Este documento describe el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. El movimiento oscilatorio es periódico alrededor de un punto de equilibrio estable. El movimiento armónico simple se caracteriza porque la posición del oscilador respecto al equilibrio se expresa como una función coseno o seno con amplitud, frecuencia y fase.

1. OSCILACIONES

2. El movimiento oscilatorio es un movimiento
periódico en torno a un punto de equilibrio
estable. Los puntos de equilibrio mecánico
son, en general, aquellos en los cuales la
fuerza neta que hace trabajo sobre la partícula
es cero. Si el equilibrio es estable, un
desplazamiento de la partícula con respecto a
la posición de equilibrio (elongación) da lugar
a la aparición de una fuerza restauradora que
devolverá la partícula hacia el punto de
equilibrio.
En términos de la energía potencial, los puntos
de equilibrio estable se corresponden con los
mínimos de la misma.

3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es el movimiento oscilatorio más sencillo y a la vez el
más fundamental. Se caracteriza matemáticamente
porque la elongación o posición del oscilador respecto a
la posición de equilibrio se expresa por la función seno o
coseno así: x ( t )  A cos(  t   )
x  elongación
A  amplitud de oscilación o máxima
elongación
  frecuencia angular

4.   fase inicial
fase del movimiento  t  
2
Período del movimiento :P 

1
Frecuencia del movimiento : 
P
Re lación entre la frecuencia angular y la frecuencia
del movimiento :   2 

5. Y
V  A
A t
t=0
 X
x

7. dx
v    A  sen ( t   )
dt
donde A   v máx máximo valor de la velocidad
a    A cos(  t   )    x
2 2
donde  A  a máx
2
máximo valor de la aceleració n

10. DIAGRAMA DE FASORES PARA EL DESPLAZAMIENTO,VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN EN EL MAS
y
A

2 A
 t  
x
 A
2

11. EJEMPLO 1:¿Qué fase α,es necesaria para que sen(θ+α)=cosθ?
EJEMPLO 2:Una pelota se deja caer desde una altura de 4.00m hace una colisión
elástica con el suelo. Si se supone que no se pierde energía mecánica debido a la
resistencia del aire,
a) Demuestre que el movimiento resultante es periódico y b)determine el
período del movimiento c)es oscilatorio este movimiento ? d)es M.A.S. este
movimiento?
ELEMPLO 3:En un motor ,un émbolo oscila con movimiento armónico simple
de modo que su posición varía según la expresión.
x(t)=(5.00cm)cos(2t+π/6) donde x se da en centímetros y t en segundos. En
t=0,encuentre:
a)La posición del émbolo , b)su velocidad c)su aceleración y d)el período y
amplitud del movimiento.

12. EJERCICIOS
1.Un movimiento armónico simple en dirección x tiene las siguientes propiedades:
amplitud máxima =0.5m,tiempo entre los valores máximo y mínimo de x es 2s y
x=0.2m cuando t=0.5s.Calcule el período ,la frecuencia angular , y la ecuación
general del movimiento
2.Una partícula unida a un resorte tiene una velocidad de v=0.4sen(ωt+π)m/s
, donde ω=2.00rad/s. Grafique x, v y a , como función del tiempo , para tres
períodos de movimiento.
3.Un oscilador armónico trabaja a una frecuencia de 58.966Hz.¿cual es la amplitud
2
para la cual la aceleración máxima es 103.57 m / s ?
4.El movimiento de una masa se puede describir mediante la función
x(t)=Asen(ωt+α), donde ω=2.0rad/s, y α=0.40rad.Exprese el movimiento como una
función coseno.
5.Un resorte tiene una constante k=0.5N/m, y una masa de 0.2kg en su extremo.
Esta masa tiene una rapidez máxima de 2.0m/s.a)¿Cuál es la frecuencia angular y el
período del sistema ? b)¿Cuál es la amplitud del movimiento?
6.Una partícula tiene movimiento armónico simple, y viaja una distancia total de
6.98cm durante un ciclo de 1.71s. a) ¿Cuál es la rapidez media de la partícula?
b) ¿Cuáles son su rapidez y aceleración máximas?

13. FUERZA Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
La segunda ley dice :
F  ma ,
pero a    x
2
F  m (   x )   m  x   kx ;
2 2
k  m
2
k
 
m
A la cons tan te k se le puede decir
cons tan te elástica

14. m 1 k
P  2 , 
k 2 m
Consideremos el caso de un oscilador masa-resorte dispuesto horizontalmente
1 1
Ek  mv  m (  A  sen ( t   ))
2 2
2 2
1
Ek  m  A sen ( t   )
2 2 2
2
1
Ek  m  A (1  cos ( t   ))
2 2 2
2

15. 1
Ek  m ( A  x )
2 2 2
2
1
Ep 
2
La energía potencial asociada con la fuerza anterior es kx
donde k es la constante de fuerza del resorte. 2
La energía mecánica total del oscilador armónico está dada por : E  E k  E p
1
E 
2
kA
2
Ejemplo : Una masa de 50g conectada a un resorte de 35N/m de constante de fuerza
oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción con una amplitud de 4cm.Encuentre:
a) La energía total del sistema.
b) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es 1.0cm.
Cuando el desplazamiento es 3cm encuentre:
c) La energía cinética
d) La energía potencial

16. Una masa de 1.2kg, fija a un resorte , tiene movimiento armónico simple , a lo largo del eje x y
su período es P=2.5s.Si la energía total del resorte y masa es 2.7J, ¿Cuál es la amplitud de la
oscilación?
Considere un M.A.S.de una masa en el extremo de un resorte
x ( t )  ( 0 . 5 m ) cos(  t   )
Cuando t=0,la posición es -0.25m y la velocidad es 1m/s en dirección-X. La energía total
del movimiento es 5J.Determinar:
a) La constante α
b) La frecuencia angular ω,la constante k y la masa m.
c) La expresión completa para la posición x(t)
d) Las expresiones completas para la velocidad v(t) y a(t)
e) En qué posiciones son iguales la energía cinética y la energía potencial.

17. En el caso del sistema masa-resorte la segunda ley de
Newton se escribe como ecuación diferencial así:
F   kx o equivalent emente
F  kx  0
2
d x
m 2
 kx  0
dt
2
d x k
2
 x0
dt m
2
d x
 x  0
2
2
dt
La solución es x ( t )  A cos(  t   ).
Todo movimiento oscilatori o que cumpla la E . D .
es armónico simple .

18. Péndulo simple

19. Dos resortes de constantes de fuerza k 1 y k 2 se unen por uno de sus extremos .El
sistema así formado se une por uno de sus extremos a una pared y el otro extremo a una
masa m. Si la masa se separa una cierta cantidad de la posición de equilibrio y la
superficie de soporte no presenta fricción , demostrar que el movimiento es armónico
simple. Encontrar la frecuencia angular de oscilación
Una masa conocida m oscila libremente en un resorte vertical con un periodo P .
Una masa desconocida m  en el mismo resorte oscila con un período P  .Determine.
a) La masa desconocida m 
b) La constante de fuerza del resorte

20. El péndulo físico

21. I  ML / 3
2
I CM  ML / 12
2
Para un sistema de partículas , su momento de inercia respecto a un eje es:
m
2
I  i
di
m1
d1
m2 d2 d4
m4
d3
m3

22. Un péndulo simple tiene una longitud de 3.0m.Determine el cambio en su
período si este se toma desde un punto donde g= 9 . 8 m / s 2 hasta una
elevación donde la aceleración en caída libre disminuye a 9 .79 m / s 2
La posición angular de un péndulo simple es:   0 .320 rad cos( 4 .43 t )
donde  viene expresado en radianes . Determinar el período y la longitud
del péndulo .
Un péndulo físico está animado de movimiento armónico simple con una
frecuencia de 0.450hz.Si el péndulo tiene una masa de 2.20kg y el pivote
está situado a 0.350m del centro de masas ,determinar el momento de
inercia del péndulo alrededor del punto de pivote.
Una barra uniforme de masa M y largo L oscila en un plano vertical
alrededor de uno de sus extremos . Encuentre el período de oscilación si la
amplitud del movimiento es pequeña.

23. SUPERPOSICIÓN DE DOS M.A.S

24. x1  A1 cos(  t   1 )
x 2  A 2 cos(  t   2 )
ahora sup erponemos los dos movimiento s:
x  x1  x 2
se puede demostrar que
x  A cos(  t   )
tenemos que det er min ar A y 

25. Ejemplo : Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos
armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:
x1  2 cos(  t   / 3 )
x 2  3 cos(  t   / 2 )
Tarea: Encontrar la ecuación de movimiento resultante de la superposición de de dos
movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:
x1  6 cos(  t )
x 2  8 cos(  t   / 3 )
Hacer el gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante.

26. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Ecuacion diferencia l del oscilador amortiguad o
2
d x dx
 2  x  0
2
2
dt dt
Dependiend o de la relación entre  y 
se tienen las siguientes soluciones :
Si    movimiento
2 2
subamortig uado

27. La solución es: x ( t )  Ae
 t
cos(  
2 2
t )

28. Si    movimiento
2 2
sobreamort iguado
  t   t
2 2 2 2
  t
x ( t )  ( Ae  Be )e
Si    movimiento
2 2
críticamen te amortiguad o
 t
x ( t )  ( A  Bt ) e
Las cons tan tes A , B y  se hallan
mediante condicione s iniciales

30. Determinar la amplitud y la fase inicial de un oscilador levemente amortigudo , si
las condiciones iniciales son:
x (0)  x0 y v (0)  v0
resolver si v 0  0

31. OSCILACIONES FORZADAS
 F  ma ;
2
dx d x
F 0 sen  t  b  kx  m 2
dt dt
2
d x dx F0
 2  0 x  sen  t
2
2
dt dt m
b k
donde   y 0
2

2m m

32. La solución de interés es:
x ( t )  A cos(  t   )
F0 / m
A
(   0 )  4  
2 2 2 2 2

33. El oscilador forzado vibra a la frecuencia de la fuerza de excitación manteniendo su
amplitud constante. El valor máximo en la amplitud se logra para una frecuencia dada
por
A   0  2
2 2
Hay resonancia en la amplitud cuando    A
La amplitud en la velocidad está dada por :
 F0 / m
v0 A 
(   0 )  4  
2 2 2 2 2
El valor máximo en la amplitud de la
velocidad se log ra cuando    0
A esta frecuencia la velocidad y la
energía cinética de las oscilacion es
son máximas y se dice que hay resonancia
en energía .

34. Es decir la resonancia en la energía ocurre cuando la frecuencia de la fuerza es igual
a la frecuencia natural del oscilador sin amortiguamiento y en este caso la velocidad
se encuentra en fase con la fuerza aplicada . Bajo estas condiciones, la potencia
transmitida por la fuerza al oscilador siempre es positiva y así el oscilador gana energía
en vez de perder.
Cuando hay resonancia en la energía la transferencia de energía de la fuerza al oscilador
está al máximo
CONSULTAR EJEMPLOS DE RESONANCIA EN LA ENERGÍA
1
2 P
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