Se presentan ejercicios básicos para comenzar en el estudio de la probabilidad

1. PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD
M.S.I. Leticia Rodríguez Rivas

2. Se lleva el registro de la situación de los clientes en
una empresa, y se tiene lo siguiente:
CLIENTES DIAS
Morosos 18
Al corriente 45
Pago Adelantado 7
Total =18+45+7=70
Es muy importante realizar la sumatoria de todos los
elementos de la muestra, para en base a esto
calcular la probabilidad.

3. Si se elige a un cliente al azar, cual es la probabilidad de que:
a) Esté al corriente: Esto se representa como P(Al corriente) y se obtiene
dividiendo todas las posibilidades que cumplen con la condición de estar al
corriente entre todas las opciones de elección que se tienen, es decir, entre
el total:
P(Al corriente)=
= 0.6429
Recuerda que una expresión decimal también representa un porcentaje, para
ponerlo de esta forma solamente es necesario multiplicarlo por 100 y
tendremos entonces para este ejemplo en particular lo siguiente: la
probabilidad de que al elegir un cliente al azar y esté al corriente es de 64.29%

4. Ahora, si se elige a un cliente al azar, cual es la probabilidad de que:
b) Sea moroso: Esto se representa como P(Moroso) y se obtiene dividiendo
todas las posibilidades que cumplen con la condición de ser moroso entre
todas las opciones de elección que se tienen, es decir, entre el total:
P(moroso)=

5. = 0.2571
Recuerda que una expresión decimal también representa un porcentaje, para
ponerlo de esta forma solamente es necesario multiplicarlo por 100 y
tendremos entonces para este ejemplo en particular lo siguiente: la
probabilidad de que al elegir un cliente al azar y este sea moroso es de 25.71%

6. Finalmente, si se elige a un cliente al azar, cual es la probabilidad de que:
c) Haya pagado por adelantado: Esto se representa como P(Adelantado) y se
obtiene dividiendo todas las posibilidades que cumplen con esta condición
entre todas las opciones de elección que se tienen, es decir, entre el total:
P(Adelantado)=
= 0.1
Recuerda nuevamente que una expresión decimal también representa un
porcentaje, tendremos entonces para este ejemplo en particular lo siguiente: la
probabilidad de que al elegir un cliente al azar y este haya pagado por
adelantado es de 10%

7. Este caso es un ejemplo claro de lo que se llama “eventos colectivamente
exhaustivos” ya que entre todos se completan el total de las posibilidades, es
decir, si sumamos las probabilidades de cada uno se completa el 100 %.
También es un claro ejemplo de “eventos mutuamente excluyentes” ya que no
pueden suceder al mismo tiempo, es decir si elijo un cliente al azar o es
moroso o está al corriente o paga por adelantado, pero ningún cliente contará
con dos o mas características al mismo tiempo.

8. Pero en ocasiones se está interesado en que se cumplan una u otra condición,
esto nos lleva al PRINCIPIO DE LA ADICIÓN, donde lo que debemos hacer es
sumar los resultados finales de probabilidad, o bien, sumar las cantidades que
cumplen con las condiciones y al final sacar la probabilidad, esto se llama
“unión” y lo interpretamos cuando en la redacción de un problema nos
encontramos “o”.
Por ejemplo, si elegimos un cliente al azar, cual es la probabilidad de que esté
al corriente o haya pagado por adelantado. En este caso podemos sumar las
probabilidades de cada uno, ya que contamos con ellas, pues la sacamos
previamente, y se representa:
P(Al Corriente U Adelantado)= P(Al corriente)+P(Adelantado)=
=0.6429 + 0.1=0.7429

9. Ahora, si queremos encontrar la probabilidad en base a la elección de varios
clientes, debemos tener claro que por cliente se debe realizar un calculo, y para
obtener la probabilidad total multiplicar cada uno de los resultados individuales,
descontando el elemento elegido por cada calculo, ya que al contarlo como
parte del resultado deja ya de ser parte del total de donde se elige. Por ejemplo,
si se eligen a tres clientes al azar uno por uno, cual es la probabilidad de que los
dos primeros estén al corriente y el ultimo haya pagado por adelantado:
P(2C y 1A)=
∗
∗
= 0.0422
Ahora si se eligen 4 clientes al azar uno por uno, cual es la probabilidad de que
los 2 primeros estén al corriente y los dos últimos hayan pagado por adelantado:
P(2C y 2A)=
∗
∗
∗
=0.0038

10. En caso de que se tenga la aclaración que al calcular la probabilidad se realizará
uno por uno con remplazo, entonces no se descuentan las cantidades, ya que al
elegir cada cliente se asume que será devuelto al total para calcular el siguiente.
Suponiendo entonces que el cálculo anterior nos hubieran pedido que fuera
remplazando, entonces , ¿cuál es la probabilidad de que al elegir tres clientes al
azar uno por uno remplazándolos, los dos primeros estén al corriente y el otro
haya pagado por adelantado?
P(2C y 1A)=
∗
∗
=0.0413
Ahora si se eligen 4 clientes al azar uno por uno remplazándolos, cual es la
probabilidad de que los 2 primeros estén al corriente y los dos últimos hayan
pagado por adelantado:
P(2C y 2A)=
∗
∗
∗
=0.0041

11. Pero, ¿que pasa cuando no se especifica el orden en que deben de salir elegidos?
Debemos considerar todas las posibilidades que pueden surgir. Por ejemplo, si se
eligen a cuatro personas al azar ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos estén al
corriente y los otros dos estén atrasados?
Esto puede presentarse de muchas maneras, supongamos que los que están al
corriente los representaremos con la letra R y los que están atrasados o morosos los
representaremos con la letra A:
RRAA AARR
RARA ARAR
RAAR ARRA
Como cualquiera de estas es una opción de respuesta debemos calcular entonces la
probabilidad de cada uno y sumarlos al final para obtener la probabilidad final del
evento que se cuestiona al principio.

12. RRAA
∗
∗

13. ∗

14. = 0.02753
AARR

15. ∗

16. ∗
∗
= 0.02753
RARA
∗

17. ∗
∗

18. = 0.02753
ARAR

19. ∗
∗

20. ∗
= 0.02753
RAAR
∗

21. ∗

22. ∗
= 0.02753
ARRA

23. ∗
∗
∗

24. = 0.02753
Los resultados dan lo mismo pues los elementos de donde se obtienen son los mismos
y solo el orden es el que se invierte, cosa que no afecta, pues la operación a la que se
someten es multiplicación.

25. Entonces en casos como este solo es necesario obtener mediante combinaciones
cuantos ordenamientos diferentes nos pueden salir con la condición establecida, y
luego multiplicarlas por la probabilidad de una sola ya que como se demostró todas
dan el mismo resultado. En este caso la condición es que de los CUATRO lugares
disponibles se van a acomodar en diferentes lugares DOS QUE ESTÁN AL CORRIENTE, o
bien, de los CUATRO lugares disponibles se van a acomodar en diferentes lugares DOS
QUE ESTÁN ATRASADOS, esto se calcula con 4C2, dando como resultado 6, esto nos
lleva a calcular la probabilidad final de la siguiente manera:
P(2R ∩ 2A)= 6* 0.02753 = 0.16518

26. Veamos otro ejemplo, si se eligen 5 personas al azar, ¿cual es la probabilidad de que 2
estén adelantados y los otro 3 estén al corriente?
Ahora se dispone de 5 lugares dentro de los cuales se acomodarán 2 personas
adelantadas en las diferentes posiciones, esto se hará usando 5C2, o bien 3 personas
al corriente se acomodarán dentro de los 5 lugares disponibles, usando 5C3. Estos
ordenamientos son complementarios, es decir, acomodamos a los adelantados y los
que están al corriente quedarán en lo otros lugares, o acomodamos a los que están al
corriente y los adelantados quedarán en los otros lugares. Finalmente no importa
cual se elija, el resultado será el mismo: 10.
Ya sabemos que solamente debemos calcular la posibilidad de una de las opciones y
multiplicarla por el total de ordenamientos que la combinación da como resultado.

27. Si los que están al corriente se representan con R y los adelantados con A:
RRRAA
∗
∗
∗
∗
= 0.00246
Entonces la probabilidad final de que dos estén adelantados y 3 estén al corriente
será:
P(2A ∩ 3R)= 10*0.00246= 0.0246

28. Ahora en el caso de que se quiera elegir un grupo, entra el concepto de técnicas
de conteo, que nos permite conocer la cantidad de grupos que se formarían
cumpliendo las condiciones que se desean tenga el grupo de elección, así como
la cantidad de grupos totales que se podrían formar con los elementos que se
tienen. Por ejemplo, si se elige al azar un grupo de 5 clientes, cual es la
probabilidad de que todos hayan estado al corriente:
P(5C)=
=0.1009
En la parte de arriba del numerador se calcula, cuantos grupos de 5 se pueden
formar que cumplan con ser de los 45 que están al corriente. En la parte de
abajo, es decir, en el denominador, se calcula cuantos grupos sin importar la
condición se forman con los 70 clientes.