
dirigido como sigue.
Una relación reflexiva tiene un ciclo de longitud 1 en cada vértice.
Una relación irreflexiva no tendrá ciclos de longitud 1.

7. RELACIÓN SIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es SIMÉTRICA si
cuando a R b, entonces
b R a.
De esto se sigue que R no es simétrica si se
tiene a y b  A con a R b, pero b R a.

8. RELACIÓN ASIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es ASIMÉTRICA si
cuando a R b, entonces
b R a.
De esto se sigue que R no es asimétrica si se
tiene a y b  A con ambos a R b y b R a.

9. Ejemplos
Sea A = {1,2,3,4} y
sea R = {(1,2), (2,2), (3,4),
(4,1)}
R no es simétrica, ya que
(1,2)  R pero
(2,1)  R.
R no es asimétrica, ya que
(2,2)  R.

10. RELACIÓN
ANTISIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es ANTISIMÉTRICA si cuando a R b y b
R a, entonces a=b.
Esto es, R es ANTISIMÉTRICA si cuando ab, se tiene a R b ó
b R a.
De esto se tiene que R no es antisimétrica si se tiene a y b en A,
ab, y ambas a R b y b R a.

11. Ejemplos
Sea A = {1,2,3,4} y
sea R = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)}
R no es simétrica, ya que (1,2)  R
pero
(2,1)  R.
R no es asimétrica, ya que (2,2)  R.
R es antisimétrica ya que,
a  b, (a,b)  R ó (b,a)  R.

12. Sea A = Z
sea R = {(a,b)  A x A | a<b}
Simetría: Si a<b, entonces no es verdadero b<a, por
lo cual R no es simétrica.
Asimetría: Si a<b, entonces b<a (b no es menor que
a), por lo cual R es asimétrica.
Antisimétrica: a  b, entonces a<b o b<a, por
lo cual R es antisimétrica.
Ejemplos

13. Sea A = Z+
sea R = {(a,b)  A x A | a divide b}
Simetría: Si a|b, no se sigue que b|a, por lo cual R no es
simétrica.
Asimetría: Si a=b=3, por ejemplo, entonces a R b y b
R a, por lo cual R no es asimétrica.
Antisimétrica: Si a|b y b|a, entonces a=b,
por lo cual R es antisimétrica.
Ejemplos

14. RELACIÓN TRANSITIVA
Una relación R es un conjunto A es transitiva si cuando a R
b y b R c, entonces a R c.
Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se pueden
encontrar elementos a, b y c en A, tal que a R b y b R c, pero
a R c.