1) Un número complejo es un par ordenado de números reales que puede representarse como z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. 2) Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones que involucran raíces de números negativos y pueden representarse gráficamente en un plano cartesiano. 3) Existen cuatro formas de expresar un número complejo: rectangular, polar, de Euler y trigonométrica.

1. NÚMEROS COMPLEJOS
Definición.- Un número complejo es un par ordenado de números reales. Un
complejo se denota así:
ℂ = {(a, b): a, b ∈ ℝ} igualmente: z = a + bj (ingeniería eléctrica)
z = a + bi (matemática pura)
Si z = (a, b) ∈ℂ, se llama parte real de z a la primera componente a = Re z y se
llama parte imaginaría de z a la segunda componente b = Im z.
Observaciones:
1. Los números complejos surgen como necesidad de resolver ecuaciones que
involucren raíces de números negativos.
2. De la definición se observa que ℂ puede representarse como un conjunto de
puntos del plano que gráficamente se representa así:
j (eje imaginario)
b ...................(a, b)
r :
𝜃 :
ₒ a 𝑥 (eje real)

2. Hay dos formas de representar un número complejo: en su forma rectangular y en su
forma polar:
Convertir coordenadas cartesianas a polares
Para convertir de un sistema cartesiano a polar, se resuelve el triángulo:
r = 𝑥2 + 𝑦2
𝜃 = arctan
𝑦
𝑥
j
𝒙

3. Convertir polares a coordenadas cartesianas
Si tienes un complejo en coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦) y lo quieres en coordenadas
polares (r, ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
cos 𝜃 =
𝒙
𝒓
𝑥 = r cos 𝜃
sen 𝜃 =
𝒚
𝒓
𝑦 = r sen 𝜃 𝑦
𝑥
𝑟𝜃
𝑦
𝑥
𝜃
𝑟

4. Formas de expresar un número complejo
Existen cuatro formas:
La forma Rectangular: z = a + bi
La forma Polar: z = r | 𝜃
La forma de Euler: z = r 𝑒 𝜃𝑖
La forma trigonométrica: z = r cis 𝜃
Conjugado de un Complejo
Sea z = a + bi su conjugado es 𝑧 = a ̶ bi
Operaciones con Complejos
Suma de complejos.- Sólo es posible sumar o restar complejos en la forma rectangular.
Ejm. Sea: 𝑧1 = a + bi y 𝑧2 = c + di
Suma: 𝑧1 + 𝑧2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i
Resta: 𝑧1 ̶ 𝑧2 = (a + bi) ̶ (c + di) = a ̶ c + (b ̶ d)i

5. Producto de complejos.- Es posible en todas sus formas.
Forma Rectangular.- 𝑧1. 𝑧2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²
𝑧1. 𝑧2= ac + (ad + bc)i + bd(-1) = ac – bd + (ad + bc)i
Forma de Euler.- 𝑧1. 𝑧2 = (r1 𝑒 𝜃1 𝑖)(𝑟2 𝑒 𝜃2 𝑖) = r1 𝑟2 𝑒(𝜃1+ 𝜃2)𝑖
Forma Polar.- 𝑧1. 𝑧2 = (r1|𝜃1 )(𝑟2 |𝜃2 ) = r1 𝑟2|𝜃1+𝜃2
Forma Trigonométrica.- 𝑧1. 𝑧2 = (r1 cis 𝜃1)(𝑟2 cis 𝜃2) = r1 𝑟2 cis (𝜃1+𝜃2)
𝑧1. 𝑧2 = r1 𝑟2 cos (𝜃1+𝜃2) + i sen (𝜃1+𝜃2)
División de complejos.- Es posible en todas sus formas.
Forma Rectangular.-
𝑧1
𝑧2
=
a + b𝑖
c + d𝑖
= (
a + b𝑖
c + d𝑖
)(
c − d𝑖
c − d𝑖
) =
ac − adi + bci − bdi²
c² − d²𝑖²
=
𝑧1
𝑧2
=
ac − adi + bci − bd(−1)
c2
− d
2
−1
𝑧1
𝑧2
=
ac + bd + (bc − ad)i
c2
+ d
2