Este documento define conceptos matemáticos básicos como conjuntos, números reales, desigualdades y el plano numérico. Explica que un conjunto es una colección de elementos y que pueden operarse mediante uniones, intersecciones y diferencias. Define los números reales como la unión de los racionales e irracionales y explica formas de representarlos. También describe propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones permitidas. Finalmente, presenta la representación gráfica de las cónicas como elipses, par

1. Números Reales y Plano
Numérico
Luis Parada
C.I V-22.322.831
PNF Contaduría Pública
CO0401

2. Conjunto
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un
conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras,
etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está
definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad
de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero
cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no
define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes,
viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} =
{amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto
de los números naturales es infinito, pero el conjunto de
los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a
las operaciones con números.
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por
nada más. En particular, un
Operaciones con conjuntos
Diferencia simétrica
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para
obtener nuevos conjuntos:

3.  Unión:
(Símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
 Intersección:
(Símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos
comunes a A y B.

 Diferencia:
(Símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar
de A cualquier elemento que esté en B.

4.  Complemento:
El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
 Diferencia simétrica:
(Símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
 Producto cartesiano:
(Símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo
elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
 {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
 {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
 {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
 {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
 {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

5. Definición de los números reales
Sea Γ el conjunto de las sucesiones de Cauchy en Q. Sea la relación ρ siguiente, definida entre las
sucesiones de Cauchy de Q, (xn) y (yn):
 (xn)ρ(yn) s. s.s. lim (xn-yn) = 0 cuando n → ∞
 Esta relación ρ es una relación de equivalencia en el
conjunto de sucesiones de Cauchy con elementos del
conjunto Q de los números racionales.
 Llamamos conjunto de los números reales al conjunto
cociente R = Γ/ρ.
 En seguida se define sobre R una ley de grupo aditivo, una
relación de orden y una topología. Se demuestra que Q
(conjunto de los racionales) es isomorfo a una parte de R.9
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por R ) incluye tanto a los números
racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1
y en otro
enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2
(1970) no se pueden
expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada
por Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque
carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas
pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Desigualdad
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo
que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b

6. Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también
puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el
otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están
comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de
recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades
transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los
símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
 Transitividad
 Para números reales arbitrarios a, b y c:
 Si a > b y b > c entonces a > c.
 Si a < b y b < c entonces a < c.
 Si a > b y b = c entonces a > c.
 Si a < b y b = c entonces a < c.
 Adición y sustracción
 Para números reales arbitrarios a,b y c:
 Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
 Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
 Multiplicación y división
 Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

7.  Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
 Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
 Opuesto
 Para números reales arbitrarios a y b:
 Si a < b entonces −a > −b.
 Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
 Si a < b entonces 1/a > 1/b.
 Si a > b entonces 1/a < 1/b.
 Si a y b son de distinto signo:
 Si a < b entonces 1/a < 1/b.
 Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Valor absoluto
El valor absoluto o módulo1
de un número real X, denotado por X,
es el valor no negativo de X sin importar el signo, sea
este positivo o negativo.2
Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos
matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número
real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos,
como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios
vectoriales.
 Números Reales:
Para cualquier número real X, el valor absoluto de X denota por X se
define como
El valor absoluto de X es siempre un número positivo o cero pero
nunca negativo: cuando X es un número negativo entonces su valor absoluto es necesariamente
positivo .
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia
que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto entre la diferencia de dos
números es la distancia entre ellos.

8. Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
 Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
 Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .

9. Plano numérico (Distancia, Punto medio)
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia
de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se
encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En
ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última
condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Representación Gráfica de las Cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas
las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre
un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en
cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
 Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos
fijos llamados focos es una constante positiva.
Además de los focos F y F′ con coordenadas (c;0) y (-c;0) si se encuentran sobre el eje de las abcisas
respectivamente y (0;c) y (0;-c) si estos focos se encuentran sobre el eje de las ordenadas (ejes de las y)
respectivamente. En una elipse se destacan los siguientes elementos:
 Centro, O
 Eje mayor, AA′ (conocido también como eje transverso)
 Eje menor, BB′ (llamado eje conjugado)
 Distancia focal, OF
 Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el
infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

10. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:
 Centro, O
 Vértices, A y A
 Distancia entre los vértices
 Distancia entre los focos
 Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos:
 Eje, e
 Vértice, V
 Distancia de F a d = p
Ejercicios Resueltos
 Operación con Conjunto
{ }
{ }
{ }
∪
{ }
∪ { }
{ }
{ }
{ }
∪
{ }
∪ { }
∪ { }

11. Desigualdades.
Referencia Bibliográfica
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto#Operaciones_con_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica#Definici%C3%B3n