Este documento contiene 18 problemas de álgebra sobre divisibilidad de polinomios y cocientes notables. Los problemas incluyen determinar si un polinomio es divisible por otro, calcular restos y sumas de coeficientes, y encontrar términos en el desarrollo de cocientes notables.

1. 1
ÁLGEBRA
DIVISIBILIDAD Y COCIENTE
1.- El polinomio BAxxxxP  23
3)( es divisible
entre )2)(4(  xx , entonces el valor de A-B es.
A) -2 B)-1 C)0 D) 2 E) 3
Solucionario
1 1 3
2 2 8
1 2 8
8
1 1 0 0
A B
6
8
A
B
2A B
2.- P es un polinomio definido por
3 2
( )P x x ax bx c . Tal que P(x) es divisible
separadamente entre (x-a), (x-b) y (x-c), entonces el valor de
T = a + b + c con 0b es.
A) 0 B) -1 C)-2 D) 1 E) 2
Solucionario
3 2
( ) ( )P x x ax bx c x a x b x c Q x
3 2
( ) 1P x x ax bx c x a x b x c
3 2 3 2
( )P x x ax bx c x a b c x ab ac bc x abc
1a b c a ab ac bc b abc c ab
1T a b c
3.- Si el polinomio cbxaxxxxP  245
2)( es
divisible por )1( 4
x , determine el valor de E =
ba
ba


.
A) -3/2 B)-1 C)-2/3 D)2/3 E) 3/2
Solucionario
5 4 2 4
( ) 2 ( 1) ( )P x x x ax bx c x Q x
4 4
. . 1 0 1Por T R x x
0 2 1a b c
2
1
0 2
a b o
a b
4.- Un PolinomioP(x) de 2º gradoy coeficiente principal 1 al serdividido
entre (x+3) da comoresultado uncociente Q(x) y unresto12. Sise divide
P(x) entre el mismo cociente,aumentadoen 4, la división resulta exacta.
Determine el residuo de dividir P(x) entre (x -5).
A) 12 B) 13 C) 17 D) 20 E) 21
Solucionario
* 3 12P x x x a
* 4 ( )P x x a Q x
4Para x a
4 3 4 12 0a a a
1 4 4 3 4a a
( ) 3 4 12P x x x
( ) 3 4 12 5 ( ) ( )P x x x x q x R x
5Para x
(5) (5 3)(5 4) 12 ( )P R x
( ) 20R x
5.- Un Polinomio es divisible por  11
n
x tiene por término
independiente -3 y por grado “n”, determine “n” si se sabe que al
dividirlo separadamente entre (x-1) y (x-3) los restos son -2 y 732
respectivamente.
A)4 B)5 C)6 D) 7 E) 8
Solucionario
1
* ( ) 1 3n
P x x ax
1Para x
1
(1) 1 1 3 1 1 ( ) 2n
P a Q x
2a
1
* ( ) 1 2 3n
P x x x
1
* ( ) 1 2 3 3 ( ) 732n
P x x x x H x
3Para x
1 1 5
3 1 2(3) 3 732 3 3n n
6n
6. Determine el polinomio de cuarto grado tal que sea
divisible entre  23 3
x y que al dividirlo
separadamente entre (x-1) y (x + 3) los restos
obtenidos son respectivamente -5 y -249.
A) 6496 34
 xxx
B) 6486 34
 xxx 4
C) 6496 34
 xxx 4
D) 7496 34
 xxx 4
E) 6496 34
 xxx 4
Solucionario
3
* ( ) 3 2 ...P x x ax b
* ( ) 1 ( ) 5P x x Q x
Re emplazando en
5 ....a b i
* ( ) 3 ( ) 249P x x H x
( 3) 249 ....P
Re emplazando en
3 3 ....a b ii
Luego del sistema
5 ....a b i
3 3 ....a b ii
4 0 8a
2
....
3
a
b
Reemplazando en
3 4 3
( ) 3 2 2 3 6 9 4 6P x x x x x x

2. 2
7. Determine un términocentralen eldesarrollodelcociente notable
32
40
yx
yx b


A) -
3216
yx B)
3216
yx C)
3018
yx
D) -
3018
yx E)
3220
yx
Solucionario
40
2 3
40
20
2 3
b
x y b
x y
20 202 3
2 3
x y
x y
1
2
10 92 3 20 27
20 10
2
9 102 3 18 30
11
c
c
c
t t t x y x y
t
t t x y x y
18 30
minUn tér o central x y
8.- Halle el número de términos del desarrollo del
cociente notable
98
34124




nn
nn
yx
yx
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Solucionario
4 12 4 3
8 9
*
n n
n n
x y
x y
4 12 4 3
....
8 9
n n
i
n n
12 ....De i n ii
Reemplazando ii en i
15
9. Sabiendo que al dividir
1313
22



mm
nn
yx
yx
, se obtiene como
segundotérminoen sucociente a
816
yx , de cuantos términos está
compuesto su cociente notable.
A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E)7
Solucionario
2 2
3 1 3 1
*
n n
m m
x y
x y
2
*
3 1
n
m
3 1 3 1
3 1 3 1
m m
m m
x y
x y
2 1
3 1 3 1 16 8
2
m m
t x y x y
3 1 8m
3 1 2 16m
8 2 8 2
4
10. En el desarrollo del cociente notable
73
yx
yx ba


existe untérmino
central que es igual a
231
yxc
. Halle “a+b+c”
A) 759 B) 549 C) 769 D) 768 E) 818
Solucionario
3 7
*
a b
x y
x y
3 7
a b
3 7
3 7
x y
x y
1 1
13 72 2
1
2
ct t x y
1 1
3 7
2312 2
1
2
c
ct t x y x y
1
7 7.33 67
2
67 1
3 99
2
c c
201
67
4693 7
aa b
Como
b
201 469 99 769a b c
11. Si
209
yx es el quintotérmino del desarrollo del cociente notable
de , determine “ ab” .
A) 22 B) 38 C) 45 D) 57 E) 63
Solucionario
2 1 2 1
3 5
*
a b a b
x y
x y
2 1 2 1
*
3 5
a b a b
3 5
3 5
x y
x y
5 43 5 9 20
5t x y x y
3 5 9 8
2 1 2 1
8
3 5
a b a b
2 1 24 2 25
2 1 40 2 41
a b a b
a b a b
4 2 50
2 41
a b
a b
3 0 9 3 19a a b
57ab
12. Si el desarrollo del siguiente cociente notable
   
x
xx
1111
11 
, tiene un término de la forma;
 b
xa 12
 , entonces el valor de
T = a + b, es
A) 3. B) 5. C) 7. D) 8. E) 11.
Solucionario
11 11
1 1
*
x x
x

3. 3
11 11
1 1
2
1 1
x x
x x
1 11 1
2 1 1 1 1 1
k k k b b
kt x x a x x
11 1 11 1k b k b k k
6k
2 5a b
3a b
13. Un polinomio de variable “x”, con coeficientes enteros de
tercer grado, es divisibleentre x + 1; pero al dividirlo entre
x – 1, entre x + 2 y entre x – 4 deja siempre un residuo 10.
¿Cuánto vale la suma algebraica de sus coeficientes?
A) 10 B) -12 C) 42 D) 15 E)6
Solucionario
2
* ( ) 1P x x ax bx c
* ( ) 1 2 4 10P x x x x k
1Para x
. 10Suma de coef
14. Un polinomio P(x) de cuarto grado, cuyo coeficiente
principal es 6, tiene como término independiente -4; es divisible
separadamente por (x+1) y (x+2), y al dividirlo entre (x-2) da
como resto 240. Halle la suma de sus coeficientes.
A) 15 B) -18 C) 18 D) 36 E)-2
Solucionario
2
* ( ) 1 2 6 2 ....P x x x x bx
* ( ) 2 240P x x Q x
2Para x
2
(2) 3.4 6.2 2 2 240P b
1 .....b
en
2
( ) 1 2 6 2P x x x x x
(1) 2.3.3 18P
15. Un polinomio de cuarto grado es divisibleentre (x+2), tiene
raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x-2) y (x+1) los restos
obtenidos son iguales a 16. Calcule la suma de sus coeficientes.
A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36
Solucionario
2 2
* ( ) 2 ....P x x ax b
* ( ) 2 1 ( ) 16P x x x Q x
2
2 2 2
2 (2) 16 2 16 2 1
1 ( 1) 1 4 4
Para x P a b a b
En
Para x P a b a b
2 1
4
a b
a b
3 0 3a
1 3 ....a b
Reemplazando en
2 2
( ) 2 3P x x x
2 2
(1) 3 .2 36P
16. Determinar el polinomio de quinto grado que sea divisible
entre )32( 4
x y que al dividirlo separadamente entre (x+1)
y (x-2) los restos obtenidos son 7 y 232 respectivamente. Luego
dé como respuesta la suma de coeficientes.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) -3
Solucionario
4
* ( ) (2 3) ....P x x ax b
* ( ) 1 7P x x Q x
( 1) 7P a b
7 .....a b i
7 .....a b i
* ( ) 2 ( ) 232P x x H x
(2) 29 2 29.8P a b
2 8 ....
7 ....
a b ii
a b i
3 0 15a
5 2 .....a b
en
4
( ) (2 3) 5 2P x x x
(1) 3 3P
17. Calcule m.n si el 42t del cociente notable
nm
nm
yx
yx
45
260325


es
984345
yx .
A) 6 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24
Solucionario
325 260
5 4
*
m n
m n
x y
x y
325 260
* 65
5 4
m n
m n
65 655 4
5 4
m n
m n
x y
x y
65 42 415 4 345 984
42
m n
t x y x y
5 23 345 3
4 41 984 6
m m
n n
. 18m n
18. Calcular “m” si el grado absoluto del 33t en el cociente
notable 75
75
yx
yx mm


es 309.
A) 45 B) 40 C) 48 D) 50 E) 60
Solucionario
5 7
5 7
*
m m
x y
x y
* m
5 7
5 7
m m
x y
x y
33 325 7
33
m
t x y
. . 5 165 224 309G A m
5 59 309m
5 250m
50m

4. 4

5. 5