Guia de matematicas

1. Guía de Algebra
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma
)
x
(
q
)
x
(
p
, donde p(x), q(x) P(x); q(x) 
0.
El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica
Ejemplos:
)
2
x
,
4
x
(
8
x
2
x
4
x
3
)
d
(
7
y
3
x
2
)
c
(
2
3
x
3
x
2
8
)
b
(
)
3
x
(
3
x
5
x
)
a
(
2



















Simplificación de expresiones algebraicas
Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.
Ejemplos
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
(a) 2
2
3
2
3
2
5
3
3
b
7
a
8
ab
3
b
7
ab
3
a
8
ab
21
b
a
24




(b)
y
4
x
2
y
10
x
5


Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que
tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:
2
5
)
y
2
x
(
2
)
y
2
x
(
5
y
4
x
2
y
10
x
5






(c)
16
x
12
x
7
x
2
2



Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
)
4
x
)(
4
x
(
16
x
)
3
x
)(
4
x
(
12
x
7
x
2
2









Luego:
4
x
3
x
)
4
x
)(
4
x
(
)
3
x
)(
4
x
(
16
x
12
x
7
x
2
2











(d)
1
x
x
1
x
2
3




2. Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3
– 1 =(x – 1)(x2
+ x
+1)
Entonces:
1
x
)
1
x
x
(
)
1
x
x
)(
1
x
(
1
x
x
1
x
2
2
2
3











Ejercicios
Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas
(1) 4
2
3
ab
20
b
a
15
(2) 7
3
5
4
np
m
21
p
mn
7
(3) 8
5
7
5
4
d
ac
11
d
c
a
121 (4)
24
b
16
a
8 
(5)
b
24
a
18
42

(6)
y
75
x
50
y
21
x
14


(7)
n
48
m
36
n
36
m
27


(8)
x
xy
x
x2


(9)
b
3
a
3
b
ab
2
a 2
2



(10) 2
2
2
2
n
mn
2
m
n
m



(11)
x
2
x
6
x
5
x
2
2



(12) 2
2
3
3
b
a
b
a


(13)
140
x
15
x
5
42
x
27
x
3
2
2



 (14) 2
2
q
2
pq
8
p
8
q
2
p
4



(15) 2
2
3
3
2
4
n
m
n
m
n
m
n
m


(16)
x
4
x
4
x
x
10
x
3
x
2
3
2
3




(17)
 
 3
2
2
4
2
3
q
p
16
q
p
8
(18)
 
 4
2
3
3
n
m
18
mn
12
(19) 2
2
2
2
b
3
ab
5
a
2
b
32
ab
56
a
16



 (20)
bd
3
d
2
bc
3
c
2
bd
bc
ad
ac






(21)
x
an
5
amnx
10
x
am
5
x
an
5
x
am
5
2
2
2
2



(22)
3
x
3
1
x
2
4


(23) 2
2
3
3
n
5
mn
5
m
5
n
m



(24)
y
10
xy
3
y
x
4
y
25
y
x
16
2
2



(25)
yb
6
ya
3
xb
4
xa
2


(26) 2
3
2
2
)
1
x
(
)
5
x
(
x
)
1
x
(
)
3
x
(
x




(27) 2
3
2
4
3
)
1
x
(
)
5
x
(
x
)
5
x
(
)
1
x
(




(28) 2
2
4
2
b
a
a
ab
a



3. Amplificación de fracciones
Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el
denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente
Ejemplos:
(a) Amplificada por 2, la fracción
4
x
2
6
x
2
2
)
2
x
(
2
)
3
x
(
es
2
x
3
x









(b) Amplificada por 3am la fracción
amn
6
am
21
abm
24
m
a
15
am
3
)
n
2
m
7
(
am
3
)
b
8
a
5
(
:
resulta
,
n
2
m
7
b
8
a
5
2
2









(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción
mn
3
x
8
en un cuadrado perfecto,
debemos amplificar por 3mn 2
2
n
m
9
mnx
24
mn
3
mn
3
mn
3
x
8


(d) Si en la fracción
b
a
b
a


deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto,
debemos amplificar la fracción por (a + b). 2
2
2
b
a
)
b
a
(
)
b
a
(
)
b
a
(
)
b
a
(
)
b
a
(








Ejercicios:
Completa el cuadro
Fracción Amplificada por Fracción Equivalente
(1)
ab
3
xy
2 5x2
y3
(2)
mn
7
ab
6 8a2
m3
n
(3)
b
a
7
b
3
a
2

4
3
4
3
2
b
a
21
ab
9
b
a
3 
(4) 3
a
9
mn
17
4
a
54
amn
102
(5)
7
x
4
x


28
x
11
x2


Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el
polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.
Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios
en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos,
eligiendo en cada caso el de mayor exponente.

4. Ejemplos.
Polinomios factores m.c.m.
y
x
12
xy
6
y
x
9
5
4
2
y
x
3
2
y
x
3
2
y
x
3
5
2
4
2
2








4
5
4
5
2
2
y
x
36
y
x
3
2 
2
x
2
x
3
x
9
x
6
x
6
x
5
x
2
2
2







)
2
x
(
)
1
x
)(
2
x
(
)
3
x
(
)
3
x
)(
2
x
(
2






)
1
x
(
)
3
x
)(
2
x
( 2



b
5
a
5
b
a
a
3
b
3
b
a
2
2




 )
a
b
(
5
)
1
(
)
a
b
)(
a
b
(
)
1
(
)
a
b
(
3
)
a
b
(
)
1
(













)
a
b
(
15
)
a
b
)(
a
b
(
5
3
1
2
2








)
y
x
(
2
y
xy
x
y
6
x
6
2
2
3
3




)
y
x
(
2
y
xy
x
)
y
xy
x
)(
y
x
(
2
3
2
2
2
2









)
y
x
(
6
)
y
xy
x
)(
y
x
(
2
3
3
3
2
2





Ejercicios.
Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios
Polinomios Factores m.c.m.
b
a
20
ab
15
b
a
5
3
2
2
2
2
3
3
q
p
7
pq
42
q
p
21
pq
14
6
x
5
x
3
x
2
x
2




1
m
m
m
2
2



5. 24
p
10
p
8
p
6
p
12
p
8
p
2
2
2






3
x
7
x
2
2
x
3
x
2
2
2




OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales
Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se
procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y
se suman o restan los numeradores.
Ejemplos
Consideremos los siguientes casos
(a)
5
19
x
17
5
19
x
14
x
3
5
)
19
x
14
(
)
x
3
(
5
19
x
14
x
3 









(b)
x
b
23
a
10
x
b
19
a
17
b
4
a
7
x
)
b
19
a
17
(
)
b
4
a
7
(
x
b
19
a
17
x
b
4
a
7














(c) 








b
3
a
2
b
5
a
8
b
3
a
2
b
2
a
7
b
3
a
2
b
9
a
5
b
3
a
2
b
6
a
4
b
3
a
2
)
b
5
a
8
(
)
b
2
a
7
(
)
b
9
a
5
(










Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2
)
b
3
a
2
(
)
b
3
a
2
(
2



Entonces: 2
b
3
a
2
b
5
a
8
b
3
a
2
b
2
a
7
b
3
a
2
b
9
a
5










6. Ejercicios:
Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica
cuando proceda
(1)
x
7
x
5
x
9

 (2) 2
2
2
a
9
a
5
a
4


(3)
2
x
3
4
2
x
3
x
6



(4)
5
m
2
8
m
7
5
m
2
6
m
5
5
m
2
m
4







(5)
15
x
2
8
x
7
15
x
2
3
x
2





(6)
4
a
3
a
5
a
2
4
a
3
a
7
2
2






(7)
12
m
m
m
m
3
12
m
m
m
12
2
2
2
2






 
(8)
4
p
9
p
6
p
6
4
p
9
p
15
2
2
2
2




(9)
2
a
8
a
1
2
a
a2





(10) 1
2
a
9
2
a
3
a





(11)
5
a
7
1
5
a
5
a





(12) 1
2
a
3
3
a
5
2
a
3
4
a






(13)
m
3
n
2
n
15
m
5
m
3
n
2
n
9
m
7
n
2
m
3
n
8
m
5








(14)
6
p
7
p
20
p
10
p
6
p
7
p
20
p
12
p
3
2
2
2
2







(15)
8
2
2
8
2
8
2
2
a
10
a
3
2
a
3
a
10
a
3
10
a
a
10
a
3
a
a
6










 (16)
3
b
13
b
4
b
3
3
b
13
b
4
b
2
b
2
4
2
4
2






(17)
y
x
b
8
a
5
x
y
b
2
a
3
y
x
b
a







 (18)
3
m
2
m
m
2
7
3
m
2
m
m
3
m
3
m
2
m
4
m
2
2
2
2
2












7. Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos
En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es
necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común
denominador)
A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador
común
Ejemplos:
Consideremos los siguientes casos:
(a)
y
x
10
y
3
x
2
xy
15
y
4
x
3
2
2



Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:
y
x
5
2
y
x
10
y
x
5
3
xy
15
2
2
2
2








m.c.m. = 2
2
2
2
y
x
30
y
x
5
3
2 




Como el denominador común es 30x2
y2
, debemos amplificar las fracciones para igualar
los denominadores:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
30
y
9
xy
14
x
6
y
x
30
y
9
xy
6
xy
8
x
6
y
x
30
)
y
3
x
2
(
y
3
)
y
4
x
3
(
x
2
y
x
30
)
y
3
x
2
(
y
3
y
x
30
)
y
4
x
3
(
x
2
y
x
10
y
3
x
2
xy
15
y
4
x
3



















(b)
b
4
a
4
a
6
b
b
3
a
3
b
a
2





Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
)
b
a
(
4
b
4
a
4
)
b
a
(
3
b
3
a
3






m.c.m.= )
b
a
(
12
)
b
a
(
4
3 



Luego, amplifiquemos las fracciones:
)
b
a
(
12
b
7
a
26
)
b
a
(
12
a
18
b
3
b
4
a
8
)
b
a
(
12
)
a
2
b
(
3
)
b
a
2
(
4
)
b
a
(
12
)
a
6
b
(
3
)
b
a
(
12
)
b
a
2
(
4
b
4
a
4
a
6
b
b
3
a
3
b
a
2

























8. (c)
12
m
m
20
m
9
6
m
m
m
6
13
2
2







Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
.
m
.
c
.
m
)
4
m
)(
3
m
(
12
m
m
)
2
m
)(
3
m
(
6
m
m
2
2














Luego, amplificamos las fracciones.
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
12
m
13
m
3
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
40
m
18
m
20
m
9
m
24
52
m
6
m
13
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
)
20
m
9
)(
2
m
(
)
m
6
13
)(
4
m
(
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
)
20
m
9
)(
2
m
(
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
)
m
6
13
)(
4
m
(
)
4
m
)(
3
m
(
20
m
9
)
2
m
)(
3
m
(
m
6
13
12
m
m
20
m
9
6
m
m
m
6
13
2
2
2
2
2





















































Factoricemos el numerador:
    
4
3
3
12
13
3 2




 m
m
m
m
Obtenemos:
8
m
6
m
4
m
3
)
4
m
)(
2
m
(
4
m
3
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
)
4
m
3
)(
3
m
(
)
4
m
)(
2
m
)(
3
m
(
12
m
13
m
3
2
2



















Entonces:
8
m
6
m
4
m
3
12
m
m
20
m
9
6
m
m
m
6
13
2
2
2












9. Ejercicios:
Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda
(1)
x
3
x
2
5
x
5
9

 (2)
x
3
5
x
2
7
x
6
2


(3)
m
5
1
m
3
m
2
2
m 


(4)
x
12
5
x
2
x
8
6
x 


(5)
1
m
5
2
m


 (6) 1
a
3
a
2
7



(7)
1
b
3
5
1
b


 (8) 4
c
3
c
c
9



(9)
2
a
a
a
3
1
a
2
2
2




(10)
12
m
m
m
7
4
m
m
2




(11)
24
p
5
p
2
12
p
p
1
p
2
2






(12)
x
y
xy
2
x
xy
2
y
2
x
x
2




(13)
9
d
)
1
d
(
6
3
d
d
3
d
1
d
2







(14)
y
x
y
y
xy
x
y
x
2
2
2




(15)
a
2
b
3
b
2
a
3
b
2
a
3
b
3
a
2





(16)
1
m
m
1
m
2
1
m
4
2





(17)
3
z
3
3
z
5
z
2
1
z
6
2




 (18)
12
x
x
5
x
4
x
x
3
18
9
24
x
10
x
2
2
2
2









(19)
3
a
4
a
4
a
2
3
a
1
2
a
a
5
a
2
2
2









(20)
1
m
1
3
m
2
m
11
m
3
m
2
m
1
m
3
2
2









(21)
8
p
2
p
6
6
p
5
p
1
p
12
p
p
17
p
2
2
2










(22)
2
d
5
d
3
1
2
d
d
6
7
1
d
d
2
d
3
2
2
2








Multiplicación de fracciones algebraicas
En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones
aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es
posible
Ejemplo:
(a)
yw
7
xz
6
w
z
2
y
7
x
3


(b)
x
2
y
10
x
15
y
4
x
9
xy
2
x
3
2
2
2




Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.
2
5
x
2
)
y
2
x
3
(
5
)
y
2
x
3
)(
y
2
x
3
(
)
y
2
x
3
(
x








10. (c)
7
m
7
21
m
7
m
8
m
2
m
m
m
9
m
6
m
5
m
2
2
3
3
2
2










Factoricemos y simplifiquemos
4
m
1
)
1
m
)(
1
m
(
7
)
3
m
(
7
)
2
m
)(
4
m
(
m
)
1
m
)(
1
m
(
m
)
3
m
)(
3
m
(
)
2
m
)(
3
m
(
)
1
m
(
7
)
3
m
(
7
)
8
m
2
m
(
m
)
1
m
(
m
)
3
m
)(
3
m
(
)
2
m
)(
3
m
(
2
2
2



























Entonces:
4
m
1
7
m
7
21
m
7
m
8
m
2
m
m
m
9
m
6
m
5
m
2
2
3
3
2
2












Ejercicios
Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas
(1) 4
3
3
4
ab
7
y
x
5
b
a
3
xy
2
 (2) 2
x
19
)
b
a
(
17
x
2
)
b
a
(
3 

 
(3)
w
z
6
x
5
x
3
x
2
x






(4) 3
15
8
7
5
4
4
3
y
x
y
x
y
x
y
x



(5)
 
 
 
 5
2
4
3
2
5
4
3
3
2
y
x
b
a
b
a
y
x
 (6)
 
 
 
 3
3
2
5
2
3
2
2
4
3
n
m
d
c
cd
n
m





(7)
y
5
x
20
b
14
a
21
b
10
a
15
y
3
x
12





(8)
x
y
x
y
42
x
42
y
7
x
7
y
x
y
2
x
2
2
2







(9)
8
a
6
a
ab
ab
4
a
3
a
2
5
2
2





(10)
18
a
11
a
10
a
7
a
15
a
8
a
18
a
9
a
2
2
2
2









(11)
15
z
2
z
21
z
10
z
14
z
9
z
16
z
10
z
2
2
2
2









(12)
6
m
m
12
m
m
24
m
10
m
16
m
6
m
2
2
2
2









(13)
x
2
x
12
x
7
x
16
x
8
x
12
x
7
x
9
x
6
x
9
x
2
2
2
2
2
2












(14)
y
30
x
30
y
3
x
3
y
5
x
5
y
xy
x
y
xy
2
x
y
xy
2
x
y
x
y
x 2
2
2
2
2
2
3
3
2
2













(15)
2
a
9
a
4
8
a
17
a
2
9
a
9
a
2
6
a
7
a
2
2
2
2
2









(16) 2
2
2
2
2
2
2
2
b
10
ab
9
a
2
b
6
ab
7
a
2
b
12
ab
11
a
2
b
12
ab
a









(17) 2
2
2
2
3
3
y
2
xy
2
x
2
y
6
x
6
y
x
y
x






(18)
y
15
x
15
y
7
xy
7
x
7
y
x
y
5
xy
10
x
5 2
2
3
3
2
2







(19)
10
b
3
b
5
b
4
b
14
b
9
b
21
b
10
b
15
b
2
b
16
b
10
b
1
b
2
b
12
b
8
b
2
2
2
2
2
2
2
2




















11. División de fracciones algebraicas
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas:
se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor
Ejemplos:
(a)
x
3
y
4
x
9
y
20
y
5
x
3
y
20
x
9
:
y
5
x
3 2
2
3
3
2



(b)
y
12
x
6
y
45
x
15
y
15
x
5
y
4
x
2
y
45
x
15
y
12
x
6
:
y
15
x
5
y
4
x
2










Factoricemos y simplifiquemos
1
1
1
)
y
2
x
(
6
)
y
3
x
(
15
)
y
3
x
(
5
)
y
2
x
(
2







(c)
y
x
y
2
x
2
1
y
x
y
2
x
2
y
x
:
y
x
2
2
2
2








Al factorizar y simplificar resulta:
2
)
y
x
(
2
y
x
)
y
x
(
2
1
)
y
x
)(
y
x
(







(d)
98
a
14
1
12
a
6
14
a
5
a
98
a
14
:
12
a
6
14
a
5
a 2
2










Factoricemos y simplifiquemos
84
1
)
7
a
(
14
1
)
2
a
(
6
)
2
a
)(
7
a
(






Ejercicios:
Calcula el cuociente entre las siguientes fracciones algebraicas
(1) 3
2
3
3
b
9
ab
14
:
b
18
a
35
(2) 5
2
3
9
8
6
10
6
4
7
8
5
c
b
a
c
b
a
:
c
b
a
c
b
a
(3) 3
3
4
3
2
3
x
y
9
:
bxy
a
54
y
x
ab
24
(4) 3
2
2
3
3
2
2
y
b
ax
3
:
y
ab
bx
a
(5)
y
x
21
x
14
a
:
a
xy
9
x
6
2
3
3
2


(6)
1
a
2
a
a
a
:
a
a
a
a
2
2
3
2
3





(7)
2
m
3
m
3
m
2
m
:
8
m
2
m
16
m
8
m
2
2
2
2








(8)
14
c
5
c
7
c
8
c
:
10
c
7
c
5
c
6
c
2
2
2
2








(9)
9
x
6
x
3
x
4
x
:
18
x
3
x
24
x
10
x
2
2
2
2








(10)
28
m
3
m
32
m
4
m
:
21
m
4
m
48
m
14
m
2
2
2
2









12. (11)
6
p
5
p
4
4
p
8
p
3
:
3
p
7
p
4
2
p
p
3
2
2
2
2








(12)
1
a
6
a
8
1
a
a
12
:
5
a
8
a
4
1
a
5
a
6
2
2
2
2








(13)
20
m
m
16
m
6
m
:
4
m
5
m
2
m
3
m
2
2
2
2








(14) 2
2
2
2
2
2
3
3
y
xy
2
x
y
x
:
y
xy
2
x
y
x






(15) 2
2
2
2
2
2
4
4
y
xy
2
x
y
x
:
y
xy
2
x
y
x






(16)
1
x
1
x
:
1
x
x
x3




OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer
lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y
divisiones tienen prioridad.
Ejemplos
(a)
4
a
3
2
a
5
a
2


Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones
40
)
a
15
16
(
a
40
a
15
a
16
40
a
3
5
a
2
8
8
a
3
5
a
2
4
a
3
2
a
5
a
2 2
2
2












(b)
x
4
16
x
5
2
x
3 2


En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición
4
x
11
4
x
5
x
6
4
x
5
1
x
3
2
4
x
5
2
x
3
x
4
16
x
5
2
x
3 2











(c) 












4
5
y
15
x
10
y
12
x
8
:
y
9
x
4
y
3
x
2
2
2
Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y
el denominador, para simplificar si es posible.
y
3
x
2
y
3
x
2
:
y
9
x
4
y
3
x
2
4
5
)
y
3
x
2
(
5
)
y
3
x
2
(
4
:
y
9
x
4
y
3
x
2
2
2
2
2


















Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :
y
3
x
2
1
y
3
x
2
y
3
x
2
)
y
3
x
2
)(
y
3
x
2
(
y
3
x
2








(d) 2
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
x
y
2
x
2
y
6
x
6
:
y
xy
2
x
y
3
x
3

















Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos.
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
x
)
y
x
(
6
)
y
x
(
2
)
y
x
(
)
y
x
(
3








