1. Producto vectorial
Definición
Interpretación geométrica
Producto mixto
Jana Rodriguez Hertz – p. 1/2

2. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

3. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

4. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
x2 x3 x1 x3 x1 x2
X ∧Y = ,− ,
y2 y3 y1 y3 y1 y2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

5. Producto vectorial - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto vectorial X ∧ Y se define como:
x2 x3 x1 x3 x1 x2
X ∧Y = ,− ,
y2 y3 y1 y3 y1 y2
◦ ◦ ◦
x1 x2 x3
y1 y2 y3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

6. PEDRO
CALCULO
Observación 1
Se puede recordar por la fórmula
e1 e2 e3
X ∧ Y = x1 x2 x3
y1 y2 y3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

7. Observación 2
Producto escalar:
· : R3 × R3 → R
(X, Y ) → X · Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

8. Observación 2
Producto vectorial:
∧ : R3 × R3 → R3
(X, Y ) → X ∧ Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

9. Ejemplo
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

10. Ejemplo
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
e1 e2 e3
X ∧Y = 1 2 3 =
3 2 1
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

11. Ejemplo
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
e1 e2 e3
X ∧ Y = 1 2 3 = (2 − 6, 9 − 1, 2 − 6)
3 2 1
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

12. Ejemplo
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
e1 e2 e3
X ∧ Y = 1 2 3 = (−4, 8, −4)
3 2 1
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

13. Propiedades
c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

14. Antisimetría
Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

15. Antisimetría
Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene:
X ∧ Y = −Y ∧ X
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

16. Antisimetría
Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene:
X ∧ Y = −Y ∧ X
el producto vectorial es ANTISIM E TRICO
´
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

17. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

18. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

19. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

20. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

21. Multilinealidad
Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R
(αX) ∧ Z = α(X ∧ Z)
(X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z)
X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z)
X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z)
el producto vectorial es MULTILINEAL
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

22. Interpretación geométrica (I)
Para todo X, Y ∈ R3 :
X ∧ Y ⊥X
c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

23. Interpretación geométrica (I)
Para todo X, Y ∈ R3 :
X ∧ Y ⊥X
X ∧ Y ⊥Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

24. Interpretación geométrica (I)
Para todo X, Y ∈ R3 :
X ∧ Y ⊥X
X ∧ Y ⊥Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

25. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

26. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

27. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
entonces N = U ∧ V es un vector normal al
plano,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

28. Vector normal a un plano
Si la ecuación paramétrica de π es
π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R
entonces N = U ∧ V es un vector normal al
plano, ∴
π)(X − P ) · N = 0
es una ecuación reducida del plano π
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

29. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

30. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

31. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
e1 e2 e3
U ∧V = 1 2 1 =
−1 1 −2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

32. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

33. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π)(X − P )⊥(−5, 1, 3) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

34. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π) − 5(x − 1) + (y + 1) + 3(z + 2) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

35. Ejemplo 1
Si las ecuaciones paramétricas de π son:

 x = 1 +λ −µ

y = −1 +2λ +µ

 z = −2 +λ −2µ
P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2)
U ∧ V = (−5, 1, 3)
∴
π) − 5x + y + 3z + 12 = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

36. Intersección de 2 planos
El vector director de la recta dada por:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r)
a2 x + b2 y + c2 z = d2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

37. Intersección de 2 planos
El vector director de la recta dada por:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r)
a2 x + b2 y + c2 z = d2
es:
(a1 , b1 , c1 ) ∧ (a2 , b2 , c2 )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

38. Interpretación gemoétrica (II)
Dados X, Y ∈ R3 , tenemos
|X ∧ Y | = |X||Y |sen∠(X, Y )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2

39. Interpretación gemoétrica (II)
Dados X, Y ∈ R3 , tenemos
|X ∧ Y | = |X||Y |sen∠(X, Y )
la terna (X, Y, X ∧ Y ) es directa
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2

40. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

41. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

42. Terna directa - definición
Decimos que una terna de vectores (ordenados)
X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante
x1 x2 x3
y1 y2 y3 ≥ 0
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

43. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

44. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
x1 x2 x3
[X, Y, Z] = y1 y2 y3
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

45. Producto mixto
Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto
de X, Y, Z como:
x1 x2 x3
[X, Y, Z] = y1 y2 y3 = (X ∧ Y ) · Z
z1 z2 z3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

46. Observación
En particular
Una terna X, Y, Z ∈ R3 es directa ⇔ [X, Y, Z] ≥ 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2

47. Más aplicaciones
c Jana Rodriguez Hertz – p. 17/2

48. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

49. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

50. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . que tiene un área bien
definida.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

51. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) =
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

52. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) = |X||Y |senθ
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

53. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P . Para calcular
´rea(P ) = |X ∧ Y |
a
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

54. Áreas
Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen
un paralelogramo P .
|X ∧ Y | es el área
del paralelogramo
definido por X e Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

55. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no
nulos.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

56. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

57. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

58. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El área de la base del
prisma es |X ∧ Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

59. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El área de la base del
prisma es |X ∧ Y |La altura del prisma es |Z| cos ψ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

60. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V =
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

61. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = |X ∧ Y ||Z| cos ψ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

62. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = ±(X ∧ Y ) · Z
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

63. Volúmenes
Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un
prisma de volumen V
El volumen es
entonces
V = ±[X, Y, Z]
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

64. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

65. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

66. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{d(P, X) : X ∈ r}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

67. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − X| : X ∈ r}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

68. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

69. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
d(P, r) = |W |.senθ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

70. Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P ∈ R3 y una recta
r)X = Q + λV
se define la distancia de P a r como:
d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R}
|V ∧ W |
d(P, r) =
|V |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2