Este documento describe el modelo químico de Rössler, diseñado para estudiar reacciones químicas oscilantes. El modelo involucra tres ecuaciones diferenciales que describen las concentraciones de sustancias en la reacción. Para ciertos valores de los parámetros, el modelo exhibe comportamiento caótico sin alcanzar un estado estacionario. Adicionalmente, el documento analiza la linealización del modelo a través de la matriz jacobiana para predecir la estabilidad del sistema linealizado cerca del punto de equilibrio.

1. Modelo químico de Rössler
Adalberto Cortés Ruiz. Septiembre 2016, Facultad de Ingeniería Química
Éste modelo fue diseñado por el biólogo alemán Otto Rössler al estudiar las oscilaciones en la
reacción química de Belousov-Zhabotinsky1
(Grimalt & Pujol, 1999), que es la oxidación de ácido
malónico (C3H4O4) mediante bromato en presencia de iones metálicos (BrO3
-
), llegando a dar un
modelo que tenía un comportamiento caótico para ciertos valores de los parámetros (htt).
 
dx
y z
dt
dy
x ay
dt
dz
b z x c
dt
  
 
  
(3.1)
Donde x, y y z son las concentraciones de sustancias en las reacciones químicas estudiadas por
Rössler; a, b y c son parámetros cuyos valores dados por el mismo Rössler son a=b=0.2 y c=5.7. Con
condiciones iniciales x(0)=0, y(0)=-6.7 y z(0)=0.02
Figura 1. modelo de Rössler aplicado a una reacción oscilante, el parámetro c cuando es mayor a 5 el sistema se vuelve
caótico
De la figura 1, es posible notar en las gráficas de concentración contra tiempo que no es posible
alcanzar un término estable (estado estacionario) debido a que es un sistema con comportamiento
1
Una reacción oscilante se encuentra en una situación fuera del equilibrio, si las oscilaciones son
periódicas, es posible encontrar un régimen regular. En caso contrario se encuentra un régimen
caótico.

2. de flujo aperiódico (caótico). Aun así, para un sistema periódico oscilatorio, como el caso del
biorreactor, el estado estacionario se define como la amplitud de la onda oscilatoria. En éste caso
no se presenta una amplitud constante pero sí es posible dar un valor aproximado estimado para
los valores correspondientes a un estado estacionario, 0 0 0 0x y z   .
0 1 1
1 0
0
f f f
x y z
g g g
J a
x y z
z x c
h h h
x y z
   
       
                  
 
   
(3.2)
Para la linealización, se determina la matriz Jacobiana del sistema (3.1). A partir de la matriz
Jacobiana y los valores iniciales estimados ( 0 0 0, ,x y z ) es posible predecir si la linealización será
estable o no a partir del cálculo de los eigenvalores λ. Si λ contiene algún valor con signo negativo,
por (Torres Henao, 2013) se puede asegurar que la linealización tendrá una geometría de foco o
punto inestable, (figura 2).
Tabla 1. Eigenvalores para la matriz jacobiana (3.2)
λ1 λ2 λ3
0.1000 + 0.9950i 0.1000 - 0.9950i -5.7000 + 0.0000i
     
     
   
,
, ,,
,
, ,,
,
, ,
,
, ,,
,
, ,,
,
, ,
( , , )
( , , )
( , , )
o o o
o o o o o oo o o
o o o
o o o o o oo o o
o o o
o o o o o o
o o ox y z
x y z x y zx y z
o o ox y z
x y z x y zx y z
o ox y z
x y z x y z
dx f f f
f x y z x x y y z z
dt x y z
dy g g g
g x y z x x y y z z
dt x y z
dz h h
g x y z x x y y
dt x y
  
      
  
  
      
  
 
     
 
 
,,o o o
o
x y z
h
z z
z



(3.3)
Si cada derivada parcial que compone a la matriz (3.2) se sustituye en (3.3) se obtiene un polinomio
que debería aproximarse al sistema no lineal (3.1) en los puntos 0 0 0,x y zy .

3. Figura 2. La linealización se vuelve inestable y tiende a infinito
Figura 3. comparación del sistema no lineal con su linealización en x0=5.75
Tabla 2. eigenvalores correspondientes a la linealización con los parámetros de la figura 3
λ1 λ2 λ3
0.0993 + 1.0000i 0.0993 - 1.0000i 0.0515 + 0.0000i