continuacion del tema parte 2

1. CONTINUACION DEL
TEMA: MULTIPLICACION.
3° Matemáticas

2. OPERACIONES INDICADAS DE
MULTIPLICACION EN QUE NO HAY SIGNOS
DE AGRUPACION.
 Para comenzar, deben efectuarse en este
orden: primero, los productos indicados y
luego las sumas o restas.
 Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7
 Efectuamos primero los productos 3x4=12
y 2x=14 y tendremos:
 5+3x4-2x7 =5+12-14= 3.

3. OPERACIONES INDICADAS DE
MULTIPLICACION EN QUE HAY SIGNOS
DE AGRUPACION.
 PRIMERO: Las operaciones encerradas en los
paréntesis y luego las operaciones que queden
indicadas.
 Ejemplo: (5+3)2+3(6-1).
 En la practica, se suele suprimir el signo x entre
un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis.
 A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a
(5+3) x 2 y 3(6-1) equivale a 3 x (6-1).
 Entonces efectuamos primero los
paréntesis, (5+3) = 8 y (6-1)= 5, y tendremos:
(5+3) 2 + 3(6-1)= 8 x 2 + 3 x 5= 16 + 15= 31.

4. LEY DISTRIBUTIVA DE LA
MULTIPLICACION.
PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN
NUMERO.
 Para multiplicar una suma indicada por un
numero se multiplica cada sumando por este
numero y se suman los productos parciales.
 Ejemplo: (5+4)2.
 Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8=18
 Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) = 5+4+5+4=
5+5+4+4= (5+5) + (4+4) = 5x2+4x2.

5. Producto de una resta por un
numero.
 Para multiplicar una resta indicada por un numero
se multiplican el minuendo y el sustraendo por
este numero y se restan los productos parciales.
 Ejemplo: (8-5) 3.
 Asi que decimos:
(8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 =24 – 15 = 9
Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 –
5) como sumando tres veces, o sea:
(8 – 5) 3 = (8 – 5)+ (8 – 5) + (8 – 5)
o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5)
= 8 x 3 – 5 x 3.

6. Suma algebraica.
 Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene
varios signos + o – es una suma algebraica. En
esta suma algebraica, 7, 2, 9 y 3 son los términos
de la suma. Los términos que van precedidos del
signo + o que no llevan signo delante son
positivos. Asi que en este caso, -2 y -3 son
negativos.
 En la suma algebraica a + b – c – d + e, los
términos positivos son a,b y e, y los negativos, -c
y –d.

7. Productos de una suma algebraica por
un numero
 Para multiplicar una suma por un numero se
multiplica un termino de la suma por dicho
numero, poniendo delante de cada producto
parcial el signo + si el termino que se multiplica
es positivo y el signo – si es negativo.
 Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5.
 Asi que decimos:
 (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5
 = 40 – 10 + 30 – 15 =45
 En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn –
dn.

8. Factor común
 En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 los
términos son los productos 2x5, 3x2 y 4x2. en
cada uno de estos productos aparece el factor
2; 2 es un factor común.
 Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 – 3 x 5
-3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común; en la
suma ab + bc – bd el factor común es b; en la
suma 5 ay + 5ax – 5an el factor común es 5 a.

9. La operación de sacar factor
común.
1) sabemos que por ley distributiva, que:
(8+6)5=8x5+6x5.
Invirtiendo los miembros de esta
igualdad, tenemos: 8x5+6x5=5(8+6)
Aquí vemos que en el primer miembro tenemos el
factor común 5 y en el segundo miembro
aparece el factor común 5 multiplicando a un
paréntesis dentro del cual hemos escrito 8+6
que es lo que queda en el primer miembro
dividiendo cada termino entre 5.
Hemos sacado el factor común 5.

10. La operación de sacar factor
común.
2) sabemos, por la ley distributiva, que: (9-
7)2=9x2 – 7x2. invirtiendo tenemos: 9x2-
7x2=2(9-7). En el primer miembro tenemos el
factor común 2 y en el segundo miembro
aparece el 2 multiplicando a un paréntesis
dentro del cual hemos puesto lo que queda en
el primer miembro dividiendo cada termino entre
el factor común 2. hemos sacado el factor
común 2.
3) sacar el factor común en 9x8 +8x3-8.
Así que 9x8+8x3-8=8(9+3-1).

11. Producto de sumas y diferencias.
Producto de 2 sumas.
 Para multiplicar dos sumas indicadas se
multiplican todos los términos de la primera por
cada uno de los términos de la segunda y se
suman los productos parciales.
 Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos
que: (6+5)(3+2)=6x3+5x3+6x2+5x2
=18+15+12+10 =55.
 En efecto: el producto (6+5) (3+2) se
compondrá de tres veces (6+5) mas dos veces
(6+5), luego: (6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2
=6x3+5x3+6x2+5x2.

12. Producto de suma por
diferencia.
 Para multiplicar una suma por una diferencia se
suman los productos de cada termino de la suma
por el minuendo y de esta suma se restan los
productos de cada termino de la suma por el
sustraendo.
 Efectuar: (9+7)(5-4)=9x5+7x5-9x4-7x4 = 45+35-
36-28=16.
 En efecto: el producto (9+5)(5-4) se compondrá
de cinco veces (9+7) menos cuatro veces
(9+7),luego: (9+7)(5-4)=(9+5)-5(9+7)4
=(9x5+7x5)-(9x4+7x4)=9x5+7x5-9x4-7x4.
 En general (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

13. Caso particular. Producto de la suma de
dos números por su diferencia.
 El producto de la suma de dos números por su
diferencia es igual a la diferencia de los
cuadrados de los números.
 Ejemplo: efectuar (6+5)(6-5)= 62 – 52 = 36-
25=9
 En efecto: aplicando la regla explicada en el
numero anterior, tenemos: (6+5)(6-5)= 6x6
+5x6-6x5-5x5 = 6x6-5x5= 62 – 52 .

14. Producto de dos
diferencias.
 Para multiplicar dos diferencias indicadas se
suma el producto de los minuendos con el
producto de los sustraendos y de esta suma se
restan los productos de cada minuendo por el otro
sustraendo.
 Efectuar: (7-4)(3-2). Decimos que: (7-4)(3-
2)=7x3+4x2-7x2-4x3 = 21+8-14-12=3
 En efecto: el producto (7-4)(3-2)= (7-4)3-(7-4)2
 = (7x3-4x3)-(7x2-4x2)
 =(7x3+4x2)-(7x2+4x3) (126)
 =7x3+4x2-7x2-4x3 (125)

15. Regla general para multiplicar
sumas algebraicas.
 De acuerdo con las reglas aplicadas en los números
anteriores, tenemos que:
 (a+b)(c+d) = ab+bc+ad+bd
 (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd
 (a-c)(c-d) = ac-bc - ad+bd.
 Observando esto lo que hemos hecho es multiplicar
términos del primer paréntesis por cada termino del
segundo paréntesis poniendo delante de cada
producto el signo + cuando los factores que se
multiplican tienen signos iguales (los dos + o los dos -)
y el signo – cuando tienen signos distintos.

16. Regla general.
Para multiplicar dos sumas
algebraicas se multiplica cada
termino de la primera suma por
cada termino de la segunda
suma, poniendo delante de cada
producto el signo + cuando los dos
términos que se multiplican tienen
signos iguales, y el signo – cuando
tienen signos distintos.

17. Ejemplo de la Regla
general.
Efectuar (8-6)(5+4) por la regla general.
(8-6)(5+4)=8x5 – 6x5 +8x4 – 6x4
= 40 – 30 + 32 – 24 = 18
Hemos multiplicado 8 por 5 y como 8 y 5 tienen signos
iguales (al no llevar signo delante llevan +) delante del
producto 8x5 va un + (que no se escribe por ser el primer
termino, pero va sobreentendido). Después multiplicamos
– 6 por 5 poniendo delante de este producto el signo –
porque 6y5 tienen signos distintos ; luego 8 por
4, poniendo + delante del producto porque 8y4 tienen
signos iguales y por ultimo -6 por 4 poniendo delante del
producto – porque tienen signos distintos.

18. Producto de un producto indicado
por un numero.
 Para multiplicar un producto indicado por un
numero se multiplica uno de los factores del
producto por dicho numero.
 Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por 6.
 Decimos que basta multiplicar uno solo de los
factores, bien el 4 o el 5, por el multiplicador 6.
 Multiplicando el factor 5, tenemos:
 (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)=120.

19. Producto de dos productos
indicados.
 Para multiplicar dos productos indicados se
forma un solo producto con todos los factores.
 Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el
producto 4x5x6. Decimos que:
 (2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.
 Entonces al multiplicar el factor 3 del producto
2x3 queda multiplicado por el producto
4x5x6, según el caso anterior.