1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR CARMEN SÁNCHEZ DIEZ
Octubre, 2004. Para casanchi.com
EL GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR EN COORDENADAS
RECTANGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS:
De la definición de gradiente:
rdfdgradf
rr
).(=
y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:






∂
∂
∂
∂
∂
∂
= 3
33
2
22
1
11
111
dq
q
f
dr
dq
q
f
dr
dq
q
f
dr
fdgra .,.,.)(
r
Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas:
En estas coordenadas es: dzdrdydrdxdr === 321 ,,
Por tanto:
k
z
f
j
y
f
i
x
f
kdz
z
f
dz
jdy
y
f
dy
idx
x
f
dx
fdgra
rrrrrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ...)(
111
En definitiva:
k
z
f
j
y
f
i
x
f
fdgra
rrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=)(
Expresión en coordenadas esféricas:
En estas coordenadas es: φθρθρρ dsendrddrddr ..,., === 321
Por tanto:
ooo
d
f
dsen
d
f
d
d
f
d
fdgra φφ
ιφθρ
θθ
θθρ
ρρ
ρρ
rrrr
.
..
..
.
.)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
111
O sea:
ooo f
sen
ff
fdgra φ
φθρ
θ
θρ
ρ
ρ
rrrr
.
.
..)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
11

2. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR CARMEN SÁNCHEZ DIEZ
Octubre, 2004. Para casanchi.com
Expresión en coordenadas cilíndricas:
En estas coordenadas es dhdrddrddr === 321 ,., φρρ
Por tanto:
oooo
hdh
h
f
dh
d
f
d
d
f
d
fdgra
rrrr
....
.
.)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
111
φφ
φφρ
ρρ
ρρ
O sea:
oooo
h
h
fff
fdgra
rrrr
..)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= φ
φρ
ρ
ρ
1
En resumen:
En cartesianas: k
z
f
j
y
f
i
x
f
fdgra
rrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=)(
En esféricas: ooo f
sen
ff
fdgra φ
φθρ
θ
θρ
ρ
ρ
rrrr
.
.
..)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
11
En cilíndricas: oooo
h
h
fff
fdgra
rrrr
..)(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= φ
φρ
ρ
ρ
1