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- 1. INGENIERIA AMBIENTAL ESTEBAN TROYA P. MATEMATICA III ECUACIONES DIFERENCIALES
- 2. INDICE • UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición 1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones 1.4 Campos de dirección 1.5 Problemas de valores iniciales 1.6 Teorema de existencia y unicidad • UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles, transformables 2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros
- 3. 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 2.4 Sustituciones y transformaciones UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano. 3.3 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros) 3.4 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
- 4. • UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Definición de Ecuaciones lineales de n-ésimo orden 4.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial. 4.3 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Método de Anulador y Variación de parámetros)
- 5. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales Definición.- Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y variables independientes. Ej: 𝑑ℎ 𝑑𝑡 − 2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑡 + 1 → ℎ = 𝑔 𝑡 = ? 𝑦 = 𝑓 𝑥 = ? Tipos 1. Ec. Diferenciales Ordinarias (E.D.O).- Presentan una sola variable dependiente e independiente. Ej: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2. Ec. Diferenciales parciales ( E.D.P).- Presentan 2 o mas variables dependientes e indepentdientes. Ej: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 − 𝑑2 𝑧 𝑑𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦 Orden.- El orden de una E.D esta dado por la mayor derivada presente. 𝑦" − 𝑦´ = 1 ⇒ 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
- 6. • Linealidad.- Una E.D.O es lineal si tiene la siguiente forma: 𝐴𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ . +𝐴1 𝑥 𝑦´ + 𝐴0 𝑥 . 𝑦 = 𝑔(𝑥) EJ: 𝑥2 + 1 𝑦´´´ − 2 𝑥 𝑦´´ + 𝑥 𝑦´ − 𝑦 = ln 𝑥2 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición Una función 𝑦 = Φ 𝑥 es una solución de una E.D.O de orden “n” en un intervalo I si sus “n” derivadas existen en el intervalo I, y al reemplazarlas en la E.D.O se obtiene una identidad. Ej: 𝑦´´ + 4𝑦 = 0 𝑦 = sin 2𝑥 − 3 cos 2𝑥 (−∞; +∞) 𝑦´ = 2 cos 2𝑥 + 6 sin 2𝑥 (−∞; +∞) 𝑦´´ = −4 sin 2𝑥 + 12 cos 2𝑥 (−∞; + ∞) 𝑦´´ + 4𝑦 = 0 (−4 sin 2𝑥 + 12 cos 2𝑥) + 4 sin 2𝑥 − 3 cos 2𝑥 = 0 0+0 = 0 0=0
- 7. 1.3 SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS. FAMILIA DE SOLUCIONES • Forma general E.D.O orden “n” ⇒ Solucion: G(x, y, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶 𝑛) = 0 Familia de sol. n – paramétrica • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝐶1 = 0 ⇒ Familia de sol. Uniparamétrica 1.4 CAMPOS DE DIRECCIÓN E.D.O de 1er orden Implicita: 𝑓 𝑦´, 𝑦, 𝑥 = 0 𝑒𝑗: 𝑦´ − 𝑥 − 𝑦 = 0 Explicita: 𝑦´ 𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑥 , 𝑥 𝑒𝑗: 𝑦´ = 𝑥 + 𝑦 Sol. General: familia de curvas. Sol. Particular: una sola curva.
- 8. 1.5 PROBLEMAS DE VALORES INICIALES • Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas Procedimiento: 1. Encontrar la solución n – paramétrica. 2. Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros. 3. Escribir la solución particular Ej: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦´ → 𝐸. 𝐷. 𝑂 2𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑦 𝑋𝑜 = 𝑌𝑜 𝑦´ 𝑋𝑜 = 𝑌1 → 𝑉. 𝐼
- 9. 1.6 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Dada una región R definida entre 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑦 < 𝑑, si f(x,y) y 𝑑𝑓 𝑑𝑦 son sontinuos en R, existe una única solución y(x) en el intervalo I, donde I pertenece al intervalo (a,b). Ej: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 1 2 → 𝑦 = 0 𝑦 = 1 16 𝑥4 y(0)=0 y(0)=0 no pertenece al intervalo no existe solución. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 1 2 = 𝑥 𝑦 𝑥 ∈ 𝑅 𝑦 ≥ 0 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥. 𝑦 1 2 = 1 2 𝑥. 𝑦 1 2 = 𝑥 2 𝑦 𝑥 ∈ 𝑅
- 10. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles, transformables • E.D de variables separables Dada la E.D 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑠𝑖 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede separar en dos factores g(x) y h(y) entonces se habla de una E.D de variables separables. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 . ℎ 𝑦 Ej: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒3𝑥 . 𝑦2 𝑒4𝑦 Solucion de EDO de 1er orden de variables separables 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥5 − 2𝑥 + 1 cos 𝑦 + 𝑒 𝑦 cos 𝑦 + 𝑒 𝑦 . 𝑑𝑦 = 6𝑥5 − 2𝑥 + 1. . 𝑑𝑥 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 + 𝐶1 = 6𝑥6 6 − 2𝑥2 2 + 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 + 𝐶1 = 𝑥6 − 𝑥2 + 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 = 𝑥 𝑥5 − 𝑥 + 1 + 𝐶 → 𝑆𝑜𝑙. 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
- 11. 2.2 FACTORES DE INTEGRACIÓN. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. VARIACIÓN DE CONSTANTE O DE PARÁMETROS • Metodo del factor integrante para E.D.O.S de orden 1 lineales • Procedimiento: 1. Escribir la E.D en su forma estándar. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 . 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2. Encontrar el factor integrante 𝜇 = 𝑒 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 3. Escribir 𝜇. 𝑦 = 𝜇. 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 4. Resolver integral y despejar Y Ej: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑃 𝑥 = −3 𝜇 = 𝑒 −3 𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥 𝑒−3𝑥 . 𝑦 = 𝑒−3𝑥 0 𝑑𝑥 𝑒−3𝑥. 𝑦 = 0 . 𝑑𝑥 𝑒−3𝑥. 𝑦 = 𝐶 𝑦 = 𝑐. 𝑒3𝑥 → 𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 Comprobacion 𝑦 = 𝑐. 𝑒3𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐. 𝑒3𝑥. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (3𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑐. 𝑒3𝑥 3𝑐. 𝑒3𝑥 − 3 𝑐𝑒3𝑥 = 0 0 = 0
- 12. VARIACION DE CONSTANTE • Procedimiento 1. Escribir E.D en su forma estándar: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 1 2. Resolver la E.D homogénea por variables separables 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑓 𝑐, 𝑥 2 ⇒ 𝑠𝑜𝑙 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 3. Tomar C como C(x), derivar Y y reemplazar en 1 4. Despejar C(x) y reemplazar en 2 Ejm: Parte 1 Parte 2 𝑥. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 𝑥6. 𝑒 𝑥 /x 𝑦 = 𝑥4. 𝑒 𝐶1 𝑦 = 𝑒 𝐶1. 𝑥4 = 𝑐. 𝑥4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 𝑥 = 𝑥6.𝑒 𝑥 𝑥 𝑐 ⇒ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 = 𝑐. 𝑥4 ⇒ 𝑠𝑜𝑙 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 → 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 𝑥 = 𝑥5 . 𝑒 𝑥 → 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑐. 𝑥4 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 𝑥 = 0 → ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑐 𝑑𝑥 . 𝑥4 + 𝑐. 4𝑥3 → 3 2 y 3 en 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑦 𝑥 𝑑𝑐 𝑑𝑥 . 𝑥4 + 𝑐. 4𝑥3 − 4 𝑥 𝑐. 𝑥4 = 𝑥5 . 𝑒 𝑥 1 4 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑐 𝑑𝑥 . 𝑥4 = 𝑥5 . 𝑒 𝑥 1 4 ln 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑐 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒 𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = 4𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶1 𝑐 = 𝑥. 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒4𝑙𝑛 𝑥 +𝐶1 𝑐 = 𝑥. 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶1 → 4 4 𝑒𝑛 2 𝑦 = 𝑒4𝑙𝑛 𝑥 . 𝑒 𝐶1 𝑦 = 𝑥. 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶1 . 𝑥4 𝑦 = 𝑥5 . 𝑒 𝑥 − 𝑥4 𝑒 𝑥 + 𝐶1. 𝑥4 → 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
- 13. 2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Forma normal ⇒ Forma diferencial • Una E.D es exacta si existe una función f(x,y)=o, tal que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 y 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) • PROCEDIMIENTO: 1. Verificar que M(x,y).dx + N(x,y).dy=0 es exacta: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 2. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) 3. 𝜕 𝜕𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔´(𝑦) 4. Despejar g(y) 5. Reemplazar en 2 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 Ejm: Primera parte 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 1 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 1 → 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 Segunda parte 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 2 + 𝑔 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 + 𝑔´ 𝑦 𝑐 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 𝑔´ 𝑦 = 𝜕𝑓 𝜕𝑦 − 𝑥 𝑔´ 𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 𝑔´ 𝑦 = −2𝑦 𝑔 𝑦 = −2𝑦 𝑑𝑦 𝑔 𝑦 = −𝑦2
- 14. 2.4 SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES • 1) Ecuaciones homogéneas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝐺 𝑦 𝑥 F. Normal Ec.homogénea 𝑧 = 𝑦 𝑥 ; 𝑦 = 𝑧. 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧. 1 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + z = G z 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑧 − 𝑧 𝑑𝑧 𝐺(𝑧) − 𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 Ejm: 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑦 𝑧 = 𝑦 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 2 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2 𝑑𝑧 𝑧2 = 𝑑𝑥 𝑥 − 1 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 − 1 𝑦 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑦 = − 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 → 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
- 15. 2)ECUACIONES DE LA FORMA 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺(𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦) 𝑧 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑎+𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑎 𝑏 1 𝑏 . 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 = 𝐺 𝑧 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 = 𝑏. 𝑑𝑥 → 𝑉𝑎𝑟. 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 Ejm: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 + 𝑦 + 2)2 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 = 𝑧 + 2 2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = (𝑧 + 2)2 +1 1 (𝑧 + 2)2+1 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 → 𝜇 = 𝑧 + 2 𝑑𝜇 = 𝑑𝑧 𝑑𝑢 𝑢2 + 1 = 𝑑𝑥 arc tan 𝑢 = 𝑥 + 𝑐 arc tan 𝑧 + 2 = 𝑥 + 𝑐 a𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑦 + 2 = 𝑥 + 𝑐 → 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 2 = tan(𝑥 + 𝑐) 𝑦 = tan 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 − 2
- 16. 3)ECUACION DE BERNOULLI 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 . 𝑦 𝑛 1 𝑣 = 𝑦1−𝑛 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − Ejm: 1 parte 2 parte 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦 = − 5 2 𝑦3 ⇒ 𝐸𝑐. 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑛 = 3 → 1 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 5 𝑒10𝑥 𝑑𝑥 1*𝑦−3 𝑒10𝑥. 𝑣 = 5 10 𝑒10𝑥 + 𝐶 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦−2 = − 5 2 → 2 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 1 2 𝑒10𝑥 + 𝐶 𝑣 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−3 = 𝑦−2 𝑣 = 1 2 + 𝑐. 𝑒−10𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −2𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 → 3; 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 → 4 𝑦−2 = 1 2 + 𝑐. 𝑒−10𝑥 3 y 4 en 2 R: 𝑦 = 1 2 + 𝑐. 𝑒−10𝑥 −1 2 − 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 5𝑣 = − 5 2 ∗ −2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 10𝑣 = 5 ⇒ 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑜 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 Por factor integrante: 𝑃 𝑥 = 10 𝜇 = 𝑒 10𝑑𝑥 = 𝑒10𝑥 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 𝑒10𝑥 . 5𝑑𝑥
- 17. 4) ECUACION DE RICATTI 𝑦´ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑦2 Si se tiene una solución particular conocida 𝑦1 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 𝑦´ = 𝑦1´ + u´ Ejm: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 4 𝑥2 − 𝑦 𝑥 + 𝑦2 → 𝑦1 = 2 𝑥 ⇒ 𝑠𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑢 𝑦´ = − 2 𝑥2 + 𝑢´ − 2 𝑥2 + 𝑢´ = − 4 𝑥2 − 2 𝑥 + 𝑢 𝑥 + 2 𝑥 + 𝑢 2 𝑢´ = − 4 𝑥2 − 2 𝑥2 + 𝑢 𝑥 + 4 𝑥2 + 4𝑢 𝑥 + 𝑢2 + 2 𝑥2 𝑢´ = 3𝑢 𝑥 + 𝑢2 𝑢´ − 3𝑢 𝑥 = 𝑢2 ⇒ 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝐸𝑐. 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖
- 18. UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN • 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias Una ecuación diferencial de 2do orden es de la forma: Si, Se llama ecuación homogénea, por ejemplo: Si, Se llama ecuación no homogénea, por ejemplo: 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano. • Se dice que las funciones linealmente independientes si la única solución de la ecuación • Donde en caso contrario, las funciones son linealmente dependientes. Ejemplo: 1) Las funciones para ser linealmente independientes debe cumplir • Remplazando los valores de las funciones se obtiene • Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones son linealmente independientes
- 19. • 3.3 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros) Solución general: Ecuación no homogénea Sea yp, solución de (1) y y1, y2,…, yn, un conjunto final de soluciones de (2). Entonces la solución general de (1) es: 𝑦𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝 sol. General sol. Homogénea sol. particular Método de superposición Este método nos permite encontrar una solución particular Yp(x) para las ecuaciones de la forma: Donde a, b, y c son constantes y Para resolverla, se tiene que hacer lo siguiente: • Resolver la ecuación lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo que se obtiene 𝑦ℎ • Obtener alguna solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación no homogénea • A partir de ellas: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
- 20. Ejm:
- 22. 3.4 REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Reducción de orden Dada: 𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 0 Si y1 es una solución particular; entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente y2, como: 𝑦2 = 𝑦1 𝑒 −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 Por lo tanto; Yc=c1y1+c2y2 ( solución general)
- 23. UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR • 4.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial. 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑎𝑖 = 𝑖 = 1, … , 𝑛 constantes 𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 (2do orden) Existe una solución particular: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 Ejemplo: 2𝑦′′ − 3𝑦′ − 2𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒2𝑥 , 𝑦′ = 2𝑒2𝑥 , 𝑦′′ = 4𝑒2𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 ; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 ; 𝑦′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 𝑎2 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎1 𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑚𝑥 = 0 𝑒 𝑚𝑥 (𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0) 𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 Ecuación característica
- 24. 4.3 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES (MÉTODO DE ANULADOR Y VARIACIÓN DE PARÁMETROS)
- 25. MÉTODO DEL ANULADOR Operador anulador Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador. Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación. Regla 1 Regla2 Regla 3 )()( xLgxLf 12 ...,,1 n n n xxxAnula dx dy D xsene x xnxxxn exexxeeAnulaD 12 ....,,)( xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn 11222 ,cos,,cos)](2[
- 26. MÉTODO POR VARIACIÓN DE PARÁMETRO • Para emplear el método de variación de parámetro a una E.D de 2do orden, se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 𝑐1 y 𝑐2 pasar a ser funciones 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑤 = 𝑦1 𝑦2 = 𝑦1 𝑦2 𝑦′1 𝑦′2 𝑢′1 = − 𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑤 ; 𝑢′2 = 𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑤 Ejm: y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex) y’’ + 3y’ + 2y = 0 Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada: m2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0 m1 = -2; m2 = -1 yh = C1 e-2x + C2 e-xç y1 y2
- 27. • Por Cramer hallamos W(y1; y2) W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x -2e-2x -e-x • Y después encontramos: U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = - e2x sen (ex) W(y1; y2) e-3x U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex sen (ex) W(y1; y2) e-3x u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx =∫z sen z dz/z = ∫senz dz = -cos z = -cos(ex) yp = u1y1 + u2y2 solución particular = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex) = -e-2x sen (ex) La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2 y = yh + yp = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)