El documento describe dos métodos para simular una variable normal: 1) El método directo de transformación de Box-Müller que involucra funciones trigonométricas y 2) El método de convolución que implica el teorema del límite central y suma variables aleatorias uniformes para aproximar una normal. Ambos métodos generan valores estándar normales que luego pueden transformarse a cualquier otra distribución normal especificando la media y desviación estándar deseadas.

1. lNORMAL
La densidad de probabilidades Normal es la más utilizada de las
distribuciones de probabilidad y aparece en muy diversas situaciones: como
la distribución natural de un fenómeno (tiempo de ejecución humana de
tareas repetitivas), como límite tanto de distribuciones discretas como
continuas (Binomial, Poisson, Gamma, etc), típica del área del control
estadístico de la calidad, en el muestreo del trabajo y de cualquier otra cosa,
y en las áreas humanísticas, de la salud, sociales y sicológicas . Su regla es:
para todo x real
Dos maneras de simular una variable Normal son:
1) Método directo (transformación de Box-Müller): por lo que puede
derivarse de relaciones trigonométricas en un triángulo recto.
2) Convolución: implicación del teorema del Límite Central.
Las variables Z1 y Z2 son Normales
independientes, por lo que al ubicar el punto
(Z1, Z2) el ángulo θ y la longitud h son también
aleatorios.
Según Pitágoras: h2 = Z1
2 + Z2
2 y, según la teoría de la Probabilidad, se
distribuye como variable Chi-Cuadrada con 2 grados de libertad.
También se sabe (ver la distribución Gamma en Densidades de
Probabilidad.pdf) que una Chi-Cuadrada con 2 grados de libertad es
una Exponencial con media 2 y, como ya hemos visto en este curso, un
simulador de una Exponencial con media 2 es -2ln(r).
Z1
Z2
θ
0
h
El ángulo θ debe estar uniformemente distribuido entre 0 y 2π, por lo
que su simulador es 2πr. (¡aguas, aguas! Aquí r no es el radio, sino un
seudoaleatorio.)
De la figura, es conocido que:
Y, por lo tanto, son simuladores de ambas variables Normales
estándar:
s Método directo
Las variables Z1 y Z2 son Normales
independientes, por lo que al ubicar el punto
(Z1, Z2) el ángulo θ y la longitud h son también
aleatorios.
Según Pitágoras: h2 = Z1
2 + Z2
2 y, según la teoría de la Probabilidad, se
distribuye como variable Chi-Cuadrada con 2 grados de libertad.
También se sabe (ver la distribución Gamma en Densidades de
Probabilidad.pdf) que una Chi-Cuadrada con 2 grados de libertad es
una Exponencial con media 2 y, como ya hemos visto en este curso, un
simulador de una Exponencial con media 2 es -2ln(r).
Z1
Z2
θ
0
h
El ángulo θ debe estar uniformemente distribuido entre 0 y 2π, por lo
que su simulador es 2πr. (¡aguas, aguas! Aquí r no es el radio, sino un
seudoaleatorio.)
De la figura, es conocido que:
Y, por lo tanto, son simuladores de ambas variables Normales
estándar:
Z2 = h sen θ
Z1 = h cos θ
El ángulo θ debe estar uniformemente distribuido entre 0 y 2π, por lo
que su simulador es 2πr. (¡aguas, aguas! Aquí r no es el radio, sino un
seudoaleatorio.)
De la figura, es conocido que:
Y, por lo tanto, son simuladores de ambas variables Normales
estándar:

2. Y, por lo tanto, son simuladores de ambas variables Normales
estándar:
Finalmente, si X ∼ N(µ, σ) su estandarización (X - µ) / σ es una Normal
Estándar. Así:
Desde luego, otro simulador es con la función coseno en vez de seno.
Sean:
Xj → Variables independientes uniformemente distribuidas
entre cero y uno (j = 1, 2, ..., n);
Y = X1 + X2 + ... + Xn
Por el Teorema del Límite Central la variable Y debe ser aproximadamente
Normal con media n/2 y varianza n/12, a medida que n aumenta.
Para n = 12, la variable Y debe ser más o menos Normal con promedio 6 y
desviación estándar 1, y en consecuencia, Y-6 es Normal estándar.
Finalmente, si X ∼ N(µ, σ) su estandarización (X - µ) / σ es una Normal
Estándar. Así, otro simulador de X es:
La variable Y es simulada por r1 + r2 + ... + rn
s Por Convolución
X = µ + (Y-6)σ
O sea:
Sean:
Xj → Variables independientes uniformemente distribuidas
entre cero y uno (j = 1, 2, ..., n);
Y = X1 + X2 + ... + Xn
Por el Teorema del Límite Central la variable Y debe ser aproximadamente
Normal con media n/2 y varianza n/12, a medida que n aumenta.
Para n = 12, la variable Y debe ser más o menos Normal con promedio 6 y
desviación estándar 1, y en consecuencia, Y-6 es Normal estándar.
Finalmente, si X ∼ N(µ, σ) su estandarización (X - µ) / σ es una Normal
Estándar. Así, otro simulador de X es:
La variable Y es simulada por r1 + r2 + ... + rn