Este documento describe las integrales impropias. Existen dos tipos de integrales impropias: 1) aquellas con límites de integración infinitos y 2) aquellas con discontinuidades infinitas dentro del intervalo de integración. Para determinar el valor de una integral impropia, se calcula el límite del integrando cuando el límite tiende a infinito o la discontinuidad. Si el límite es finito, la integral converge; de lo contrario, diverge.

1. INTEGRALES IMPROPIAS
...debe haber propias

2. Integrales Propias
• El intervalo o dominio de integración [a, b]
sea finito.
• El rango de integración sea finito en ese
intervalo de integración.

3. Integrales Impropias
x
y
x
exy −
= 4
∫
∞
−
0
4 dxex x
Intervalo de integración infinito

4. Integrales Impropias
xy /1=
x
y
∫
1
0
1
dx
x
f tiene una discontinuidad infinita en [a,b]

5. Límites de integración infinitos

6. 1.Determinar la primitiva de
2. Determinar la integral definida
3.Después determinamos el límite cuando
b→ ∞
∫
∞
−
0
4 dxex x
x
exy −
= 4
=∫
−
dxex x
4
∫
−
b
x
dxex
0
4
[ ]xx
eex −−
−−4
=∫
−
b
x
dxex
0
4 4]1[4 ++− −
be b
{ } 44]1[4lim =++− −
∞→
be b
b

7. Integrales Impropias del tipo I
1.Si f(x) es continua en [a,∞) entonces:
2. Si f(x) es continua en (-∞, b] entonces:
∫∫ ∞→
∞
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫ −∞→
∞−
=
b
a
a
b
dxxfdxxf )(lim)(

8. Integrales Impropias del tipo I
3.Si f(x) es continua en (-∞, ∞) entonces:
∫∫∫ ∞→−∞→
∞
∞−
+=
b
c
b
c
a
a
dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(
en donde c es cualquier número real.

9. Convergencia y divergencia
En cada caso:
Si el límite es finito decimos que la integral
impropia converge y que el límite es el
valor de la integral impropia.
Si el límite no existe, la integral impropia
diverge.

10. Ejemplos
Determinar la convergencia de las
siguientes integrales impropias.
∫
∞
∞− +
dx
x2
1
1
∫
∞
1
1
dx
x p
a.
b.

11. Límites de integración infinitos

12. Integrando con asíntotas verticales
Otro tipo de integrales impropias se
presenta cuando el integrando tiene una
asíntota vertical-una discontinuidad infinita-
en un límite de integración o en algún punto
entre los límites de integración.

13. Integrales Impropias del tipo II
1.Si f(x) es continua en (a,b] entonces:
2. Si f(x) es continua en [a,b) entonces:
∫∫ +
→
=
b
c
ac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫ −
→
=
c
a
bc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(

14. Integrales Impropias del tipo II
3.Si f(x) es discontinua en c, donde a<c<b, y
continua en [a,c) (c, b] entonces:
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

15. Convergencia y divergencia
En cada caso:
Si el límite es finito decimos que la integral
impropia converge y que el límite es el
valor de la integral impropia.
Si el límite no existe, la integral impropia
diverge.

16. Convergencia y divergencia
En el caso 3 de la definición, la integral del
lado izquierdo de la ecuación converge si
ambas integrales del lado derecho
convergen, de otra forma, diverge.
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

17. Ejemplos
Determinar la convergencia de las
siguientes integrales impropias.
∫ −
1
0
1
1
dx
x
( )∫ −
1
0 3
2
1
1
dx
x
a.
b.