Presentación_Lógica_Proposicional. MATEMATICOS

Lógica
Proposicional
Conceptos fundamentales

Presentación
“Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no
ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada
desapareció. ¿Fue por motivos políticos, o fue una mujer?
Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio
me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinatos
políticos se complacen demasiado en hacer su trabajo y huir.
Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy
deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por
toda la habitación, mostrando que estuvo allí todo el
tiempo”.
Arthur Conan Doyle. Un Estudio en Escarlata (extracto)

Presentación
• Cuando deseamos establecer una verdad,
cuando queremos convencer a alguien de que
nuestra posición o nuestras ideas son las
correctas, recurrimos a un razonamiento o
presentamos evidencia que respalda nuestras
opiniones.
• Este razonamiento o evidencia presentada
con el propósito de demostrar algo es lo que
conocemos por un argumento.

Presentación
• Por supuesto hay buenos y malos argumentos,
en simples palabras, la Lógica es la ciencia
que trata de distinguir los buenos argumentos
de los malos argumentos.
• Es por este motivo (y otros)que esta ciencia
aporta una riqueza extraordinaria a otras
disciplinas como lo son la Lingüística, la
Informática y la Matemática.

Presentación
• En esta unidad estudiaremos las ideas
fundamentales de la Lógica que se usan en
Matemáticas, entendiéndolas como una
herramienta importante para adquirir una
adecuada comprensión en:
• El lenguaje matemático a utilizar
• En cada razonamiento

Lógica Matemática 1. Proposiciones Lógicas
1. Proposiciones lógicas
Las proposiciones son los “ladrillos” del
estudio de la Lógica.
Definición: Una proposición es un enunciado
(sentencia, oración, juicio) “declarativo” que
posee un “único valor de verdad”, ya sea
verdadero (V) ó falso (F), pero nunca ambos.

Ejemplos: ¿Cuál(es) sentencias son proposiciones?
A) Saturno es el sexto planeta del sistema
solar
B) Chile es la capital de Santiago
C) x + 5 = 7
D) ¿ Es 2 un número par?
E) ¡ Pásame tu lápiz!

Dos consideraciones importantes:
∆ Para efectos de representativad, estudio y comprensión,
las proposiciones lógicas se simbolizarán con las letras
minúsculas p, q, r , ….
∆ Si dos proposiciones “p” y “q” están relacionadas entre sí
a través de alguno de los conectores utilizados en Lógica
(que conoceremos y estudiaremos a continuación), ambas
conformarán una “nueva expresión”, que corresponderá
también a una proposición. Estos conectores que permiten la
formación de proposiciones “más complejas” son:

Ejemplo 1.2
, , , , …
Nota: El conector negación es el único que no relaciona dos
proposiciones, es decir, es el único que opera sobre una sola
proposición.
∆ El valor de verdad de estas nuevas proposiciones, que
llamaremos proposiciones compuestas dependerá:
A) Del valor de verdad de las proposiciones simples, y
B) De los conectores.
∆ La forma como queda determinado el valor de verdad de
una Proposición compuesta, estará dado por medio de una
Tabla de Verdad para cada conector lógico.

Lógica Matemática 2. Conectores Lógicos
2. Conectores lógicos
Veamos las distintas formas de conectar
proposiciones simples entre sí mediante
conectores lógicos.
2.1 La Negación : Se llama negación de una
proposición “p” a la nueva proposición “No es
verdad que p” o simplemente “No p”. Se simboliza
por p

Su tabla de verdad es
Ejemplo:
Sea p: “Saturno es el sexto planeta del sistema
solar”.
Entonces:
: “No es verdad que Saturno es El sexto
planeta del sistema solar”

2.2 La Conjunción : Dadas dos proposiciones
cualquiera p y q, llamaremos conjunción entre
ambas a la proposición compuesta p y q. Se
escribe . Su tabla de verdad es la siguiente
Observación: Nótese que tanto
p como q deben ser verdaderas
(V) para que lo sea

Ejemplo: Si
p: “Las naranjas son ricas en vitamina C”
q: “Los deportes son muy entretenidos”
Entonces, la conjunción p y q es la proposición
verdadera
: “Las naranjas son ricas en vitamina C y
Los deportes son muy entretenidos”

2.3 La Disyunción : Dadas dos proposiciones
cualquiera p y q, llamaremos disyunción entre
ambas a la proposición compuesta “ p ó q”. Se
escribe . Su tabla de verdad es la siguiente
Observación: Nótese que basta
que una de las proposiciones sea
(V) para que lo sea

Ejemplo:
Sea p: “El Sol gira entorno a la Tierra”
q: “Chile es un país sísmico”
Entonces, la disyunción p ó q es la proposición
Verdadera
: “El Sol gira entorno a la Tierra ó Chile es
un país sísmico”

2.4 La Disyunción exclusiva : Dadas dos
proposiciones cualquiera p y q, llamaremos
disyunción entre ambas a la proposición compuesta
“ p ó q , pero no ambas”.
Se escribe . Su tabla de verdad es :
Observación: Nótese que
es verdadera cuando p y q tienen
valores de verdad opuestos.

Ejemplo: Sea
p: “Estoy en clase de Álgebra”
q: “Estoy en clase de Inglés”
Entonces, la disyunción excluyente p ó q,
pero no ambas, es la proposición verdadera
(V)
: “Estoy en clase de Álgebra o estoy en
clase de Inglés”

2.5 El Condicional : Dadas dos proposiciones
cualquiera p y q, llamaremos proposición
condicional a la proposición compuesta “ si p,
entonces q ”. Se escribe . Su tabla de verdad
es :
Observación: Nótese que la
condicional es (F) sólo cuando la
hipótesis p es (V) y la conclusión
es q es (F)
.

Ejemplo: Sea
p: “Pablo Neruda fue un poeta”
q: “Pitágoras fue un matemático”
Entonces, la condicional “si p, entonces q” es
la proposición verdadera (V)
: “Si Pablo Neruda fue un poeta, entonces
Pitágoras fue un matemático”

2.6 El Bicondicional : Dadas dos proposiciones
cualquiera p y q, llamaremos proposición
bicondicional a la proposición compuesta “p, si y
solo si, q ”. Se escribe . Su tabla de verdad es
:
Observación: Nótese que la
condicional es (V) sólo cuando
ambas proposiciones tienen el
mismo valor de verdad.

Ejemplo: Sea
p: “El 28 de Febrero de 2022 fue día lunes”
q: “La suma de dos números pares es par”
Entonces, la bicondicional “p si y sólo si q” es
la proposición verdadera (V)
: “ El 28 de Febrero de 2022 fue día lunes
,si y sólo si, la suma de los dos números
pares es par”

Aplica la teoría
I. Encuentre el valor de verdad para cada
proposición compuesta suponiendo a priori
que: p es FALSA (F) , q es VERDADERO (V) y r
es VERDADERO (V)
1) 3)
2) 4)

Comentarios
¿Qué pasa cuando en una proposición
compuesta no se conocen a priori los valores
de verdad de las proposiciones simples?
No podríamos determinar su valor de verdad
(dejaría de ser una proposición)
¿Qué es entonces?
Es simplemente una fórmula (expresión)

Lógica Matemática – 3. Expresiones Lógicas
Definición 2: Llamaremos expresión lógica (fórmula
proposicional) a una expresión formada por proposi-
ciones simples a las cuales se les desconoce sus lo
res de verdad.
Ejemplo. La expresión
p, q desconocidos
La representaremos como
P (p, q) :

Ejemplo 2: Sea P(p, q) :
Para p: 2+2 = 5
q: 2• 7= 14
P(p, q) es
Para p: 2+2 =4
q: 2 • 7= 15
P(p, q) es

Encuentra la tabla de verdad de la expresión

Aplica la teoría
• Encuentra la tabla de verdad para cada
expresión lógica:
• 1)
• 2)
• 3)

• Definición: Una expresión lógica se dice:
• Tautología : Si resulta verdadera para
cualquier valor que se asigne a las
proposiciones variables
• Contradicción : Si resulta falsa para cualquier
valor que se le asigne a las variables
• Contingencia : Si resulta V y F

• Definición: Se dice que las expresiones
lógicas P(p,q,…) y Q(p,q,..) son lógicamente
equivalentes si sus tablas de valores de
verdad son idénticas.
Se escribe:
P(p, q,..) Q(p, q,…)
Se lee:
“P es lógicamente equivalente a Q”

• Ejemplo: P(p, q): ~(p ˅ q)
Q(p, q) : ~ p ˄ ~ q
Verificar que :
P(p, q) Q(p, q)

• Ejemplo: P(p, q): ~(p ˄ q)
Q(p, q) : ~ p ˅ ~ q
Verificar que :
P(p, q) Q(p, q)

(p ˄ q) ˄ r p ˄ (q ˄ r)
“Ley Asociativa”

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