1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
15 Operaciones y ca´lculos con derivadas
1. Calcula las siguientes derivadas:
a) D 5 arctg x b) D 3 cos x c) D 2 arcsen x
2. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia:
a) D 4 5
x͙ b) D
2x
x͙
c) D (x2
)x͙
3. Calcula las siguientes derivadas:
a) D (x3
Ϫ 3x2
ϩ 4x Ϫ 2) b) D (Ϫx4
ϩ x2
Ϫ 1) c) D (x3
Ϫ 4x2
ϩ 1
2
)
4. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia:
a) D
1
x ϩ 3
b) D
3
2
x Ϫ 1
c) D
2
2 3
(x Ϫ 3)
5. Calcula las siguientes derivadas:
a) D e2xϩ7
b) D 3 e
21Ϫx
c) D 3tg x
6. Calcula las siguientes derivadas:
a) D L(x3
Ϫ x2
) b) D L(cos x) c) D L(x2
ϩ sen x)
7. Calcula las siguientes derivadas:
a) D sen (x ϩ 5) b) D cos (x2
Ϫ 1) c) D sen (sen x)
8. Calcula las siguientes derivadas y expresa el resultado de la forma ma´s simple posible.
a) D arcsen (x2
Ϫ 1) b) D arctg
1 ϩ x
1 Ϫ x
9. Calcula la derivada de los siguientes productos:
a) D ((x2
Ϫ 2) · e )2x ϩ1
b) D ((1 ϩ x2
) · arctg x) c) D (cos x · L(tg x))
10. Calcula la derivada de los siguientes cocientes:
a) D
2
x Ϫ 2x ϩ 1
2
x Ϫ 1
b) D
x
2
x Ϫ 1
c) D
x
e ϩ x
x
e Ϫ x
11. Calcula la derivada de las siguientes funciones de tipo potencial-exponencial.
a) D (x2
ϩ 1
x
) b) D (sen x
xϩ1
) c) D (tg x
cos x
)
12. Determina el valor de los para´metros m y n sabiendo que la recta y ϭ x es tangente a la gra´fica de la funcio´n
f(x) ϭ x2
ϩ mx ϩ n en el punto (1, 1).
13. Halla el valor de m para que la recta y ϭ 4x ϩ m sea tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) ϭ 3x2
ϩ 5.
Algoritmo Matema´ticas I – 1.o
Bachillerato Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) D 5 arctg x ϭ
5
2
1 ϩ x
b) D 3 cos x ϭ Ϫ3 sen x
c) D 2 arcsen x ϭ
2
2
1 Ϫ x͙
2. a) D ϭ D x ϭ
5 54 45 4x x͙ ͙4
b) D ϭ D 2x ϭ
12x 12
x x͙ ͙
c) D (x2
) ϭ D x ϭ x
5 52x x͙ ͙2
3. a) D (x3
Ϫ 3x2
ϩ 4x Ϫ 2) ϭ 3x2
Ϫ 6x ϩ 4
b) D (Ϫx4
ϩ x2
Ϫ 1) ϭ Ϫ4x3
ϩ 2x
c) D (x3
Ϫ 4x2
ϩ 1)2
ϭ 2(x3
Ϫ 4x2
ϩ 1) (3x2
Ϫ 8x)
4. a) D ϭ D (x ϩ 3)Ϫ1
ϭ
1 Ϫ1
2
x ϩ 3 (x ϩ 3)
b) D ϭ D 3(x2
Ϫ 1)Ϫ1
ϭ
3 Ϫ6x
2 2 2
x Ϫ 1 (x Ϫ 1)
c) D ϭ D 2(x2
Ϫ 3)Ϫ3
ϭ
2 Ϫ12x
2 3 2 4
(x Ϫ 3) (x Ϫ 3)
5. a) D e2xϩ7
ϭ 2e2xϩ7
b) D 3 e ϭ Ϫ6x e
2 21Ϫx 1Ϫx
c) D 3tg x
ϭ L3 · 3tg x
1
2
cos x
6. a) D L(x3
Ϫ x2
) ϭ
3x Ϫ 2
2
x Ϫ x
b) D L(cos x) ϭ Ϫtg x
c) D L(x2
ϩ sen x) ϭ
2x ϩ cos x
2
x ϩ sen x
7. a) D sen (x ϩ 5) ϭ cos (x ϩ 5)
b) D cos (x2
Ϫ 1) ϭ Ϫ2x sen (x2
Ϫ 1)
c) D sen (sen x) ϭ cos (sen x) cos x
8. a) D arcsen (x2
Ϫ 1) ϭ ϭ
2x
2 2
1 Ϫ (x Ϫ 1)͙
ϭ
2x
2 2
x (2 Ϫ x )͙
b) D arctg ϭ
1 ϩ x 1
2
1 Ϫ x 1 ϩ x
9. a) D ((x2
Ϫ 2) · e ) ϭ 2x · (x2
Ϫ 1) · e
2 2x ϩ1 x ϩ1
b) D ((1 ϩ x2
) · arctg x) ϭ 2x arctg x ϩ 1
c) D (cos x · L(tg x)) ϭ Ϫsen x · L tg x ϩ
1
sen x
10. a) D ϭ
2
x Ϫ 2x ϩ 1 2
2 2 2
x Ϫ 1 (x ϩ 1)
b) D ϭ Ϫ
2
x x ϩ 1
2 2 2
x Ϫ 1 (x Ϫ 1)
c) D ϭ
x x
e ϩ x 2e (1 Ϫ x)
x x 2
e Ϫ x (e Ϫ x)
11. a) D (x2
ϩ 1)x
ϭ L(x2
ϩ 1) ϩ (x2
ϩ 1)x
2
2x
΂ 2 ΃x ϩ 1
b) D (sen x)xϩ1
ϭ (L sen x ϩ (x ϩ 1) cot x) (sen x)xϩ1
c) D (tg x)cos x
ϭ (tg x)cos x
1
Ϫsen x L tg x ϩ΂ ΃sen x
12. Como f(1) ϭ 1 m ϩ n ϭ 1.
Adema´s fЈ(x) ϭ 2x ϩ m, entonces:
fЈ(1) ϭ 1 2 ϩ m ϭ 1
Se resuelve el sistema y resulta
m ϩ n ϭ 1
Ά2 ϩ m ϭ 1
m ϭ Ϫ1 y n ϭ 2.
La funcio´n es f(x) ϭ x2
Ϫ x ϩ 2.
13. fЈ(x) ϭ 6x
Se busca el punto de tangencia (a, f(a)) que ve-
rifica que fЈ(a) ϭ 4.
6a ϭ 4 a ϭ
2
3
El punto de tangencia pertenece a la rec-
2 19
,΂ ΃3 3
ta tangente, por tanto:
ϭ 4 · ϩ m m ϭ
19 2 11
3 3 3
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Bachillerato