Relaciones Métricas en el triángulo Rectángulo

1. Repasemos
Dados los cuadrados ABCD y BEFG, tal que E se encuentra en la región
exterior BC, si AM =15 y M es el punto medio de BG , calcule DO (O: centro
del cuadrado BEFG).

2. RELACIONES
MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS

3. O
b
j
e
t
i
v
o
s
Relacionar longitudes de
segmentos y medidas angulares a
través de la semejanza de figuras.
Calcular longitudes de segmentos
o elementos relacionados a las
figuras antes mencionadas.

4. Proyecciones
A
M
B
C
C´ B´A´
Observando la
imagen , ¿Qué
entiendes por
proyecciones?

5. N´
P
P´
D
C
E´ M´
N
S´R´
SR
M
Proyección de un segmento sobre una recta es el segmento
cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de
dicho segmento.
Se llama proyección o proyección ortogonal de un punto
cualquiera sobre una recta al pie de la perpendicular bajada
a la recta, desde el punto.

6. Cuando el segmento es paralelo
a la recta, su proyección es igual
a él.
Si el segmento es perpendicular a
la recta, la proyección es un
punto.
S´R´
SR
La perpendicular se llama
proyectante
N´
P
P´
N

7. Elementos:
a, b : Catetos
c : Hipotenusa
h: altura del ángulo recto
relativa a la hipotenusa.
m: Proyección ortogonal
del cateto “a” sobre c.
n: Proyección ortogonal
del cateto “b” sobre c .

8. Teorema
En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la longitud de un cateto
es igual al producto de las longitudes
de la hipotenusa y la proyección
ortogonal de dicho cateto respecto a
la hipotenusa.

9. Demostración
…(A-A-
A)𝑐
𝑏
=
𝑚
𝑐
Analógicamente se cumple:
Además de (I) / (II)
I)
II)

10. Teorema de Pitágoras
En todo triangulo , el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual ala
suma de los cuadrados de las
longitudes de sus catetos.

11. Teorema
El todo triangulo rectángulo ,el cuadrado de la
longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual
al producto de las longitudes de las proyecciones
ortogonales de los catetos respecto de dicha
hipotenusa.

12. Teorema
En todo triángulo rectángulo, el
producto de las longitudes de
sus catetos es igual al producto
de las longitudes de la
hipotenusa y la altura relativa a
dicha hipotenusa.

13. Teorema
En todo triangulo rectángulo , la
inversa del cuadrado de la
longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es igual a la suma
de las inversas de los
cuadrados de las longitudes de
sus catetos .

14. Teorema
En todo semicircunferencia el cuadrado de la longitud de una cuerda ,
consecutiva al diámetro es igual al producto de longitudes del diámetro y la
proyección ortogonal de la cuerda respecto a dicho diámetro.

15. Teorema
En toda semicircunferencia , el
cuadrado de la perpendicular
trazada desde un punto de ella
, hacia el diámetro es igual al
producto de las longitudes de
los segmentos determinado por
el pie de la perpendicular en el
diámetro.

16. Teorema
Dadas dos circunferencias tangentes exteriores, la longitud del segmento tangente
común exterior a dichas circunferencias es igual a dos veces la raíz cuadrada del
producto de los radios de dichas circunferencias.

17. Problemas Propuestos
En un triángulo
rectángulo ABC, recto
en B, en AC y en la
prolongación de BP se
ubican los puntos P y
Q respectivamente.
Si m<BQC – m<BCP =
m<PCQ = 45 ,BP= 3 y
PQ = 2. Calcula AC.

20. Bibliografías
Definiciones y/o
conceptos
Ejercicios de
Apoyo
Geometría “ una visión de la planimetría”
https://www.youtube.com/watch?v=3rsm2DyvaR
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