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Curso: Optimización - Sesión: 1
Tema 1: Conceptos Previos
Prof. Andrés Pérez Tovar
Universidad Internacional de La Rioja
Optimización - PER9207 - 2023 - 2024
email: andres.pereztovar@unir.net
20 de Marzo de 2024 - 20:45 - 21:30
Contenido
1 Introducción informal a la optimización matemática
Esquema
Consideraciones Importantes
Modelación Matemática
2 Definiciones básicas
Álgebra Matricial
Continuidad
Diferenciabilidad
3 Clasificación de Problemas de Optimización
4 Métodos Heurı́sticos
Algoritmos Genéticos
Algoritmos de Enjambre
5 Teorı́a de control y optimización
6 Recomendaciones
Curso: Optimización - Sesión: 1
Introducción informal a la optimización matemática
Esquema
 Esquema del Tema
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
Ò Consideraciones Importantes
➊ El curso está enfocado al cálculo numérico y en este
sentido, aprovecharemos este primer tema para introducir algunos
resultados teóricos fundamentales que justificarán el enfoque más
algorı́tmico de los siguientes temas.
➋ Desde esta introducción formal, se observa una fuerte relación
entre los problemas de optimización de funciones continuas y el
cálculo matemático.
➌ La idea básica, es poner en contexto los problemas y ejemplificar
ciertos aspectos del problema de optimización.
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
␣ Para llevar esto a cabo, en la mejor disposición:
Se estudian conceptos y herramientas necesarias para encarar,
con ciertas garantı́as, un subconjunto amplio de problemas de
optimización (de funciones continuas) conocido como optimización
convexa.
Necesitamos conceptos y resultados
de cursos de álgebra lineal y cálculo
multivariante.
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
␣ A grosso modo: La optimización, es la “capacidad de resolver
o hacer algo de la manera más eficiente posible y, en el mejor de los
casos, utilizando la menor cantidad de recursos”.
␣ Consecuencias: La diversidad y a veces, que resulten irresolubles,
aunque tienen algo en común: ”tratar de obtener la mejor solución”.
Definición [Optimización]
✓ Definición Material: La optimización (también conocida
como optimización matemática o programación matemática) es la
selección del mejor elemento respecto a un criterio de un conjunto
de elementos disponible.
✓ Definición Test: La optimización o programación
matemática, es el estudio de ciertos problemas donde es necesario
encontrar un valor extremo (máximo y/o mı́nimo), a partir de valores
dados a un cierto número de variables independientes. ✓
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
Ejemplos
El qué tan buena es una solución, está ligado a un criterio y esto
resulta muy general. Veamos,
3 Ejemplo 1: Encontrar el camino más corto entre dos puntos.
En este caso, la mejor solución es la longitud más corta.
A veces, nuestro problema puede contener restricciones que
dificultan encontrar una solución.
3 Ejemplo 2: Encontrar el camino más corto entre dos puntos
sobre una esfera.
Sólo se toman por válidos, los caminos
que están contenidos en una esfera.
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
Ejemplo
Ë Un ejemplo sencillo de optimización, puede ser minimizar (o
maximizar) una función de variable real. Por ejemplo,
minimizar x2
, x ∈ R
Basta ver que la función x2 es convexa y por tanto, en x = 0 se
alcanza un mı́nimo.
é Cambiando el problema por:
minimizar x2
, x ∈ (0, ∞)
La respuesta anterior deja de ser cierta, ya que para todo
x1 ∈ (0, ∞), siempre existe x2 ∈ (0, ∞), tal que f (x1)  f (x2).
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
␣ Sea S ⊆ Rn, un conjunto y f : S −→ R. Entonces, el problema
minimizar f (x) , x ∈ S
¿Este problema tiene solución? Si existe, ¿es única?
No tiene sentido buscar la solución de un problema si no sabemos
que existe.
La teorı́a de Optimización, nos dice si tiene sentido buscarla.
␣ En términos de algoritmos: Una condición suficiente, nos dice
si tiene sentido buscar una solución del problema y una condición
necesaria, nos da un criterio para saber si la hemos encontrado.
Optimización f tiene extremos ←→ f función objetivo
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Introducción informal a la optimización matemática
Consideraciones Importantes
Teorema [Weierstrass]
Si f es una función continua en S y S es compacto, entonces existe
x∗ ∈ S, tal que f (x) ≥ f (x∗), para todo x ∈ S. ✓
Hipótesis sobre la función objetivo: f es continua.
Hipótesis sobre el conjunto de soluciones factibles: S es
un compacto.
Tesis del teorema: Existe un mı́nimo que se alcanza en x∗.
Las hipótesis sobre la función objetivo y el conjunto de
soluciones factibles conforman las condiciones suficientes
para la existencia de un mı́nimo.
¿Las condiciones Necesarias?
Si f es diferenciable y x∗ realiza un mı́nimo, entonces
∇f (x∗) = 0.
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Introducción informal a la optimización matemática
Modelación Matemática
Modelación Matemática









min
x∈X
f (x)
Sujeto a: h(x) = 0
g(x) ≤ 0
x ∈ X
O bien,









max
x∈X
f (x)
Sujeto a: h(x) = 0
g(x) ≤ 0
x ∈ X
x, representa las variables del problema, dispuestas en un cierto
dominio X.
f (x), representa la función objetivo del problema, la cual se
quiere optimizar (Maximizar o Minimizar).
h(x) = 0 y/o g(x) ≤ 0, representan las restricciones del
problema.
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Introducción informal a la optimización matemática
Modelación Matemática
␣ Encontrar el punto de la recta ℓ := ax + by = c más cercano a
(x0, y0) ∈ R2.
Ejemplo 3 [a = b = 1 , c = 2 , (x0, y0) = (2, 2)]
Encontramos el punto de la recta x + y = 2 más cercano a (2, 2).
Modelación Matemática





min
x∈X
f (x)
Sujeto a: h(x) = 0
x ∈ X





min
(x,y)∈R2
(x − 2)2 + (y − 2)2
Sujeto a: x + y − 2 = 0
(x, y) ∈ R2
3 Problema 1 Hallar la solución del Ejemplo 3
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Introducción informal a la optimización matemática
Modelación Matemática
Ejemplo 4
Determinar el valor mı́nimo de x, considerando que x2 ≤ y y además,
x2 + y2 ≤ 2.
Modelación Matemática





min
(x,y)∈R2
x
Sujeto a: x2 ≤ y
x2 + y2 ≤ 2
Problema es equivalente al
resuelto en el Ejemplo 3.
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Definiciones básicas
Diferenciabilidad
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Definiciones básicas
Diferenciabilidad
Ejemplo 5
Consideramos la función:
f (x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− xy + yz − xz
y nos preguntamos por sus extremos relativos.
Solución: Sabemos que:
∇f (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x + z, 2z + y − x)
Luego, ∇f (x, y, z) = 0, si y solo si, el sistema



2x − y − z = 0
2y − x + z = 0
2z + y − x = 0
tiene solución, pero
2 −1 −1
2 −1 1
2 1 −1
̸= 0
Por tanto, la solución es única y (x, y, z) = (0, 0, 0).
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Definiciones básicas
Diferenciabilidad
Más aún. la matriz Hessiana en (0, 0, 0) está dada por:
Hf (0, 0, 0) =


2 −1 −1
−1 2 1
−1 1 2


donde:
M1 = 2 , M2 =
2 −1
−1 2
= 3 y M3 = |Hf (0, 0, 0)| = 4
Luego, H(0, 0, 0) es definida positiva y por tanto, f (0, 0, 0) = 0 es
un mı́nimo local, que en su defecto también es global. ✓
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Definiciones básicas
Diferenciabilidad
Ejemplo 6
Consideramos la función:
f (x, y) = x3
− 12xy + 8y3
y nos preguntamos por sus extremos relativos.
Solución: En este caso, ∇f (x, y) = (3x2 − 12y, −12x + 24y2), lo
que nos proporciona dos puntos crı́ticos: (0, 0) y (2, 1). La matriz
Hessiana, está dada por:
Hf (x, y) =
6x −12
−12 48y
Con esto podemos ver que en (0, 0) hay un punto de silla y en (2, 1),
hay un mı́nimo. (Usar autovalores)
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Clasificación de Problemas de Optimización
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Clasificación de Problemas de Optimización
Consideramos ahora las funciones g : U −→ Rm y h : U −→ Rp. En
su forma más general, un problema de optimización tiene la forma:









min
x∈U
f (x)
Sujeto a: h(x) = 0
g(x) ≤ 0
x ∈ U
O bien,









max
x∈U
f (x)
Sujeto a: h(x) = 0
g(x) ≤ 0
x ∈ U
␣ Aquı́ g(x) ≤ 0 se debe interpretar de la manera siguiente:
Si nombramos g(x) = (g1(x), . . . , gm(x)), entonces g(x) ≤ 0 si
gi (x) ≤ 0, para todo i = 1, . . . , m.
␣ De manera similar se interpreta la condición h(x) = 0. Hay otras
formas generales de escribir problemas de optimización. Ésta se
llama forma estándar.
21 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Ejemplo 7 [Una variable]
Se necesita hallar el máximo de de la función f (x) = x3 − 2x + 3,
siempre que x ≤ 1.
Solución: Al ser un polinomio de grado 3, resulta evidente que
tiene al menos una raı́z real y usando el teorema de Bolzano, resulta
también sencillo verificar que f (x) = 0, si y sólo si, x ∈ [−2, 1].
Planteamiento





max
x∈R
x3 − 2x + 3
Sujeto a: x ≤ 1
x ∈ R
22 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Ejemplo 8 [Dos variables]
Se necesita hallar el máximo de la función
f (a, b) = sen2(a) cos(b), siempre que a, b ∈ (0, 2π].
Solución: Este caso resulta un poco más complicado, en efecto si
usamos Matlab queda:
Planteamiento





max
(a,b)∈R2
sen2(a) cos(b)
Sujeto a: a ∈ (0, 2π]
b ∈ (0, 2π]
23 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Reflexiones
➊ Es posible formular un problema de diversas maneras. Por tanto,
no existe una formulación única.
➋ Si se quiere minimizar f (x), también se puede maximizar −f (x)
➌ Resulta necesario uniformizar la formulación, para ası́ generar un
método.
Definición [Región factible]
La región factible F de un problema de optimización, es el conjunto
de puntos que satisfacen todas las restricciones del problema, es
decir:
F = {x ∈ X : h(x) = 0, g(x) ≤ 0}
24 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
En consecuencia,
Definición [Solución factible]
Se dice que x ∈ X es una solución factible, si y sólo si x ∈ F. ✓
¿Cuál de estas soluciones interesan?
La solución que interesa, es la que proporciona el valor más
favorable de la función objetivo.
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Definición [Solución óptima]
Sea x∗ ∈ F. Entonces, x∗ es una solución óptima siempre que:
➀ f (x) ≤ f (x∗), para todo x ∈ F si el objetivo es maximizar f .
➁ f (x) ≥ f (x∗), para todo x ∈ F si el objetivo es minimizar f .
Para los ejemplos anteriores, tenemos que las regiones factibles están
dadas por:
3 Ejemplo 7 F = {x ∈ R : x ≤ 1} = (−∞, 1]. Por ejemplo,
x = 0 es una solución factible, pero x =
q
2
3 es la solución óptima.
3 Ejemplo 8 F = {(a, b) ∈ R2 : 0  a, b ≤ 2π}.
Por ejemplo, (a, b) = (π, π) es una solución factible, pero
(a, b) = π
2 , 2π

es una solución óptima.
26 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Entonces, podemos clasificar en distintos tipos de problemas:
➊ Optimización sin restricciones: Un problema sin restricciones
se puede interpretar como el problema anterior con g y h siendo
funciones idénticamente nulas (o, si se quiere, tomando m = p = 0).
➋ Optimización con restricciones de desigualdad: Tomamos
m ̸= 0 y p = 0.
➌ Optimización con restricciones de igualdad: Tomamos m = 0
y p ̸= 0.
➍ Optimización con restricciones mixtas: Tomamos m ̸= 0 y
p ̸= 0.
➎ Optimización lineal: Cuando la función objetivo es de la forma
cT x, esto es, una función lineal.
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
 Clasificación de Problemas de Optimización
➊ De acuerdo a la forma de f (x) y las restricciones:
Programación Lineal: f (x) y las restricciones son lineales.
Programación No Lineal: f (x) es no lineal y las
restricciones pueden ser no lineales.
➋ De acuerdo a la presencia o no de restricciones:
Optimización No Restringida: El problema de optimiza-
ción no tiene restricciones.
Optimización Restringida: El problema de optimización
tiene restricciones.
28 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
 Clasificación de Problemas de Optimización
➌ Según su dimensionalidad:
Optimización Unidimensional: Función objetivo de una
variable.
Optimización Multidimensional: Función objetivo de varias
variables.
➍ Según el número de funciones objetivo:
Optimización con un Objetivo: Una sola función objetivo.
Optimización con múltiples funciones Objetivo: Varias
funciones objetivo.
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Teorema (Karush - Kuhn - Tucker)
Consideramos un problema de optimización en forma estándar con
f , g y h funciones de clase C 1. Sea
F = {x ∈ U : h(x) = 0, g(x) ≤ 0}
el conjunto de las soluciones factibles y x0 ∈ F. Entonces:
➀ Si f es una función convexa, F es un conjunto convexo y x0 realiza
un mı́nimo local, entonces x0 realiza también un mı́nimo global.
30 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Continuación . . .
➁ Si f , gi son funciones convexas y hj = Aj x + bj , j = 1, . . . , p
con Aj matrices n × p y bj ∈ Rp. Entonces dado x0 ∈ F, si existen
constantes µi ≥ 0, i = 1, . . . , m y j , j = 1, . . . , p, tales que:
∇f (x0) =
m
X
i=1
µi ∇gi (x0) +
p
X
j=1
λj ∇hj (x0) = 0
y
µi gi (x0) = 0 , i = 1, . . . , m
entonces x0 realiza un mı́nimo global. ✓
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Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización




Optimización Discreta
Generalizando un poco más la escritura de nuestro problema de
optimización, podemos escribir:
(
min
x∈X
f (x)
Sujeto a: x ∈ F
donde f es un campo escalar. Consideremos X un conjunto discreto,
entonces:
1 X = Rn (Variables enteras)
2 X = {0, 1}n (Variables binarias)
3 X = Rr × Zs × {0, 1}t (posiblemente con r = 0, s = 0 o
t = 0 - Variables mixtas)
32 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización




Ejemplo
Supongamos que, en una empresa, hay n trabajos a repartir entre
n trabajadores. Supongamos también que pretendemos asignar a
cada persona un solo trabajo. Supongamos que el costo de que el
trabajador i realice el trabajo j es cij . El costo se puede asignar
de distintas maneras, por ejemplo, puede ser el tiempo estimado
tardará el trabajador i a completar el trabajo j. Nos planteamos el
problema de realizar la asignación de trabajos minimizando el costo.
Tomamos X = {0, 1}n2
. Convendremos que xij = 1 si al trabajador
i se le asigna el trabajo j y xij = 0 en otro caso. Como cada a cada
trabajador se le puede asignar un sólo trabajo, tenemos la restricción:
n
X
j=1
xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n
33 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Clasificación de Problemas de Optimización
Como todo trabajo tiene que ser asignado, tenemos la restricción
n
X
i=1
xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n.
El costo total de cada asignación será
n
X
j=1
n
X
i=1
cij xij .
En particular, podemos escribir el problema de optimización como
minimizar



min
Pn
j=1
Pn
i=1 cij xij
Sujeto a:
Pn
i=1 xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n.
Pn
j=1 xij = 1 , i = 1, 2, . . . , n.
Podemos clasificar este problema como un problema lineal de
variables binarias con restricciones.
34 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
Recomendaciones
 Recomendaciones
1 Realizar una revisión de Álgebra Básica
Polinomios - Raı́ces.
Evaluación de Funciones.
2 Realizar un repaso exhaustivo de Cálculo Diferencial.
Derivadas de funciones básicas - Propiedades.
Cálculo de Valores Extremos.
3 Realizar un repaso del Cálculo Multivariable.
Funciones de varias variables.
Derivadas Parciales - Gradiente - Jacobiano - Hessiano.
4 Revisar algunos conceptos de Álgebra Lineal, tales como:
Matrices
Sistemas de Ecuaciones
Formas cuadráticas
35 / 36
Curso: Optimización - Sesión: 1
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  • 1. Curso: Optimización - Sesión: 1 Tema 1: Conceptos Previos Prof. Andrés Pérez Tovar Universidad Internacional de La Rioja Optimización - PER9207 - 2023 - 2024 email: andres.pereztovar@unir.net 20 de Marzo de 2024 - 20:45 - 21:30
  • 2. Contenido 1 Introducción informal a la optimización matemática Esquema Consideraciones Importantes Modelación Matemática 2 Definiciones básicas Álgebra Matricial Continuidad Diferenciabilidad 3 Clasificación de Problemas de Optimización 4 Métodos Heurı́sticos Algoritmos Genéticos Algoritmos de Enjambre 5 Teorı́a de control y optimización 6 Recomendaciones
  • 3. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Esquema Esquema del Tema 3 / 36
  • 4. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes 4 / 36
  • 5. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes 5 / 36
  • 6. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes Ò Consideraciones Importantes ➊ El curso está enfocado al cálculo numérico y en este sentido, aprovecharemos este primer tema para introducir algunos resultados teóricos fundamentales que justificarán el enfoque más algorı́tmico de los siguientes temas. ➋ Desde esta introducción formal, se observa una fuerte relación entre los problemas de optimización de funciones continuas y el cálculo matemático. ➌ La idea básica, es poner en contexto los problemas y ejemplificar ciertos aspectos del problema de optimización. 6 / 36
  • 7. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes ␣ Para llevar esto a cabo, en la mejor disposición: Se estudian conceptos y herramientas necesarias para encarar, con ciertas garantı́as, un subconjunto amplio de problemas de optimización (de funciones continuas) conocido como optimización convexa. Necesitamos conceptos y resultados de cursos de álgebra lineal y cálculo multivariante. 7 / 36
  • 8. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes ␣ A grosso modo: La optimización, es la “capacidad de resolver o hacer algo de la manera más eficiente posible y, en el mejor de los casos, utilizando la menor cantidad de recursos”. ␣ Consecuencias: La diversidad y a veces, que resulten irresolubles, aunque tienen algo en común: ”tratar de obtener la mejor solución”. Definición [Optimización] ✓ Definición Material: La optimización (también conocida como optimización matemática o programación matemática) es la selección del mejor elemento respecto a un criterio de un conjunto de elementos disponible. ✓ Definición Test: La optimización o programación matemática, es el estudio de ciertos problemas donde es necesario encontrar un valor extremo (máximo y/o mı́nimo), a partir de valores dados a un cierto número de variables independientes. ✓ 8 / 36
  • 9. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes Ejemplos El qué tan buena es una solución, está ligado a un criterio y esto resulta muy general. Veamos, 3 Ejemplo 1: Encontrar el camino más corto entre dos puntos. En este caso, la mejor solución es la longitud más corta. A veces, nuestro problema puede contener restricciones que dificultan encontrar una solución. 3 Ejemplo 2: Encontrar el camino más corto entre dos puntos sobre una esfera. Sólo se toman por válidos, los caminos que están contenidos en una esfera. 9 / 36
  • 10. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes Ejemplo Ë Un ejemplo sencillo de optimización, puede ser minimizar (o maximizar) una función de variable real. Por ejemplo, minimizar x2 , x ∈ R Basta ver que la función x2 es convexa y por tanto, en x = 0 se alcanza un mı́nimo. é Cambiando el problema por: minimizar x2 , x ∈ (0, ∞) La respuesta anterior deja de ser cierta, ya que para todo x1 ∈ (0, ∞), siempre existe x2 ∈ (0, ∞), tal que f (x1) f (x2). 10 / 36
  • 11. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes ␣ Sea S ⊆ Rn, un conjunto y f : S −→ R. Entonces, el problema minimizar f (x) , x ∈ S ¿Este problema tiene solución? Si existe, ¿es única? No tiene sentido buscar la solución de un problema si no sabemos que existe. La teorı́a de Optimización, nos dice si tiene sentido buscarla. ␣ En términos de algoritmos: Una condición suficiente, nos dice si tiene sentido buscar una solución del problema y una condición necesaria, nos da un criterio para saber si la hemos encontrado. Optimización f tiene extremos ←→ f función objetivo 11 / 36
  • 12. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Consideraciones Importantes Teorema [Weierstrass] Si f es una función continua en S y S es compacto, entonces existe x∗ ∈ S, tal que f (x) ≥ f (x∗), para todo x ∈ S. ✓ Hipótesis sobre la función objetivo: f es continua. Hipótesis sobre el conjunto de soluciones factibles: S es un compacto. Tesis del teorema: Existe un mı́nimo que se alcanza en x∗. Las hipótesis sobre la función objetivo y el conjunto de soluciones factibles conforman las condiciones suficientes para la existencia de un mı́nimo. ¿Las condiciones Necesarias? Si f es diferenciable y x∗ realiza un mı́nimo, entonces ∇f (x∗) = 0. 12 / 36
  • 13. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Modelación Matemática Modelación Matemática          min x∈X f (x) Sujeto a: h(x) = 0 g(x) ≤ 0 x ∈ X O bien,          max x∈X f (x) Sujeto a: h(x) = 0 g(x) ≤ 0 x ∈ X x, representa las variables del problema, dispuestas en un cierto dominio X. f (x), representa la función objetivo del problema, la cual se quiere optimizar (Maximizar o Minimizar). h(x) = 0 y/o g(x) ≤ 0, representan las restricciones del problema. 13 / 36
  • 14. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Modelación Matemática ␣ Encontrar el punto de la recta ℓ := ax + by = c más cercano a (x0, y0) ∈ R2. Ejemplo 3 [a = b = 1 , c = 2 , (x0, y0) = (2, 2)] Encontramos el punto de la recta x + y = 2 más cercano a (2, 2). Modelación Matemática      min x∈X f (x) Sujeto a: h(x) = 0 x ∈ X      min (x,y)∈R2 (x − 2)2 + (y − 2)2 Sujeto a: x + y − 2 = 0 (x, y) ∈ R2 3 Problema 1 Hallar la solución del Ejemplo 3 14 / 36
  • 15. Curso: Optimización - Sesión: 1 Introducción informal a la optimización matemática Modelación Matemática Ejemplo 4 Determinar el valor mı́nimo de x, considerando que x2 ≤ y y además, x2 + y2 ≤ 2. Modelación Matemática      min (x,y)∈R2 x Sujeto a: x2 ≤ y x2 + y2 ≤ 2 Problema es equivalente al resuelto en el Ejemplo 3. 15 / 36
  • 16. Curso: Optimización - Sesión: 1 Definiciones básicas Diferenciabilidad 16 / 36
  • 17. Curso: Optimización - Sesión: 1 Definiciones básicas Diferenciabilidad Ejemplo 5 Consideramos la función: f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + yz − xz y nos preguntamos por sus extremos relativos. Solución: Sabemos que: ∇f (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x + z, 2z + y − x) Luego, ∇f (x, y, z) = 0, si y solo si, el sistema    2x − y − z = 0 2y − x + z = 0 2z + y − x = 0 tiene solución, pero 2 −1 −1 2 −1 1 2 1 −1 ̸= 0 Por tanto, la solución es única y (x, y, z) = (0, 0, 0). 17 / 36
  • 18. Curso: Optimización - Sesión: 1 Definiciones básicas Diferenciabilidad Más aún. la matriz Hessiana en (0, 0, 0) está dada por: Hf (0, 0, 0) =   2 −1 −1 −1 2 1 −1 1 2   donde: M1 = 2 , M2 = 2 −1 −1 2 = 3 y M3 = |Hf (0, 0, 0)| = 4 Luego, H(0, 0, 0) es definida positiva y por tanto, f (0, 0, 0) = 0 es un mı́nimo local, que en su defecto también es global. ✓ 18 / 36
  • 19. Curso: Optimización - Sesión: 1 Definiciones básicas Diferenciabilidad Ejemplo 6 Consideramos la función: f (x, y) = x3 − 12xy + 8y3 y nos preguntamos por sus extremos relativos. Solución: En este caso, ∇f (x, y) = (3x2 − 12y, −12x + 24y2), lo que nos proporciona dos puntos crı́ticos: (0, 0) y (2, 1). La matriz Hessiana, está dada por: Hf (x, y) = 6x −12 −12 48y Con esto podemos ver que en (0, 0) hay un punto de silla y en (2, 1), hay un mı́nimo. (Usar autovalores) 19 / 36
  • 20. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización 20 / 36
  • 21. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Consideramos ahora las funciones g : U −→ Rm y h : U −→ Rp. En su forma más general, un problema de optimización tiene la forma:          min x∈U f (x) Sujeto a: h(x) = 0 g(x) ≤ 0 x ∈ U O bien,          max x∈U f (x) Sujeto a: h(x) = 0 g(x) ≤ 0 x ∈ U ␣ Aquı́ g(x) ≤ 0 se debe interpretar de la manera siguiente: Si nombramos g(x) = (g1(x), . . . , gm(x)), entonces g(x) ≤ 0 si gi (x) ≤ 0, para todo i = 1, . . . , m. ␣ De manera similar se interpreta la condición h(x) = 0. Hay otras formas generales de escribir problemas de optimización. Ésta se llama forma estándar. 21 / 36
  • 22. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Ejemplo 7 [Una variable] Se necesita hallar el máximo de de la función f (x) = x3 − 2x + 3, siempre que x ≤ 1. Solución: Al ser un polinomio de grado 3, resulta evidente que tiene al menos una raı́z real y usando el teorema de Bolzano, resulta también sencillo verificar que f (x) = 0, si y sólo si, x ∈ [−2, 1]. Planteamiento      max x∈R x3 − 2x + 3 Sujeto a: x ≤ 1 x ∈ R 22 / 36
  • 23. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Ejemplo 8 [Dos variables] Se necesita hallar el máximo de la función f (a, b) = sen2(a) cos(b), siempre que a, b ∈ (0, 2π]. Solución: Este caso resulta un poco más complicado, en efecto si usamos Matlab queda: Planteamiento      max (a,b)∈R2 sen2(a) cos(b) Sujeto a: a ∈ (0, 2π] b ∈ (0, 2π] 23 / 36
  • 24. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Reflexiones ➊ Es posible formular un problema de diversas maneras. Por tanto, no existe una formulación única. ➋ Si se quiere minimizar f (x), también se puede maximizar −f (x) ➌ Resulta necesario uniformizar la formulación, para ası́ generar un método. Definición [Región factible] La región factible F de un problema de optimización, es el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del problema, es decir: F = {x ∈ X : h(x) = 0, g(x) ≤ 0} 24 / 36
  • 25. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización En consecuencia, Definición [Solución factible] Se dice que x ∈ X es una solución factible, si y sólo si x ∈ F. ✓ ¿Cuál de estas soluciones interesan? La solución que interesa, es la que proporciona el valor más favorable de la función objetivo. 25 / 36
  • 26. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Definición [Solución óptima] Sea x∗ ∈ F. Entonces, x∗ es una solución óptima siempre que: ➀ f (x) ≤ f (x∗), para todo x ∈ F si el objetivo es maximizar f . ➁ f (x) ≥ f (x∗), para todo x ∈ F si el objetivo es minimizar f . Para los ejemplos anteriores, tenemos que las regiones factibles están dadas por: 3 Ejemplo 7 F = {x ∈ R : x ≤ 1} = (−∞, 1]. Por ejemplo, x = 0 es una solución factible, pero x = q 2 3 es la solución óptima. 3 Ejemplo 8 F = {(a, b) ∈ R2 : 0 a, b ≤ 2π}. Por ejemplo, (a, b) = (π, π) es una solución factible, pero (a, b) = π 2 , 2π es una solución óptima. 26 / 36
  • 27. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Entonces, podemos clasificar en distintos tipos de problemas: ➊ Optimización sin restricciones: Un problema sin restricciones se puede interpretar como el problema anterior con g y h siendo funciones idénticamente nulas (o, si se quiere, tomando m = p = 0). ➋ Optimización con restricciones de desigualdad: Tomamos m ̸= 0 y p = 0. ➌ Optimización con restricciones de igualdad: Tomamos m = 0 y p ̸= 0. ➍ Optimización con restricciones mixtas: Tomamos m ̸= 0 y p ̸= 0. ➎ Optimización lineal: Cuando la función objetivo es de la forma cT x, esto es, una función lineal. 27 / 36
  • 28. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Clasificación de Problemas de Optimización ➊ De acuerdo a la forma de f (x) y las restricciones: Programación Lineal: f (x) y las restricciones son lineales. Programación No Lineal: f (x) es no lineal y las restricciones pueden ser no lineales. ➋ De acuerdo a la presencia o no de restricciones: Optimización No Restringida: El problema de optimiza- ción no tiene restricciones. Optimización Restringida: El problema de optimización tiene restricciones. 28 / 36
  • 29. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Clasificación de Problemas de Optimización ➌ Según su dimensionalidad: Optimización Unidimensional: Función objetivo de una variable. Optimización Multidimensional: Función objetivo de varias variables. ➍ Según el número de funciones objetivo: Optimización con un Objetivo: Una sola función objetivo. Optimización con múltiples funciones Objetivo: Varias funciones objetivo. 29 / 36
  • 30. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Teorema (Karush - Kuhn - Tucker) Consideramos un problema de optimización en forma estándar con f , g y h funciones de clase C 1. Sea F = {x ∈ U : h(x) = 0, g(x) ≤ 0} el conjunto de las soluciones factibles y x0 ∈ F. Entonces: ➀ Si f es una función convexa, F es un conjunto convexo y x0 realiza un mı́nimo local, entonces x0 realiza también un mı́nimo global. 30 / 36
  • 31. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Continuación . . . ➁ Si f , gi son funciones convexas y hj = Aj x + bj , j = 1, . . . , p con Aj matrices n × p y bj ∈ Rp. Entonces dado x0 ∈ F, si existen constantes µi ≥ 0, i = 1, . . . , m y j , j = 1, . . . , p, tales que: ∇f (x0) = m X i=1 µi ∇gi (x0) + p X j=1 λj ∇hj (x0) = 0 y µi gi (x0) = 0 , i = 1, . . . , m entonces x0 realiza un mı́nimo global. ✓ 31 / 36
  • 32. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Optimización Discreta Generalizando un poco más la escritura de nuestro problema de optimización, podemos escribir: ( min x∈X f (x) Sujeto a: x ∈ F donde f es un campo escalar. Consideremos X un conjunto discreto, entonces: 1 X = Rn (Variables enteras) 2 X = {0, 1}n (Variables binarias) 3 X = Rr × Zs × {0, 1}t (posiblemente con r = 0, s = 0 o t = 0 - Variables mixtas) 32 / 36
  • 33. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Ejemplo Supongamos que, en una empresa, hay n trabajos a repartir entre n trabajadores. Supongamos también que pretendemos asignar a cada persona un solo trabajo. Supongamos que el costo de que el trabajador i realice el trabajo j es cij . El costo se puede asignar de distintas maneras, por ejemplo, puede ser el tiempo estimado tardará el trabajador i a completar el trabajo j. Nos planteamos el problema de realizar la asignación de trabajos minimizando el costo. Tomamos X = {0, 1}n2 . Convendremos que xij = 1 si al trabajador i se le asigna el trabajo j y xij = 0 en otro caso. Como cada a cada trabajador se le puede asignar un sólo trabajo, tenemos la restricción: n X j=1 xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n 33 / 36
  • 34. Curso: Optimización - Sesión: 1 Clasificación de Problemas de Optimización Como todo trabajo tiene que ser asignado, tenemos la restricción n X i=1 xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n. El costo total de cada asignación será n X j=1 n X i=1 cij xij . En particular, podemos escribir el problema de optimización como minimizar    min Pn j=1 Pn i=1 cij xij Sujeto a: Pn i=1 xij = 1 , j = 1, 2, . . . , n. Pn j=1 xij = 1 , i = 1, 2, . . . , n. Podemos clasificar este problema como un problema lineal de variables binarias con restricciones. 34 / 36
  • 35. Curso: Optimización - Sesión: 1 Recomendaciones Recomendaciones 1 Realizar una revisión de Álgebra Básica Polinomios - Raı́ces. Evaluación de Funciones. 2 Realizar un repaso exhaustivo de Cálculo Diferencial. Derivadas de funciones básicas - Propiedades. Cálculo de Valores Extremos. 3 Realizar un repaso del Cálculo Multivariable. Funciones de varias variables. Derivadas Parciales - Gradiente - Jacobiano - Hessiano. 4 Revisar algunos conceptos de Álgebra Lineal, tales como: Matrices Sistemas de Ecuaciones Formas cuadráticas 35 / 36
  • 36. Curso: Optimización - Sesión: 1 Recomendaciones UNIVERSIDAD INTERNACIONAL DE LA RIOJA 36 / 36