Características de las funciones trigonométricas. Amplitud y línea media de las funciones trigonométricas teniendo en cuenta las ecuaciones. Identificación del periodo matemático de las funciones desde las gráficas.

1. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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Escuela Normal Superior de Villavicencio
NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________
ÁREA: TRIGONOMETRÍA GRADO: DÉCIMO -__ FECHA: _______
DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: 2 GUÍA: 05
Línea media de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones
La línea media en sinusoidales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑. Gráficamente, la línea media de una función
sinusoidal pasa exactamente en medio de sus valores extremos.
La ecuación de la línea media de un sinusoidal de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝒅 es igual a 𝒚 = 𝒅.
Función Línea media
𝑓( 𝑥) = 𝑎 cos( 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝒅 𝒚 = 𝒅
Recordemos que la gráfica de 𝑦 = cos 𝑥 tiene la siguiente forma.
Se puede observar en la gráfica que la ecuación de la línea media es 𝒚 = 𝟎.
Observemos
Función constante Movimiento
𝑓( 𝑥) = 𝑎 cos( 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝒅
𝒅 > 𝟎 Se traslada verticalmente, 𝒅 unidades hacia arriba
𝒅 < 𝟎 Se traslada verticalmente, 𝒅 unidades hacia abajo
En efecto, la línea media se también se trasladará verticalmente 𝒅 unidades, y entonces la ecuación de la línea media es
𝒚 = 𝒅.
Para cualquier función 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑, la ecuación de la línea media será 𝒚 = 𝒅.
𝒚
𝒙

2. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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Ejercicios línea media (ecuaciones)
Para las siguientes funciones calcular la línea media
1. ℎ( 𝑥) = −3 cos( 𝜋𝑥 + 2) − 6 𝑦 = −6
2. 𝑔( 𝑥) = − sen(8𝑥 − 3) + 5
3. 𝑦 = −5 cos(2𝜋𝑥 + 1) − 10
4. 𝑔( 𝑥) = 2 cos(7𝑥 + 5) + 1
5. 𝑔( 𝑥) = −6 sen(3𝜋𝑥 + 4) − 2
6. 𝑦 = 10 cos(6𝑥 − 1) − 4
7. ℎ( 𝑥) = −4 sen (𝑥 +
𝜋
4
)
8. 𝑦 = 8 cos (5𝜋𝑥 −
3𝜋
2
) − 9
9. 𝑦 = sen(3𝑥 + 5)
10. 𝑦 = −4 sen(2𝑥 − 7) + 3
Amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones
La amplitud de sinusoidales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es a |𝑎|.
Recuerda que la gráfica de 𝑦 = cos 𝑥 tiene la siguiente forma.
En esta grafica la altura de la onda es 2, y así la amplitud de 𝑦 = cos 𝑥 es 1.
Función constante Movimiento
𝑓( 𝑥) = 𝒂 cos( 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑
𝒂 > 𝟎 Se estira verticalmente por un factor de 𝒂.
𝒂 < 𝟎
Se estira verticalmente por un factor de |𝒂|y
reflejada a través del eje 𝒙.
𝒚
𝒙

3. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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Ejercicios amplitud (ecuaciones)
Para las siguientes funciones calcular la amplitud
11. 𝑓( 𝑥) = 8 cos (5𝜋𝑥 +
3𝜋
2
) 9 |8| = 8
12. 𝑔( 𝑥) = cos (
2𝜋
3
𝑥) + 1
13. ℎ( 𝑥) = −4 sen(2𝑥 − 7) + 3
14. 𝑦 = 3 sen(2𝑥 − 1) + 4
15. 𝑦 = − sen(8𝑥 − 3) + 5
16. 𝑦 = −6 sen(3𝜋𝑥 + 4) − 2
17. 𝑦 = 5 sen(4𝑥 − 2) − 3
18. 𝑔( 𝑥) = −9 cos (
𝜋
2
𝑥 − 6) + 8
19. ℎ( 𝑥) = −5 cos(2𝜋𝑥 + 5) − 2
20. ℎ( 𝑥) = 7 sen (
3𝜋
4
𝑥 −
𝜋
4
) + 6
periodo de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas
El periodo de una función sinusoidal es la distancia horizontal entre los puntos extremos de un solo ciclo de su gráfica.
Línea media
Amplitud
Amplitud
1
4
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜
1
4
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜
1
4
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜
1
4
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜
1 periodo

4. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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Ejercicios periodo (gráfica)
Para cada gráfica, función trigonométrica, calcular el periodo.
21. Interseca con su línea media en (2.2, −2) y de nuevo en (4.8, −2)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = 𝟒. 𝟖
𝒗 𝟐 = 𝟐. 𝟐
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝟒. 𝟖 − 𝟐. 𝟐 = 𝟐. 𝟔
𝟐. 𝟔( 𝟐) = 𝟓. 𝟐
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟓. 𝟐
22. Interseca con su línea media en (−
1
2
𝜋, 3.3) y tiene un punto máximo en (−2𝜋, 9.8).
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = −𝟐𝝅
𝒗 𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝝅
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (un cuarto)
−𝟏/𝟐𝝅 − (−𝟐𝝅) = 𝟑/𝟐 𝝅
𝟒 ⋅ (−𝟑/𝟐 𝝅) = 𝟔𝝅
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟔𝝅
23. Interseca con su línea media en (−1.7, −10) y de nuevo en (5.1, −10)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = −𝟏. 𝟕
𝒗 𝟐 = 𝟓. 𝟏
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝟓. 𝟏 − (−𝟏. 𝟕) = 𝟔. 𝟖
𝟔. 𝟖( 𝟐) = 𝟏𝟑. 𝟔
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟏𝟑. 𝟔
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙

5. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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24. Interseca con su línea media en (
1
2
𝜋, −1) y de nuevo en (
5
4
𝜋, −1)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = 𝟏/𝟐 𝝅
𝒗 𝟐 = 𝟓/𝟒 𝝅
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝟓/𝟒 𝝅 − 𝟏/𝟐 𝝅 = 𝟑/𝟒𝝅
𝟑/𝟒 𝝅 ( 𝟐) = 𝟑/𝟐 𝝅
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟑/𝟐 𝝅
25. Tiene un punto máximo en (5,2.5) y un punto mínimo en (−1.7, −4.5).
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = −𝟓
𝒗 𝟐 = −𝟏. 𝟕
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
−𝟏. 𝟕 − (−𝟓) = 𝟑. 𝟑
𝟑. 𝟑 ⋅ ( 𝟐) = 𝟔. 𝟔
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟔. 𝟔
26. Interseca con su línea media en (2.2, −2) y de nuevo en (4.8, −2)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = 𝟐. 𝟐
𝒗 𝟐 = 𝟒. 𝟖
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝟒. 𝟖 − 𝟐. 𝟐 = 𝟐. 𝟔
𝟐. 𝟔( 𝟐) = 𝟓. 𝟐
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟓. 𝟐
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙

6. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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27. Interseca con su línea media en (−
2
3
𝜋, −7) y de nuevo en (𝜋, −7)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = −𝟐/𝟑𝝅
𝒗 𝟐 = 𝝅
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝝅 − (−𝟐/𝟑𝝅) = 𝟓/𝟑𝝅
𝟓/𝟑𝝅( 𝟐) = 𝟏𝟎/𝟑𝝅
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟏𝟎/𝟑𝝅
28. Interseca con su línea media en (3.7,5) y de nuevo en (5.9,5)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = 𝟑. 𝟕
𝒗 𝟐 = 𝟓. 𝟗
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (mitad)
𝟓. 𝟗 − 𝟑. 𝟕 = 𝟐. 𝟐
𝟐. 𝟐 ⋅ ( 𝟐) = 𝟒. 𝟒
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟒. 𝟒
29. Interseca a su línea media en (−
7
8
𝜋, −10.1) y tiene un punto máximo en (−
1
2
𝜋, −2.7)
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = −𝟕/𝟖𝝅
𝒗 𝟐 = −𝟏/𝟐𝝅
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (un cuarto)
−𝟏/𝟐𝝅 − (−𝟕/𝟖𝝅) = 𝟑/𝟖𝝅
𝟑/𝟖𝝅( 𝟒) = 𝟑/𝟐𝝅
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟑/𝟐𝝅
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙

7. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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30. Interseca en su línea media (8.7,7.2) y tiene un punto mínimo en (6.2,3.8).
Declaración de variables
𝒗 𝟏 = 𝟔. 𝟐
𝒗 𝟐 = 𝟖. 𝟕
Ecuación a utilizar
Distancia horizontal (un cuarto)
𝟖. 𝟕 − 𝟔. 𝟐 = 𝟐. 𝟓
𝟐. 𝟓( 𝟒) = 𝟏𝟎
Respuesta: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟏𝟎
periodo de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas
Gráficamente, el periodo de una función sinusoidal es la distancia horizontal entre los puntos extremos de un solo ciclo
de su gráfica.
El periodo de una función sinusoidal de la forma 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es igual
2𝜋
|𝑏|
.
Ejercicios periodo (ecuación)
Calcular el periodo de las siguientes funciones.
31. 𝑔(𝑥) = 2 cos(7𝑥 + 5) − 5 𝑏 = 7 =
2𝜋
|7|
=
2𝜋
7
32. 𝑦 = cos(−4𝜋𝑥 + 3) + 2 𝒃 = −𝟒𝝅 =
𝟐𝝅
|−𝟒𝝅|
=
𝟏
𝟐
33. 𝑦 = 3 cos(𝑥 − 7) + 6 𝒃 = 𝟏 =
𝟐𝝅
|𝟏|
= 𝟐𝝅
34. 𝑦 = 8 cos (5𝜋𝑥 −
3𝜋
2
) − 9 𝒃 = 𝟓𝝅 =
𝟐𝝅
|𝟓𝝅|
=
𝟐
𝟓
35. 𝑓(𝑥) = 3 sen(2𝑥 − 1) + 4 𝒃 = 𝟐 =
𝟐𝝅
|𝟐|
= 𝝅
36. 𝑔(𝑥) = − sen(8𝑥 − 3) + 5 𝒃 = 𝟖 =
𝟐𝝅
|𝟖|
=
𝟏
𝟒
𝝅
37. 𝑓(𝑥) = −6 sen(3𝜋𝑥 + 4) − 2 𝒃 = 𝟑𝝅 =
𝟐𝝅
|𝟑𝝅|
=
𝟐
𝟑
38. ℎ(𝑥) = 5 sen(4𝑥 − 2) − 3 𝒃 = 𝟒 =
𝟐𝝅
|𝟒|
=
𝝅
𝟐
39. 𝑔(𝑥) = −9 cos (−
𝜋
2
𝑥 − 6) + 8 𝒃 = −
𝝅
𝟐
=
𝟐𝝅
|−
𝝅
𝟐
|
= 𝟒
40. 𝑦 = 4 sen(−2𝑥 + 7) − 1 𝒃 = −𝟐 =
𝟐𝝅
|−𝟐|
= 𝝅
Para las siguientes gráficas de funciones trigonométricas calcular línea media, amplitud y periodo, y dibujarlas.
𝒚

8. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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41.
42.
4.3
4.4
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo

9. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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43.
44.
4.5
4.6
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo

10. Amplitud y línea media desde las ecuaciones_v1
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46.
4.7
4.8
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo
Linea media
Amplitud
Periodo