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1. Procesos de Poisson

3. Propiedades del proceso de conteo
1. N(t) es siempre un entero no negativo
2. Si tenemos dos instantes de tiempo
distintos s y t, con s<t, entonces:
N(s) < N(t)
3. Si s<t, entonces, el número de eventos
que ocurren en el intervalo [s, t]
corresponde a N(t) – N(s)

4. Incrementos independientes
• Se dice que un proceso de conteo {N(t), t ≥0}
presenta incrementos independientes, si el
número de eventos que ocurren en intervalos
disjuntos de tiempo son independientes
0 s t
E1 E2 En En+1
N(s) N(t) – N(s)

5. Incrementos estacionarios
• El proceso de conteo {N(t), t≥0}
presenta incrementos estacionarios, si la
distribución de probabilidad de
N(t + s) – N(t) depende de s pero no de
t, es decir, la distribución del número de
eventos que ocurren en un intervalo de
tiempo sólo depende del largo del
intervalo y de nada más.

6. Propiedad de orden
• Un proceso de conteo tiene la propiedad
de orden si:
1) P{ N(dt) = 1 } = l dt
2) P{ N(dt) ≥ 2 } = 0
3) P{ N(dt) = 0 } = 1 - l dt

7. Propiedades de orden para un
intervalo diferencial dt
• Para un intervalo diferencial dt
– P(N(dt)= 1) = λ dt
– P(n(dt)>1) = 0
– P(n(dt)= 0)= 1-λ dt
• Se prohibe ocurrencias simultaneas de
actividades que se están contando
• Casos de poblaciones
– Nacimientos simultaneos
– Nacimiento y muertes simultaneas

8. Procesos de Poisson
•Definición 1. Un proceso de conteo {N(t), t ≥0} se
dice que es un proceso de Poisson si cumple:
• N(0)=0
• Incrementos independientes
• Propiedad de orden.
•Definición 2. Un proceso de conteo se dice que es de
Poisson si cumple con las siguientes propiedades:
• N(0)=0
• Incrementos independientes
• .
!
)
(
]
)
(
)
(
Pr[
n
t
e
n
s
N
s
t
N
n
t
l
l






9. Proceso de Poisson
• Definición:
El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es
un proceso de Poisson si cumple con:
i) la propiedad de incrementos
independientes
ii) la propiedad de incrementos
estacionarios
iii) la propiedad de orden

10. Teorema 1:
• Si {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson,
entonces la distribución del número de
eventos en un instante de tiempo
cualquiera viene dada por:
P{N(t) = n} = e–lt(lt)n
n!

11. Tiempo entre eventos
• Teorema 2:
En un proceso de Poisson a tasa l, los
tiempos T1, T2, …, Ti son variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas,
con distribución exponencial de parámetro l.

12. TIEMPO ENTRE EVENTOS
• Para el tiempo entre eventos:
i) P {Ti ≤ t} = 1 - e–lt
2i) f (t) = l e–lt
3i) E (Ti) = 1 / l

17. Tiempos exponenciales
• Teorema 3:
Sea N(t) un proceso de conteo cuyos
tiempos entre eventos son variables
aleatorias independientes ente si, y con
distribución exponencial ( a tasa l );
entonces, N(t) es un proceso de Poisson

18. • Teorema 4:
El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es un
proceso de Poisson a tasa l, si y solo si:
a) Con probabilidad 1, los incrementos del
proceso son de magnitud unitaria
b) E [ N(t+s) – N(t) / N(u), u≤t] = ls

24. Distribución condicional de los
tiempos entre eventos
• Sea Sj = T1 + T2 + … + Tj
la distribución de Sj corresponde a una
función Gamma de parámetros n y l
f(t) = l e–lt(lt)n-1
(n-1)!

25. • Bajo el supuesto que ha ocurrido un
evento en el intervalo [0, t], se tiene:
P{S1 ≤ x / N(t) =1 } = P[S1 ≤ x , N(t) =1]
P[ N(t) =1 ]
= P[N(x) =1] * P[N(t-x) =0]
P[ N(t) =1 ]
= x / t

26. • Teorema 5:
Sea B la unión de un número finito de intervalos
disjuntos de tiempos y NB el número de eventos
del proceso de conteo {N(t), t ≥0} que caen
dentro del conjunto B. Entonces, este proceso
de conteo es un proceso de Poisson a tasa l, si
y solo si:
P{NB = n} = e–lb(lb)n
n!
Para todo conjunto B, en que b es la longitud
total asociado al conjunto B.

27. Proceso de descomposición
N(t)
N1(t)
N2(t)
p
1-p

29. • Teorema 6:
P {N1(t) = j} = e–lpt(lpt)j
j!
P {N2(t) = k} = e–l(1p)t(l(1p)t)k
k!
Para el proceso anterior, los procesos N1(t) y
N2(t) son variables aleatorias independientes.

33. Suma de procesos de Poisson
• Sean N1(t), N2(t) ,…, Nk(t) procesos de
Poisson independientes a tasas l1,
l2,...,lk respectivamente. Entonces, el
proceso:
N(t) = N1(t) + N2(t) +…+ Nk(t) es un
proceso de Poisson a tasa l  l1  l2 ...
... lk

34. Proceso de Poisson compuesto
• Definición:
Dado un proceso de Poisson de tasa l
{N(t), t ≥0} y sea X1, X2 ,…, Xi variables
aleatorias independientes e identicamente
distribuidas, donde estas variables son
además independientes de {N(t), t ≥0} .
Entonces, el proceso {X(t), t ≥0} se dice
de Poisson compuesto si:

35. X(t) = S Xi
donde la sumatoria se mueve para i desde 1
hasta N(t)
En este proceso, no se cumple con la propiedad
de orden.

36. Para todo el proceso de Poisson
compuesto se tendrá:
• E[X(t)] = l t * E(Xi)
• Var[X(t)] = l t * E(Xi
2)

37. Proceso de Poisson no homogeneo
• Definición:
Todo proceso de conteo {N(t), t ≥0} se llama
proceso de Poisson no homogeneo de tasa
l(t) si y sólo si:
i) cumple la propiedad de incrementos
independientes
ii) cumple la propiedad de orden
iii) la tasa de eventos l(t) depende del tiempo

38. • Teorema 7:
Dado un proceso de Poisson no
homogeneo de tasa l(t); {N(t), t ≥0} y
sea la tasa acumulada de ocurrencia (o
valor medio) de eventos en el intervalo
[t1, t2], esto es:
m[t1, t2] = ∫ l(t) dt
donde la integral se mueve desde t = t1,
hasta t = t2],

39. Entonces, se tiene que:
• P { [N(t2) – N(t1)] = n } =
e–m(t1,t2) (m(t1,t2))n
n!

40. o, en forme equivalente:
• P { [N(t+s) – N(t)] = n } =
e–[m(t+s) – m(t)] (m(t+s) – m(t)] n
n!

50. Distribución exponenciales

51. Propiedad de las exponenciales
(1)

52. Propiedad de las exponenciales
(2)

53. Propiedad de las exponenciales
(3)

54. Propiedad de las exponenciales
(4)

56. Ejemplo