Este documento presenta 10 problemas matemáticos discutidos en un taller sobre resolución de problemas en la Universidad de Colima. Los problemas incluyen cuestiones sobre geometría, números, funciones trigonométricas y teoría de números. El documento también discute brevemente las conjeturas matemáticas y proporciona referencias bibliográficas.

1. Taller: Resolución de problemas
Universidad de Colima,
Facultad de Ciencias de la Educación
22-24 Mayo 2013
Juan Carlos Ponce Campuzano

2. Problema 1

4. • ¿Cuántos cubos tiene esta
pirámide?
• ¿Cómo encontraste tu
respuesta?

5. • ¿Cuántos cubos tiene una
pirámide de 12 cubos de
altura?
• ¿Cuántos cubos se
necesitan para construir
una pirámide con una
altura de n cubos?

6. Problema 2

7. • Para 3 puntos no colineales ¿cuántas rectas se
pueden dibujar de tal manera que todos los puntos
queden unidos?

8. • Para 4 puntos no colineales ¿cuántas rectas se
pueden dibujar de tal manera que todos los puntos
queden unidos?

10. • Para 5 puntos no colineales ¿cuántas rectas se pueden
dibujar de tal manera que todos los puntos queden
unidos?

11. Orden
• Considerar los puntos en una circunferencia.
• En lugar de rectas, segmentos que llamaremos
aristas.

12. • ¿Cuántas aristas se
pueden dibujar de tal
manera que todos los
puntos estén
conectados?

13. • ¿Cómo se puede establecer un caso general?

14. 2
1
321
nn
n

15. Problema 3

16. • Demostrar la identidad
2
1
321
nn
n

17. 122321 nnn
12112321 nnn
• Demostrar

18. Problema 4

19. • Números primos:
• Números naturales mayores que 1 que tiene únicamente dos
divisores distintos: él mismo y el 1.
41)( 2
nnnP

20. • 1, 2, 3, 4, 5…
• Hasta el 40.
41)( 2
nnnP

21. Problema 5

22. • Funciones trigonométricas
sen
cos
tan

23. senCB
cosCA

24. 2 2
sen cos 1

25. tanEF

26. sen cos tan

27. sen 1
0 cos
cos
2
2
r
A

28. Problema 6

30. • Los cuadrados en el interior
del cuadrado ABCD forman
una sucesión.
• ¿Cuál es la medida del lado
del primer cuadrado?
• ¿Y del segundo?
• Etc…

31. • Todo parece indicar que los
cuadrados en el interior del
cuadrado original convergen
a un cuadrado cuyo lado es
de longitud 1.
• http://www.geogebratube.org/material/show/id/39138

34. Problema 7

36. • ¿Qué preguntas se
pueden hacer?
• ¿Qué problema se
puede plantear?

37. Problema 8

41. • ¿Qué preguntas nos podemos hacer?
• Ver Cabri 3D

42. • Demostrar que se forma un hexágono regular.
• Si el lado del cubo mide x, demostrar que el área del
hexágono es:
23 3
4
x

43. Paréntesis
Conjeturas

44. Conjeturas
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se
refiere a una afirmación que se supone cierta,
pero que no ha sido probada ni refutada hasta
la fecha.

45. Conjeturas
• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó
que:
• Todo número par mayor que 2 puede
escribirse como suma de dos números primos.
• Data: 1742
2 2 4 5 3 8 11 3 14
7 3 10

47. • Conjetura débil:
• Todo número impar mayor que 5 puede
expresarse como suma de tres números
primos.

48. Conjeturas
• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:
• Si n es un número entero mayor que 2,
entonces no existen números enteros x, y y z,
tales que se cumpla la igualdad:
• Data: 1637
n n n
x y z

49. Conjeturas
• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjetura
de Fermat.
• La conjetura de Fermat se convirtió en
Teorema:
• Último Teorema de Fermat

50. Problema 9

51. • Hay un famoso restaurante
de comida rápida en donde
se pueden pedir nuggets de
pollo los cuales vienen en
cajas de varios tamaños.

52. • En este restaurant, sólo se pueden comprar cajas de 6, 9
o de 20 nuggets.
• Usando estos tamaños, puedes pedir, por ejemplo, 32
nuggets de pollo. En este caso has pedido una caja de 20
y dos cajas de 6.

53. • Si deseas comprar 21 nuggets, ¿podrías comprar 21?
• Si deseas comprar 31 nuggets, ¿podrías comprar 31? De
hecho, no se pueden comprar 31 nuggets, ¿por qué?
• ¿Hay un mayor número nuggets que no puedes
comprar? Y si existe, ¿qué número es? ¿Cómo sabes que
tu respuesta es correcta?

58. Problema 10

59. Se planea construir una torre de una
compañía celular en la parte oeste de
una montaña.

60. • Se planea construir una torre de una compañía
celular en la parte oeste de una montaña como se
muestra en la figura:

61. • ¿Qué información es necesaria para resolver el
problema? ¿Qué información no es importante saber?
• Piensa geométricamente o algebraicamente, ¿cómo
podrías matematizar el problema?
• http://www.geogebratube.org/student/m37286

62. • Usa la siguiente información para dibujar un modelo más
preciso:
• La torre tiene una altura de 60 metros.
• La montaña tiene una altura de 243 metros y tiene una
base de 853 metros desde el este hasta el oeste.
• La montaña es simétrica.
• El lago inicia en la base de la montaña (este) y tienen un
ancho de 182 metros.

63. Problema 11

65. • Ustedes son los propietarios de 5 pizzerías en la Ciudad de
Colima. Para optimizar el servicio de pedidos a domicilio
deben diseñar un sistema en el cual los clientes llaman a un
número central y son transferidos a la pizzería más cercana.
• En el mapa, el cual abarca un área de 64 cuadras, se muestra la
posición de 5 pizzerías. Necesitan dividir el mapa en cinco
regiones de tal manera que los clientes ordenan su pizza desde
la pizzería más cercana.

66. • Determinen primero cómo se debería dividir el mapa
si solo hay 2 pizzerías. Después para 3 y finalmente
para 4 pizzerías.
• ¿Qué elementos matemáticos necesitan construir para
crear las regiones para cada caso?

70. Referencias
• Apostol, T. M. (2001). Calculus. Vol. I. 9a. Re-impresión.
México. Editorial Reverté.
• Bondy, J. A. & Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory. Springer.
• Espinosa, H. Ponce, J.C. & Reyes, A. (2011). Matemáticas 1.
Serie Encuentro. (2nd ed.). México: SM de Ediciones. ISBN.
978-607-471-874-4.
• Everest, G. & Ward, T. (2005). Introduction to Number Theory.
Springer-Verlag London Limited.
• NCTM. (2013). Illiminations: Resources for teaching math.
Disponible en: http://illuminations.nctm.org/