Este documento describe diferentes tipos de ángulos y su relación con los arcos de una circunferencia. Explica que un ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca, mientras que un ángulo inscrito mide la mitad del arco. También indica que un ángulo interno mide la media de los arcos interceptados por él y su opuesto, y que un ángulo exterior mide la semidiferencia entre los arcos interceptados por sus lados. El documento contiene ejemplos para ilustrar estas relaciones.

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MATEMÁTICAS 2º ESO
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
A1 ÁNGULOS, CLASIFICACIÓN Y RELACIONES
Ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que concurren
en el mismo punto inicial.
Nota: Dos semirrectas con el mismo punto inicial dan lugar en realidad a dos
ángulos distintos. Para indicar a cual de ellos nos referimos utilizamos un arco
de circunferencia
La medida de un ángulo es un número que indica la amplitud del giro que
lleva uno de los lados del ángulo sobre el otro lado. La unidad de medida es el
grado.
Los dos ángulos de la izquierda miden los
mismo, pues las semirrectas que los forman
son paralelas.
Un ángulo mide 1 grado si representa la 360ava parte de una circunferencia.
Para medir ángulos en la práctica utilizamos el transportador, que es una
semicircunferencia graduada que situamos sobre el ángulo.
En clase utilizaremos (mentalemente) la circunferencia goniométrica, que es
una circunferencia graduada sobre la que transportaremos los ángulos

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Ejemplo 1: ¿Cuántos grados mide un ángulo que ocupa las dos terceras partes
de la circunferencia?
2
3
. 360° =
2.360°
3
= 2.120° = 𝟐𝟒𝟎°
Ejemplo 2: ¿Qué fracción de la circunferencia representa un ángulo de 135º?
135
360
=
27
72
=
𝟑
𝟖
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según el ángulo recto
Agudos
Menores de 90º
Rectos
De 90º
Obtusos
Mayores de 120º
Según el ángulo llano
Convexos Llanos Cóncavos
Menores de 180º De 180º Mayores de 180º
RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS
Dos ángulos son complementarios si suman 90º
Dos ángulos son suplementarios si suman 180º
En cuanto a su posición en el plano
consecutivos
un lado en común
Adyacentes
consecutivos y
suplementarios
Opuestos
Vértice común. Los lados
de uno son la prolongación
de los del otro

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A2 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y SU RELACIÓN CON ARCOS
1. Ángulo central es aquel que tiene su vértice sobre el centro de una
circunferencia.
La medida del ángulo central AOB coincide con la del arco AB que abarca.
Nota: No hay que
confundir la medida de
un arco AB (en grados)
con la longitud del mismo
arco AB (en cm u otras
unidades de longitud)
𝒂 = 𝑨𝑩
2. Ángulo inscrito es aquel que:
1) Tiene su vértice sobre la circunferencia.
2) Sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia
El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que abarca.
Dos lados secantes
𝒂 =
𝑨𝑩
𝟐
Un lado secante
Un lado tangente
B = C
Dos lados tangentes
A=B=C
a = 180º, AB=360º

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Ejemplos:
 ¿Cuánto mide el ángulo  sombreado en
la figura?
Los puntos dividen la circunferencia en 6
arcos iguales, por lo que cada uno de ellos
mide 360º : 6 = 60º
El ángulo  es inscrito, por tanto:
𝜶 =
𝐴𝐵
2
=
60°
2
= 𝟑𝟎°
 ¿Cuánto miden el arco IH que abarca el
ángulo de la figura?
El ángulo 𝐽̂ es inscrito así que 𝐽̂ =
𝐼𝐻
2
Entonces 𝐼𝐻 = 2𝐽̂, es decir 𝑰𝑯 = 2.33° = 𝟔𝟔°
3. Ángulo interno es aquel que tiene su centro en el interior de la
circunferencia.
Observa que el opuesto de un ángulo interno es otro ángulo interno que:
a) Tiene la misma medida, por ser opuesto
b) Posiblemente abarca un arco de medida distinta.
El ángulo interno mide la media (o semisuma) de los arcos que abarcan él
y su opuesto.
ángulo interno Ángulo interno y su opuesto
𝒂 =
𝑨𝑩 + 𝑨′𝑩′
𝟐
Nota: un ángulo central es un tipo especial de ángulo interno.

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4. Ángulo exterior es aquel que:
1) Tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
2) Sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia
El ángulo exterior mide la semidiferencia de los dos arcos que intercepta.
Dos lados secantes
𝒂 =
𝑨𝑩 − 𝑪𝑫
𝟐
Un lado secante
Un lado tangente
Dos lados tangentes
Nota que AB+BA=360º