El documento aborda problemas matemáticos aplicados a las ciencias sociales, incluyendo un análisis de un sistema de inecuaciones para maximizar beneficios de lotes de productos. Se detallan cálculos de probabilidades en exámenes y se explora la evaluación de una función relacionada con el crecimiento bacteriano. Finalmente, se plantea un test de hipótesis para evaluar una media poblacional con un nivel de confianza específico.

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JJJuuunnniiiooo
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
OOOpppccciiióóónnn AAA
1 Sean las variables:
x=número de lotes tipo A
y=número de lotes tipo B
Las condiciones límite del problema pueden expresarse de la siguiente forma:
 Los litros de zumo de limón no pueden ser más de 48: 4823  yx
 Los litros de zumo de naranja no pueden ser más de 30: 302  yx
 Los litros de zumo de piña no pueden ser más de 36: 362  yx
 El número de lotes tipo A no puede ser negativo: 0x
 El número de lotes tipo B no puede ser negativo: 0y .
Despejando y en cada una de ellas, surge el sistema de inecuaciones:















0
0
36
2
1
302
24
2
3
y
x
xy
xy
xy
Cuya representación en el plano cartesiano conduce a la siguiente región factible:
x
y
302  xy
24
2
3
 xy
0y
0x
1P
3P
2P
4P
18
2
1
 xy

2. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
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Los vértices de esta región se calculan resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones
formados por las rectas que los determinan:
18;180
18
2
1
0
:1 






yy
xy
x
P , luego P1(0,18)
6;24
2
3
2
1
18
24
2
3
18
2
1
:2 







xxx
xy
xy
P , luego P2(6,15)







12;302
2
3
24
302
24
2
3
:3 xxx
xy
xx
P , luego P3(12,6)
15;3020
302
0
:4 





xx
xy
y
P , luego P4(15,0)
Para encontrar el beneficio máximo evaluamos la función beneficio yxyxB 56),(  en cada uno de
los vértices de la región factible, así:
En P1: €9018·50·6)18,0( B
En P2: €11115·56·6)15,6( B
En P3: €786·512·4)6,12( B
En P4: €900·515·6)0,15( B
De donde se concluye que:
a) El máximo beneficio se alcanza cuando se venden 6 lotes tipo A y 15 lotes tipo B
(planteamiento de 0 a 2 puntos / Determinación del punto óptimo de 0 a 1 punto)
b) El valor de dichos beneficios máximos es de 111 € (de 0 a 0,5 puntos)
2
a) El valor máximo de la función se alcanza en el punto donde la derivada ( 2,31,0)(  xxV ) se
anula, por tanto:
32
02,31,0


x
x
Para comprobar que efectivamente es un máximo utilizamos el criterio de la segunda derivada
( 1,0)(  xV ) y como 01,0)32( V , se concluye que la velocidad máxima se alcanza a los
32 km. (de 0 a 1 puntos)
b) El valor de dicha velocidad máxima es  32·2,332·05,0)32( 2
V 51,2 km/h (de 0 a 1
puntos)
c) Como la función sólo puede cambiar su monotonía alrededor de las discontinuidades y de los
extremos, y dado que es contínua por ser polinómica, basta con evaluar la derivada antes y
después de x=32, así:
 01,3)1( V y por lo tanto V(x) es creciente en [0,32)
 01,0)33( V y por lo tanto V(x) es decreciente en (32,40] (de 0 a 1 puntos)
3 Sean los sucesos, y sus probabilidades respectivas (y de sus complementarios calculadas según
)(1)( XPXP  ):
 A: aprobar idiomas, 1,0)( AP ; 9,0)( AP
 B: aprobar teórico-práctico, 4,0)( BP ; 6,0)( BP
 C: aprobar pruebas físicas: 2,0)( CP ; 8,0)( CP

3. P.A.U. 2012-13
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a) Teniendo en cuenta que un candidato sólo será seleccionado si aprueba los tres exámenes y que
éstos son independientes, la probabilidad de que esto suceda será:
 2,0·4,0·1,0)()·()·()( CPBPAPCBAP 0,008 o bien del 0,8% (de 0 a 1 puntos)
b) La probabilidad de no ser seleccionado por fallar una única prueba puede calcularse según:


)()·()·()()·()·()()·()·(
)()()(
CPBPAPCPBPAPCPBPAP
CBAPCBAPCBAP
 8,0·4,0·1,02,0·6,0·1,02,0·4,0·9,0 0,116 o bien del 11,6% (de 0 a 1 puntos)
c) Aplicando la definición de Laplace:




)()()(
)(
)(
CBAPCBAPCBAP
CBAP
CBABP

116,0
2,0·6,0·1,0
0,103 o bien del 10,3% (de 0 a 1 puntos)

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
OOOpppccciiióóónnn BBB
1
a) Podemos calcular la matriz inversa según:
t
AAdj
A
A ))((
11

Desarrollando las operaciones:
















1
01
)(
11·)1()(·)1()(
00·)1()(11·)1()(
10·)1·(1
10
1
22
22
12
21
21
12
11
11
a
AAdj
aAdjaaaAdj
aAdjaAdj
a
a
A
Y así:

















10
1
1
01
1
11 a
a
A
t
(de 0 a 1,5 puntos)
b) Podemos calcular el cuadrado como el producto AAA ·2
 , así:




























10
01
)1)·(1(·00)·1(1·0
)1·(·10·1·1
10
1
·
10
12
a
aaaaa
A
qué resulta ser la matriz identidad de orden dos (de 0 a 1 puntos)
c) Construyamos la sucesión:
...
··
··
··
45
234
23
2
AAIAAA
IAAAAAA
AAIAAA
IA
AA





De donde se infiere que




paresnsi
imparesnsi
I
A
An
Luego 







10
137 a
A (de 0 a 1 puntos)

6. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
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2 Sea la función del número de bacterias y su derivada:
BAtttN  2
)( AttN  2)( 300  t
a) Dado que en un máximo la recta tangente a una función es horizontal, éste se alcanza cuando la
derivada de la función se anula, así:
20
010·2
0)10(



A
A
N
Y sabiendo que a las 30 horas no quedan bacterias, utilizando el valor de A calculado, resulta:
300
030·2030
0)30(
2



B
B
N
(planteamiento del problema de 0 a 1 puntos, determinación de las constantes A y b de 0 a 1
puntos)
b) La gráfica de la función 30020)( 2
 tttN , es la de una parábola convexa con el máximo
en (x,y)=(10,N(10))=(10,400), que pasa por (x,y)=(30,0) y por (x,y)=(0,N(0))=(0,300):
(de 0 a 1 puntos)
3 Sea:
 n=100 el tamaño muestral
 5,3x s la media muestral
 4 s la desviación típica poblacional
 95,01  el nivel de confianza ( 05,0 )
Para la resolución del problema plantearíamos el siguiente test de hipótesis bilateral para la media
poblacional (  ):





sH
sH
4:
4:
1
0


Nuestro estadístico de contraste (Zexp) es:
25,1
100/4
45,3
/
exp 




n
x
Z


Siendo el valor límite de decisión (Zα/2), extraído de la tabla

7. P.A.U. 2012-13
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960,12/ Z
Y como Zexp < Zα/2, aceptamos la hipótesis conservadora (H0), así pues a este nivel de confianza si
podemos aceptar la hipótesis de la compañía.
(planteamiento del problema de 0 a 2 puntos, resolución del problema de 0 a 1,5 puntos)