El siguiente tema explica de forma breve la ley de Biot Savart de forma explicita

2.
La
La ley de Biot-Savart
ley de Biot-Savart indica el
indica el
campo magnético
campo magnético
creado por
creado por
corrientes estacionarias
corrientes estacionarias.
.
En el caso de corrientes qu
En el caso de corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un
e circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un
elemento
elemento infinitesimal
infinitesimal de
de longitud
longitud del
del circuito
circuito recorrido
recorrido por
por una
una corriente
corriente crea
crea una
una
contribución
contribución elemental
elemental de
de campo
campo magnético,
magnético, ,
, en
en el
el punto
punto situado
situado en
en la
la posición
posición que
que apunta
apunta
el
el vector
vector a
a una
una distancia
distancia R
R
respecto
respecto de
de ,
, quien
quien apunta
apunta en
en dirección
dirección a
a la
la corriente
corriente I:
I:
donde μ
donde μ0
0 es la
es la
permeabilidad magnética
permeabilidad magnética
del
del vacío,
vacío, y
y es
es un
un vector
vector unitario.
unitario.
En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen
En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen
de la distribución, viene dado por
de la distribución, viene dado por
donde
donde es
es la
la
densidad de corriente
densidad de corriente
en el elemento de volumen
en el elemento de volumen dv
dv
y
y es
es la
la posición
posición relativa
relativa del
del
punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.
punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.
En ambos casos, el campo
En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el
final resulta de aplicar el
principio de superposición
principio de superposición
a través de la
a través de la
expresión
expresión

4.
en la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.
en la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.
La ley de Biot-Savart es fundamental en
La ley de Biot-Savart es fundamental en
magnetostática
magnetostática
tanto como la
tanto como la
ley de Coulomb
ley de Coulomb
lo es en
lo es en
electrostática
electrostática.
.
Definimos también, elemento de corriente a la intensidad
Definimos también, elemento de corriente a la intensidad que circula por un elemento
que circula por un elemento de longitud
de longitud
dl.
dl.
I·dl=dq·v
I·dl=dq·v
Ley de Biot-Savart generalizada.
Ley de Biot-Savart generalizada.
El campo es directamente proporcional al elemento de corriente que produce B (intensidad de
El campo es directamente proporcional al elemento de corriente que produce B (intensidad de
campo magnético) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un punto. Su
campo magnético) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un punto. Su
dirección es perpendicular al elemento de corriente y al vector posición
dirección es perpendicular al elemento de corriente y al vector posición
B= Km · Idl x ûr / r2
B= Km · Idl x ûr / r2
Ejercicio Básico :
Ejercicio Básico :
Con una velocidad v= 2î + j - 3k m/s, un electrón se mueve en una región del espacio en la que el
Con una velocidad v= 2î + j - 3k m/s, un electrón se mueve en una región del espacio en la que el
campo magnético viene dado por B = 0,3î - 0,02j (T). ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el? ¿Y su
campo magnético viene dado por B = 0,3î - 0,02j (T). ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el? ¿Y su
módulo?
módulo?
E.1
E.1 La
La ley
ley de
de Biot-Savart
Biot-Savart


En este
En este capítulo se analizaron
capítulo se analizaron los campos magnéticos
los campos magnéticos creados por
creados por conductores de
conductores de
corriente eléctrica, en algunos casos particulares, y se afirmó que es posible, mediante
corriente eléctrica, en algunos casos particulares, y se afirmó que es posible, mediante
experimentos, establecer las siguientes relaciones para los módulos de esos campos
experimentos, establecer las siguientes relaciones para los módulos de esos campos
magnéticos.
magnéticos.


Campo
Campo de
de un
un conductor
conductor rectilíneo:
rectilíneo:


Campo
Campo en
en el
el centro
centro de
de una
una espira
espira circular:
circular:


Campo
Campo de
de un
un solenoide:
solenoide:

6.
En esta sección se determinarán las expresiones matemáticas que proporcionan los módulos de
En esta sección se determinarán las expresiones matemáticas que proporcionan los módulos de
los campos, a partir de una Ley General de Electromagnetismo, que la mayoría de los autores de
los campos, a partir de una Ley General de Electromagnetismo, que la mayoría de los autores de
textos de física llaman Ley de Biot-Savart, en homenaje a los científicos franceses Jean Baptiste
textos de física llaman Ley de Biot-Savart, en homenaje a los científicos franceses Jean Baptiste
Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841). Ambos propusieron esa ley por los resultados que
Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841). Ambos propusieron esa ley por los resultados que
obtuvieron experimentalmente comprobados poco tiempo después de que dichos científicos
obtuvieron experimentalmente comprobados poco tiempo después de que dichos científicos
tuvieran conocimiento del experimento de Oersted (que se analizó en el capítulo anterior).
tuvieran conocimiento del experimento de Oersted (que se analizó en el capítulo anterior).
Figura E-1
Figura E-1 El
El el
elem
emen
ento
to , d
, del
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uito
to, re
, reco
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ente
te i, crea un campo elemental
i, crea un campo elemental
, en un punto
, en un punto P.
P.


La Ley de Biot-Savart.
La Ley de Biot-Savart. La figura E-1 presenta un circuito eléctrico recorrido por una
La figura E-1 presenta un circuito eléctrico recorrido por una
corriente
corriente i
i suministrada por la batería ilustrada. Fijemos nuestra atención en un trecho
suministrada por la batería ilustrada. Fijemos nuestra atención en un trecho
muy pequeño del circuito, de longitud
muy pequeño del circuito, de longitud
∆
∆, es decir, un elemento
, es decir, un elemento ∆
∆
del
del circuito. El
circuito. El
elemento
elemento ∆
∆
establece en
establece en un
un punto
punto P
P
, situado a una distancia
, situado a una distancia r
r
de ,
de , ∆
∆
un
un campo
campo
magnético
magnético
∆
∆

 de poca intensidad (o un campo elemental
de poca intensidad (o un campo elemental ∆
∆

 ). La dirección y el sentido del
). La dirección y el sentido del
vector
vector ∆
∆


p
pueden obtenerse mediante la “regla de Ampère” que se estudió en la sección
ueden obtenerse mediante la “regla de Ampère” que se estudió en la sección
24.1. Usted puede aplicar esta regla para verificar que en la figura E-1, el vector
24.1. Usted puede aplicar esta regla para verificar que en la figura E-1, el vector
∆
∆

 , en el
, en el
punto
punto P
P
,
, está “entrando” en la hoja de papel, como se indica.
está “entrando” en la hoja de papel, como se indica. (Si la corriente tuviera
(Si la corriente tuviera
sentido contrario al mostrado en la figura E-1, el vector
sentido contrario al mostrado en la figura E-1, el vector
∆
∆


estaría
estaría saliendo
saliendo de
de la
la hoja).
hoja).
Para determinar el módulo d
Para determinar el módulo d

∆
∆

 e
e los científicos estudiaron los
los científicos estudiaron los campos magnéticos creados
campos magnéticos creados
por conductores de diversas formas y llegaron a esta conclusión:
por conductores de diversas formas y llegaron a esta conclusión:
1)
1) es
es proporcional
proporcional a
a la
la intensidad
intensidad de
de la
la corriente
corriente i
i
, que pasa por el elemento
, que pasa por el elemento
2)
2) dep
depend
ende
e de
de la
la lon
longitud
gitud y
y del
del ángu
ángulo
lo .
. Form
Formado
ado por
por el
el elem
elemento
ento con
con el
el
segmento que une ese elemento al punto
segmento que une ese elemento al punto P
P
( véase figura E-1), llegando a la siguiente
( véase figura E-1), llegando a la siguiente
relación:
relación:
3)
3) es
es inversamente
inversamente proporcional
proporcional al
al cuadrado
cuadrado de
de la
la distancia
distancia r
r
entre
entre
Al asociar es
Al asociar esos resulta
os resultados en u
dos en una relació
na relación única,
n única, se tiene:
se tiene:

8.
Como se sabe, una relación de proporcionalidad puede transformarse en una igualdad por la
Como se sabe, una relación de proporcionalidad puede transformarse en una igualdad por la
introducción de una constante apropiada. Considerando el circuito de la figura E-1 en el vacío (o
introducción de una constante apropiada. Considerando el circuito de la figura E-1 en el vacío (o
en
en el
el aire),
aire), es
es decir,
decir, sin
sin una
una influencia
influencia de
de medios
medios materiales, se
materiales, se distinguirá
distinguirá la
la constante
constante
correspondiente a esa situación. Se tendrá entonces:
correspondiente a esa situación. Se tendrá entonces:
Esta expresión, que proporciona el módulo del campo magnético creado por un elemento de
Esta expresión, que proporciona el módulo del campo magnético creado por un elemento de
corriente, es la expresión matemática de la ley de Biot-Savart, de gran importancia en el estudio
corriente, es la expresión matemática de la ley de Biot-Savart, de gran importancia en el estudio
de Electromagnetismo, porque a partir de ella es posible calcular el campo magnético establecido
de Electromagnetismo, porque a partir de ella es posible calcular el campo magnético establecido
por conductores diversos (alambre rectilíneo, solenoide, etc.). Se efectúa ese cálculo aplicando la
por conductores diversos (alambre rectilíneo, solenoide, etc.). Se efectúa ese cálculo aplicando la
ley de Biot-Savart a cada elemento que constituye el conductor y calculando la suma vectorial de
ley de Biot-Savart a cada elemento que constituye el conductor y calculando la suma vectorial de
los resultados, para obtener el campo establecido por el conductor como un todo, como se verá
los resultados, para obtener el campo establecido por el conductor como un todo, como se verá
en la sección siguiente.
en la sección siguiente.


Comentarios.
Comentarios.
1)
1) Como ya se
Como ya se vio, el módulo
vio, el módulo del campo magnético, creado
del campo magnético, creado en un pun
en un punto por
to por un pequeño
un pequeño
elemento, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del elemento al
elemento, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del elemento al
p
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un
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vá
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da
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también, como ya se estudió, para el campo eléctrico (creado por una carga puntual) y
también, como ya se estudió, para el campo eléctrico (creado por una carga puntual) y
para el campo gravitacional (creado por una masa puntual).
para el campo gravitacional (creado por una masa puntual).
2)
2) Se
Se debe
debe señ
señalar
alar que
que dep
depende
ende del
del áng
ángulo
ulo mostr
mostrado
ado en
en la
la figu
figura
ra E-1
E-1 .
. Por
Por la
la ley
ley
d
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Bi
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-S
Sa
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en los
los pu
punt
ntos
os
situados sobre su recta soporte (Fig. E-2) Para un valor dado de
situados sobre su recta soporte (Fig. E-2) Para un valor dado de r
r el valor mayor de
el valor mayor de
ocurrirá
ocurrirá cuando
cuando =
= 90º,
90º, o
o sea,
sea, para
para puntos
puntos tales
tales que
que el
el segmento
segmento r
r
sea
sea
pe
perp
rpen
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, com
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o se i
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ica e
a en l
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a fi
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ra E-
E-2.
2.

10.
3)
3) Ya
Ya dij
dijimo
imos
s que
que la
la con
consta
stante
nte que
que ap
apare
arece
ce en
en la
la ec
ecuac
uación
ión
se refiere a la situación en que el conductor que crea el campo magnético está situado
se refiere a la situación en que el conductor que crea el campo magnético está situado
en el vacío (o en el aire). En ese caso el valor
en el vacío (o en el aire). En ese caso el valor de la
de la constante…
constante… en el
en el SI, es
SI, es
En presencia de medio materiales, ya sabemos que el módulo del campo magnético se
En presencia de medio materiales, ya sabemos que el módulo del campo magnético se
modifica
modifica y
y la
la constante
constante se
se constituye
constituye por
por una
una constante
constante C
C
, cuyo valor depende del
, cuyo valor depende del
medio en el cual está sumergido el conductor.
medio en el cual está sumergido el conductor.
4)
4) Con el
Con el fin de
fin de simplifi
simplificar algunas
car algunas ecuaciones de
ecuaciones de electromagneti
electromagnetismo, se
smo, se acostumbre
acostumbre
in
intr
trod
oduc
ucir
ir un
una c
a con
onst
stan
ante
te , d
, den
enom
omin
inad
ada
a permeabi
permeabilidad del v
lidad del vacío
acío, cuyo valor es:
, cuyo valor es:
Por
Por tanto,
tanto, y
y la
la ley
ley de
de Biot-Savart,
Biot-Savart, cuando
cuando se
se usa
usa esa
esa nueva
nueva constante,
constante,
toma la siguiente forma:
toma la siguiente forma:
∆
∆ =
=

0
0
4
4

∆
∆

2
2
Evidentemente,
Evidentemente, en
en presencia
presencia de
de un
un medio
medio material,
material, la
la constante
constante deberá
deberá sustituir
sustituirse
se por
por una
una
constante denominada
constante denominada permeabili
permeabilidad del me
dad del medio
dio.
.
En el nivel de este curso, es indiferente trabajar con la ley de Biot Savart usando la constante
En el nivel de este curso, es indiferente trabajar con la ley de Biot Savart usando la constante
(
( )
) o
o l
la
a c
co
on
ns
st
ta
an
nt
te
e .
.
EJERCICIOS
EJERCICIOS
Antes de
Antes de pasar al es
pasar al estudio de la
tudio de la próxima se
próxima sección, resu
cción, resuelva las
elva las
preguntas siguientes, consultando el
preguntas siguientes, consultando el apunte
apunte siempre que
siempre que sea
sea
necesario.
necesario.
1.
1. a) A
a) A partir de
partir de la expresión matemática de
la expresión matemática de la ley
la ley de Biot
de Biot
Sa
Sava
vart,
rt, de
deter
termin
mine en
e en el
el SI
SI, la
, la un
unida
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e que
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en el
el SI
SI la
la un
unid
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de es
es N/
N/A ·
A · m)
m)

12.
b) D
b) Dete
etermi
rmine t
ne tam
ambié
bién, e
n, en el S
n el SI, la
I, la un
unida
idad de
d de la p
la perm
ermea
eabil
bilida
idad
d .
.
2.
2. Si
Si se mide
se mide la
la permeabilidad magnética de
permeabilidad magnética de tres medios
tres medios materiales:
materiales: M, N y P
M, N y P
, se encuentra:
, se encuentra:
- medio
- medio M
M
:
: u
un
n p
po
oc
co
o m
me
en
no
or
r q
qu
ue
e .
.
- medio
- medio N
N
:
: un
un poco
poco mayor
mayor que
que
- medio
- medio P
P
:
: mucho
mucho mayor
mayor que
que
Cada uno de los medios
Cada uno de los medios M, N Y P
M, N Y P
, ¿es paramagnético, diamagnético o ferromagnético?
, ¿es paramagnético, diamagnético o ferromagnético?
Explique.
Explique.
3.
3. Una espira circular, de radio
Una espira circular, de radio R =
R = 10 cm, situada
10 cm, situada en el aire, es
en el aire, es recorrida por una corriente
recorrida por una corriente i
i
= 5
= 5.1
.1A.
A. Co
Cons
nsid
ider
ere e
e el el
l elem
emen
ento
to = 1
= 1.0
.0 mm d
mm de e
e esa
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espi
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ra y un
un pu
punt
nto
o F
F situado a una
situado a una
distancia
distancia R
R
de
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, como
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muestr
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a la fig
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ura de e
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. ¿Cuá
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co
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que
ue E
Est
sta
ab
ble
lece
ce e
en
n F
F
?
?
4.
4. Considerando la
Considerando la situación descrita en
situación descrita en el ejercicio anterior, de
el ejercicio anterior, determine el
termine el módulo, la
módulo, la
di
direc
recció
ción y
n y el
el sen
sentid
tido d
o del
el cam
campo
po ma
magné
gnétic
tico q
o que
ue est
establ
ablec
ece en
e en el
el cen
centro
tro C
C de la espira.
de la espira.
5.
5. Considerando, también, la
Considerando, también, la situación del e
situación del ejercicio 3, de
jercicio 3, determine el
termine el módulo del
módulo del campo
campo
ma
magn
gné
éti
tico
co qu
que
e e
est
stab
able
lece
ce e
en
n e
el
l pu
pun
nto
to D
D mostrado en la figura del ejercicio.
mostrado en la figura del ejercicio.
6.
6. En
En la figura
la figura del ejercicio 3,
del ejercicio 3, tómese otro
tómese otro elemento de
elemento de la espira
la espira ’ = 0,80 mm.
’ = 0,80 mm.
a) ¿ Cuál es el módulo, la dirección y el sentido del campo
a) ¿ Cuál es el módulo, la dirección y el sentido del campo ’
’que
que ’
’ establece en el
establece en el
centro
centro C
C de la espira?
de la espira?
b)
b) ¿Cuál
¿Cuál es
es el
el módulo
módulo del
del campo
campo magnético
magnético que
que y
y ’
’, en conjunto, establecen en
, en conjunto, establecen en
el centro de la espira?
el centro de la espira?
APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART
APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART


Campo magnético en el centro de una espira circular.
Campo magnético en el centro de una espira circular. Considérese una espira
Considérese una espira
cicular, de radio
cicular, de radio R
R
, recorrida por una corriente
, recorrida por una corriente i
i
, como la de la figura E-3. En la
, como la de la figura E-3. En la
sección 24.2, se vio que el módulo del campo magnético
sección 24.2, se vio que el módulo del campo magnético
creado por la corriente
creado por la corriente i
i
en el centro de la espira, es
en el centro de la espira, es
tal
tal que
que Ahora,
Ahora, aplicando
aplicando la
la ley
ley Biot-
Biot-
Savart, se obtendrá la expresión matemática que
Savart, se obtendrá la expresión matemática que
proporciona
proporciona el
el módulo
módulo de
de .
. Considerando
Considerando un
un elemento
elemento
cualquiera de la espira, vemos que al observar el
cualquiera de la espira, vemos que al observar el
sentido de la corriente y utilizando la regla de Ampére,
sentido de la corriente y utilizando la regla de Ampére,
que ese elemento crea, en el centro de la espira, un
que ese elemento crea, en el centro de la espira, un
c
ca
am
mp
po
o m
ma
ag
gn
né
ét
ti
ic
co
o que “entra” en el plano de la
que “entra” en el plano de la
espira, en el plano de la Figura E-3 Además de eso, la
espira, en el plano de la Figura E-3 Además de eso, la
fig
figur
ura
a no
nos
s mue
muest
stra
ra que
que =
= 90
90º
º (se
(sen
n =
= 1)
1) y
y que
que r=
r=
R
R
.Por tanto, la ley de Biot-Savart proporciona:
.Por tanto, la ley de Biot-Savart proporciona: