Cap 4 corte por flexion en vigas

AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
1
RESISTENCIA DE MATERIALES II CORTE EN VIGAS
CAPITULO 4
CORTE POR FLEXION EN VIGAS
4.1) INTRODUCCION. -
Se puede observar que al flexarse una viga sometida a cargas transversales, a los
esfuerzos normales (𝜎), se deben acompañar esfuerzos cortantes (𝜏). Cuando una
viga se somete a flexión pura, solo se tiene momentos flectores y los únicos
esfuerzos son los normales. Sin embargo, la mayor parte de las vigas se someten
tanto a cargas que producen momentos flectores como a fuerzas cortantes.
Figura a Figura b
La existencia de esfuerzos cortantes horizontales en una viga se puede demostrar
mediante un experimento simple, coloque dos vigas rectangulares idénticas y
sométalas a una carga P, como se muestra en la figura a. Si la fricción entre las
vigas es pequeña, estas se flexionarán de manera independiente como se muestra
en la figura b. Cada una de ellas estará en compresión arriba de su propio eje
neutro y en tracción debajo de este, y por tanto la superficie inferior de la viga
superior se deslizará con respecto a la superficie superior de la viga inferior.
Ahora suponga que las dos vigas se pegan a lo largo de la superficie de contacto,
de manera que se conviertan en una sola viga sólida. Cuando esta se carga, se
deben desarrollar esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de la superficie
pegada a fin de evitar el deslizamiento que se muestra en la figura b.
4.2) DEDUCCION DE LA ECUACION DE ESFUERZO DE CORTE. -
Prisma Diferencial Teorema de Cauchy
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝜏
Por otro lado
𝜎𝑦 = 0
𝜎𝑧 = 𝜎

2
Entonces en una viga
Analizando el elemento diferencial, debemos separar el elemento diferencial en
dos partes: Arriba y debajo de la fibra y.
Analizando el equilibrio estático del elemento diferencial arriba de la fibra “y”
∑𝐹𝑧 = 0 ⟶ +
∫ 𝜎 𝑑𝐴 + 𝜏𝑏𝑜𝑑𝑧 − ∫ 𝜎 𝑑𝐴 − ∫ 𝑑𝜎 𝑑𝐴 = 0
𝜏𝑏𝑜𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜎 𝑑𝐴
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫ (
𝑑𝜎
𝑑𝑧
) 𝑑𝐴 ; 𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑦
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑 (
𝑀
𝐼
𝑦)
𝑑𝑧
𝑑𝐴
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑 (
𝑀
𝐼
)
𝑑𝑧
𝑦 𝑑𝐴

3
a) SECCION CONSTANTE
Momento flector 𝑀 = 𝑓(𝑧)
Momento de Inercia 𝐼 = 𝑐𝑡𝑡𝑒
𝜏 =
1
𝑏𝑜𝐼
∫
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝜏 =
𝑄
𝑏𝑜𝐼
∫ 𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴
El esfuerzo tangencial es igual a:
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝑏𝑜𝐼
Donde:
𝜏 = Esfuerzo tangencial
𝑄 = Fuerza cortante en la sección de análisis
𝐼 = Momento de inercia de toda la sección
𝑆𝑥 = Momento estático de la sección a un lado de la fibra “𝑦”
𝑏𝑜 = Ancho de la sección en la fibra “𝑦”
b) SECCION VARIABLE. -
Momento de Inercia 𝐼 = 𝑓(𝑧)
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑
𝑑𝑧
(
𝑀
𝐼
)𝑦 𝑑𝐴 =
1
𝑏𝑜
∫ (
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝐼 − 𝑀
𝑑𝐼
𝑑𝑧
𝐼2
) 𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝜏 =
1
𝑏𝑜
[
𝑄∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝐼
−
𝑀
𝐼2
(
𝑑𝐼
𝑑𝑧
)∫ 𝑦 𝑑𝐴]
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝑏𝑜𝐼
−
𝑀
𝐼2
(
𝑑𝐼
𝑑𝑧
) 𝑆𝑥

4
4.3) ESFUERZOS MAXIMOS EN EL PLANO
Se puede calcular el valor de esfuerzo normal 𝜎 y cortante 𝜏 en cualquier punto de
la sección, cuando se conoce el momento flector M y fuerza cortante Q en dicha
sección. El valor máximo de 𝜎 corresponde a las fibras más alejadas del EN, por el
contrario, generalmente el valor máximo de 𝜏 se presenta en el EN.
𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑦 ; 𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
Prisma diferencial
Es posible escoger las caras de tal forma que solamente se presenten esfuerzos
normales, estas direcciones se llaman principales, y los esfuerzos
correspondientes, esfuerzos principales.
Las ecuaciones para determinar los esfuerzos principales son:
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
=
𝜎1 + 𝜎2
2
± √𝜏2 + (
𝜎1 − 𝜎2
2
)
2
; 𝜎2 = 0
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
=
𝜎
2
± √𝜏2 + (
𝜎
2
)
2
; 𝜑𝑝 =
1
2
tan−1
(−
2𝜏
𝜎
)
𝜎1 = 𝜎
𝜎2 = 0
𝜏𝑧𝑦 = 𝜏

5
EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Determinar la variación del esfuerzo tangencial “𝜏” de la sección A-A y su
valor máximo. Dibujar el diagrama de esfuerzo tangencial.
SOLUCION
1) Determinación de Fuerzas Internas
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀5 = 0 𝑉2(6,5) − 3(5)(5,5) −
2(5)
2
(6,333) − 7(1) + 2 = 0
𝑉2 = 18,333 𝑡
∑𝑀2 = 0 − 𝑉5(6,5) + 7(5,5) + 2 + 3(5)(1) +
2(5)
2
(0,1667) = 0
𝑉5 = 8,667 𝑡
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 18,333 + 8,667 − 7 − 3(5) −
2(5)
2
= 0
0 = 0 ✓
Sección transversal

6
• Funciones de Fuerzas internas
Tramo 1/5 Origen 5 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟖 𝒎
𝑀 = −2 + 8,667𝑧 − 〈7(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈3(𝑧 − 3) (
𝑧 − 3
2
)〉𝑧≥3
− 〈
2(𝑧 − 3)
5
(𝑧 − 3)
2
(𝑧 − 3)
3
〉𝑧≥3 + 〈18,333(𝑧 − 6,5)〉𝑧≥6,5
𝑀 = −2 + 8,667𝑧 − 〈7(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
3(𝑧 − 3)2
2
〉𝑧≥3 − 〈
(𝑧 − 3)3
15
〉𝑧≥3
+ 〈18,333(𝑧 − 6,5)〉𝑧≥6,5
𝑄 = −
𝑑𝑀
𝑑𝑧
= −8,667 + 〈7〉𝑧≥1 + 〈3(𝑧 − 3)〉𝑧≥3 + 〈
(𝑧 − 3)2
5
〉𝑧≥3 − 〈18,333〉𝑧≥6,5
Para el momento máximo analizaremos el tramo 2/3
𝑄 = −8,667 + 7 + 3(𝑧 − 3) +
(𝑧 − 3)2
15
= 0 → 𝑧 = 3,529 𝑚 (𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 6)
Fuerzas Internas en A 𝑀𝐴 = 8,902𝑥105
𝑘𝑔-𝑐𝑚 ; 𝑄𝐴 = 3283 𝑘𝑔
Punto z Q M
5 0 -8,667 -2
4 1
-8,667
-1,667
6,667
3 3 -1,667 5,217
6 3,549 0 10,453
A 4,5 3,283 8,902
2 6,5
11,283
-7,05
-5,398
1 8 0 0
Función de la carga
𝑞𝑧
𝑧 − 3
=
2
5
𝑞𝑧 =
2(𝑧 − 3)
5

7
• Diagramas de Fuerzas Internas
2) Propiedades geométricas de la sección
Área total
𝐴 = 𝐴1 − 2𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4
𝐴 = 459 − 2(25𝜋) + 70 + 85
𝑨 = 𝟒𝟓𝟔, 𝟗𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐
• Áreas
𝐴1 = 27(17) = 459 𝑐𝑚2
𝐴2 =
𝜋(10)2
4
= 25𝜋 𝑐𝑚2
𝐴3 = 7(10) = 70 𝑐𝑚2
𝐴4 = 17(5) = 85 𝑐𝑚2

8
• Centroide
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
𝑦𝑐=
459(23,5) − 2[25𝜋(19,244)]+70(10)+85(2,5)
456,920
𝒚𝒄 = 𝟏𝟖, 𝟗𝟖𝟖 𝒄𝒎
• Momento de Inercia
𝐼 = ∑[𝐼𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)2]
𝐼= [
27(17)3
12
+459(23,5 − 18,988)2
] − 2[0,05488(10)4
+25𝜋(19,244 − 18,988)2]
+ [
7(10)3
12
+70(10 − 18,988)2
] + [
17(5)3
12
+85(2,5 − 18,988)2
]
𝑰 = 𝟒𝟖𝟖𝟏𝟑, 𝟔𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟒
3) Determinación de Esfuerzos Cortantes
Para a
El punto a pertenece a la fibra superior, la cual no delimita ningún área si es que
empezamos el análisis por la parte superior.
Entonces, el área para dicha fibra será 𝐴 = 0, por lo tanto: 𝑆𝑎 = 0
𝜏𝑎 =
𝑄𝑆𝑎
𝐼𝑏𝑜
=
3283(0)
48813,653(27)
⟶ 𝜏𝑎 = 0
Esfuerzo Cortante
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
(1)
Momento Estático
𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴

9
Tramo a/b 𝟔, 𝟎𝟏𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏𝟑, 𝟎𝟏𝟐 𝒄𝒎
𝑏𝑜 = 27 𝑐𝑚 ; 𝑑𝐴 = 𝑏𝑜𝑑𝑦
𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 𝑏𝑜𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 27∫𝑦
13,012
𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 27 [
𝑦2
2
]
𝑦
13,012
𝑆𝑥 = 13,5[13,0122
− 𝑦2]
𝑆𝑥 = 2285,714 − 13,5𝑦2
Reemplazando en la ecuación 1
𝜏 =
3283(2285,714 − 13,5𝑦2)
48813,653(27)
𝜏 = 5,694 − 0,0336𝑦2
Tramo b/c −𝟑, 𝟗𝟖𝟖 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔, 𝟎𝟏𝟐 𝒄𝒎
La ecuación de la circunferencia es:
[𝑥 − 𝑘]2
+ [𝑦 − ℎ]2
= 𝑅2
Donde:
𝑘, ℎ = Coordenadas del centro de la circunferencia.
𝑘 = 13,5 ; ℎ = −3,988
y bo Sx 𝝉[𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐
⁄ ]
13,012 27 0 0
9,512 27 1064,259 2,654
6,012 27 1797,768 4,480

10
Reemplazando los valores
[𝑥 − 13,5]2
+ [𝑦 − (−3,988)]2
= 102
𝑥 = 13,5 ± √100 − [𝑦 + 3,988]2
De acuerdo al gráfico, debemos tomar el signo negativo
𝑥 = 13,5 − √100 − [𝑦 + 3,988]2
Entonces de la gráfica el ancho 𝑏𝑜 será el doble de 𝑥
𝑏𝑜 = 2𝑥 = 2 (13,5 − √100 − [𝑦 + 3,988]2)
𝑏𝑜 = 27 − 2√100 − [𝑦 + 3,988]2
Momento Estático
𝑆𝑥 = 𝑆1 + ∫ 𝑦 𝑏𝑜𝑑𝑦 = ∫6,012
13,012
𝑦 𝑑𝐴 + ∫ 𝑦 (27 − 2√100 − [𝑦 + 3,988]2) 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 1797,768 + ∫𝑦
6,012
27𝑦 𝑑𝑦
⏟
𝐼1
− ∫𝑦
6,012
2𝑦√100 − [𝑦 + 3,988]2 𝑑𝑦
⏟
𝐼2
Para 𝑰𝟏
𝐼1 = 27∫𝑦
6,012
𝑦 𝑑𝑦 = 27 [
𝑦2
2
]
𝑦
6,012
= 13,5[6,0122
− 𝑦2]
𝐼1 = 487,946 − 13,5𝑦2
Para 𝑰𝟐
𝐼2 = 2∫𝑦
6,012
𝑦√100 − [𝑦 + 3,988]2 𝑑𝑦
Cambio de variable
Sea 𝑢 = 𝑦 + 3,988 → 𝑦 = 𝑢 − 3,988
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦

11
𝐼2 = 2 [∫ (𝑢 − 3,988)√100 − 𝑢2𝑑𝑢]
𝐼2 = 2 [∫ 𝑢√100 − 𝑢2𝑑𝑢
⏟
𝐼3
− 3,988∫ √100 − 𝑢2𝑑𝑢
⏟
𝐼4
]
Para 𝑰𝟑
Haciendo un nuevo cambio de variable
Sea 𝑡 = 100 − 𝑢2
→ 𝑑𝑡 = −2𝑢𝑑𝑢 → 𝑑𝑢 = −
𝑑𝑡
2𝑢
𝐼3 = ∫ 𝑢√𝑡 (−
𝑑𝑡
2𝑢
) = −
1
2
∫ 𝑡
1
2 𝑑𝑡 = −
1
2
𝑡
3
2
3 2
⁄
= −
1
3
√(100 − 𝑢2)3
Para 𝑰𝟒
De tablas de integrales tenemos
𝐼4 = 3,988∫ √102 − 𝑢2𝑑𝑢 = 3,988 [
𝑢
2
√102 − 𝑢2 +
102
2
sen−1
(
𝑢
10
)]
Reemplazando en 𝐼2
𝐼2 = 2 [−
1
3
√(100 − 𝑢2)3 − 3,988 [
𝑢
2
√102 − 𝑢2 +
102
2
sen−1
(
𝑢
10
)]]
𝐼2 = [−
2
3
√(100 − (𝑦 + 3,988)2)3 − 3,988(𝑦 + 3,988)√102 − (𝑦 + 3,988)2
− 398,8 sen−1
(
𝑦 + 3,988
10
)]
𝑦
6,012
𝐼2 = −626,434 +
2
3
√(100 − (𝑦 + 3,988)2)3
+ 3,988(𝑦 + 3,988)√102 − (𝑦 + 3,988)2 + 398,8 sen−1
(
𝑦 + 3,988
10
)
Finalmente
𝑆𝑥 = 1797,768 + 487,946 − 13,5𝑦2
+ 626,434 −
2
3
√(100 − (𝑦 + 3,988)2)3
−3,988(𝑦 + 3,988)√100 − (𝑦 + 3,988)2 − 398,8 sen−1 (
𝑦 + 3,988
10
)

12
𝑆𝑥 = 2912,148 − 13,5𝑦2
−
2
3
√(100 − (𝑦 + 3,988)2)3
−3,988(𝑦 + 3,988)√100 − (𝑦 + 3,988)2 − 398,8 sen−1
(
𝑦 + 3,988
10
)
𝜏 =
3283 (2912,148 − 13,5𝑦2
−
2
3
√(100 − (𝑦 + 3,988)2)3 …
48813,653(27 − 2√100 − (𝑦 + 3,988)2)
… −3,988(𝑦 + 3,988)√100 − (𝑦 + 3,988)2 − 398,8 sen−1
(
𝑦 + 3,988
10
))
48813,653(27 − 2√100 − (𝑦 + 3,988)2)
Para hallar la posición de y donde se tiene el valor máximo de 𝜏, se debe derivar
la función de cortante e igualar a cero
𝑑𝜏
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑦) = 0 → 𝑦
Sin embargo, en este caso se analizó la función de cortante en rangos pequeños, y
así se determinó el valor máximo de cortante en 𝑦 = −3,56 𝑐𝑚
Entonces
Respuesta: El esfuerzo máximo es 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 19,569 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄ en 𝑦 = −3,56 𝑐𝑚
⁄ ]
6,012 27 1797,768 4,478
5 18,233 1915,896 7,067
4 14,968 1990,341 8,943
3 12,694 2038,735 10,802
2 10,982 2068,377 12,667
1 9,665 2083,929 14,400
0 8,659 2088,583 16,222
-1 7,914 2084,512 17,416
-2 7,399 2073,098 18,844
-3 7,098 2055,044 19,473
-3,56 7,018 2042,092 19,569
-3,988 7 2030,775 19,512

13
Tramo d/e 𝟏𝟑, 𝟗𝟖𝟖 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏𝟖, 𝟗𝟖𝟖 𝒄𝒎
𝑆𝑥 = 17∫𝑦
18,988
𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 17 [
𝑦2
2
]
𝑦
18,988
𝑆𝑥 = 8,5[18,9882
− 𝑦2]
𝑆𝑥 = 3064,625 − 8,5𝑦2
𝜏 =
3283(3064,625 − 8,5𝑦2)
48813,653(17)
𝜏 = 12,124 − 0,03363𝑦2
Tramo c/d 𝟑, 𝟗𝟖𝟖 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏𝟑, 𝟗𝟖𝟖 𝒄𝒎
𝑆𝑥 = 𝑆𝑑𝑒 + 7∫𝑦
13,988
𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 𝑆𝑑𝑒 + 7 [
𝑦2
2
]
𝑦
13,988
𝑆𝑥 = 1401,480
+ 3,5[13,9882
− 𝑦2]
𝑆𝑥 = 2086,305 − 3,5𝑦2
𝜏 =
3283(2086,305 − 3,5𝑦2)
48813,653(7)
𝜏 = 20,045 − 0,03363𝑦2
⁄ ]
18,988 17 0 0
16,488 17 753,865 2,982
13,988 17 1401,480 5,544
⁄ ]
13,988 7 1401,480 13,465
8,988 7 1803,560 17,328
3,988 7 2030,640 19,510

14
• Diagrama de Esfuerzos Cortantes
E-2] En el ejemplo anterior, determinar los esfuerzos principales “𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝜎𝑚𝑖𝑛” y el
ángulo “𝜑𝑝”, en la sección B para el punto n.
SOLUCION
• Funciones de Funciones internas
Del anterior ejemplo tenemos las funciones con origen en el apoyo móvil
𝑀 = −2 + 8,667𝑧 − 〈7(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
3(𝑧 − 3)2
2
〉𝑧≥3 − 〈
(𝑧 − 3)3
15
〉𝑧≥3
+ 〈18,333(𝑧 − 6,5)〉𝑧≥6,5
𝑄 = −8,667 + 〈7〉𝑧≥1 + 〈3(𝑧 − 3)〉𝑧≥3 + 〈
(𝑧 − 3)2
5
〉𝑧≥3 − 〈18,333〉𝑧≥6,5

15
Para la sección B (𝑧 = 5 𝑚)
𝑀𝐵 = −2 + 8,667(5) − 7(5 − 1) −
3(5 − 3)2
2
−
(5 − 3)3
15
⟶ 𝑀𝐵 = 6,802 𝑡-𝑚
𝑄𝐵 = −8,667 + 7 + 3(5 − 3) +
(5 − 3)2
5
⟶ 𝑄𝐵 = 6,333 𝑡
Fuerzas Internas en B 𝑀𝐵 = 6,802𝑥105
𝑘𝑔-𝑐𝑚 ; 𝑄𝐵 = 6333 𝑘𝑔
Para el punto “𝑛” (𝑦 = 4,012 𝑐𝑚)
𝑏𝑜 = 27 − 2√100 − [𝑦 + 3,988]2
𝑏𝑜 = 27 − 2√100 − [4,012 + 3,988]2
𝑏𝑜 = 15 𝑐𝑚
Momento estático
𝑆𝑥 = ∫6,012
13,012
𝑦 𝑑𝐴 + ∫𝑦𝑛
6,012
𝑦 (27 − 2√100 − [𝑦 + 3,988]2) 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 1797,768 + ∫4,012
13,012
𝑦 (27 − 2√100 − [𝑦 + 3,988]2) 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 1989,620 𝑐𝑚3
• Resumen de propiedades
𝑦𝑐 = 18,988 𝑐𝑚
𝐼 = 48813,653 𝑐𝑚4
𝑦𝑛 = 4,012 𝑐𝑚

16
3) Determinación de Esfuerzos en el punto “n”
• Esfuerzo normal
𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑦𝑛 =
6,802𝑥105
48813,653
(4,012) ⟶ 𝜎 = 55,906 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
• Esfuerzo tangencial
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
=
6333(1989,620)
48813,653(15)
⟶ 𝜏 = 17,209 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
• Esfuerzos principales
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
=
𝜎
2
± √𝜏2 + (
𝜎
2
)
2
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝜎
2
+ √𝜏2 + (
𝜎
2
)
2
=
55,906
2
+ √17,2092 + (
55,906
2
)
2
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟎, 𝟕𝟕𝟖 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐
⁄
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝜎
2
− √𝜏2 + (
𝜎
2
)
2
=
55,906
2
− √17,2092 + (
55,906
2
)
2
𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟒, 𝟖𝟕𝟐 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐
⁄
Angulo “𝝋𝒑”
𝜑𝑝 =
1
2
tan−1
(−
2𝜏
𝜎
) =
1
2
tan−1
(−
2 ∗ 17,209
55,906
)
𝝋𝒑 = −𝟏𝟓, 𝟖𝟎𝟗 °

17
E-3] Determinar los esfuerzos cortantes cada 5 𝑐𝑚 en la sección A-A, el esfuerzo
cortante máximo y su ubicación, finalmente dibujar el diagrama.
SOLUCION
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀2 = 0 𝑉1(4,5) − 2(3,5) − 6(2)(1) = 0 ⟶ 𝑉1 = 4,222 𝑡
∑𝑀1 = 0 − 𝑉2(4,5) + 6(2)(3,5) + 2(1) = 0 ⟶ 𝑉2 = 9,778 𝑡
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 4,222 + 9,778 − 2 − 6(2) = 0
0 = 0 ✓
• Funciones de Fuerzas internas
Tramo 1/2 Origen 1 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟒, 𝟓 𝒎

18
𝑀 = 4,222𝑧 − 〈2(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈6(𝑧 − 2,5) (
𝑧 − 2,5
2
)〉𝑧≥2,5
𝑀 = 4,222𝑧 − 〈2(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈3(𝑧 − 2,5)2〉𝑧≥2,5
𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑧
= 4,222 − 〈2〉𝑧≥1 − 〈6(𝑧 − 2,5)〉𝑧≥2,5
Para el momento máximo analizaremos el tramo donde se aplica la carga ”𝑞”
𝑄 = 4,222 − 2 − 6(𝑧 − 2,5) = 0 → 𝑧 = 2,87 𝑚
Fuerza Cortante en A 𝑄𝐴 = 6778 𝑘𝑔
• Diagramas de Fuerzas Internas
Punto z Q M
1 0 4,222 0
3 1
4,222
2,222
4,222
4 2,5 2,222 7,555
5 2,87 0 7,967
A 4 -6,778 4,138
2 4,5 -9,778 0

19
3) Determinación de Esfuerzos Cortantes
Tramo a/c −𝒉 𝟑
⁄ ≤ 𝒚 ≤ 𝟐𝒉 𝟑
⁄
Ancho “𝒃𝒐”
𝑏𝑜
2ℎ
2 − 𝑦
=
𝑏
ℎ
⟶ 𝑏𝑜 =
𝑏
ℎ
(
2ℎ
3
− 𝑦)
Momento estático “𝑺𝒙”
𝑆𝑥 = ∫𝑦
2ℎ 3
⁄
𝑦 [
𝑏
ℎ
(
2ℎ
3
− 𝑦)] 𝑑𝑦 =
𝑏
ℎ
∫
𝑦
2ℎ 3
⁄
(
2ℎ
3
𝑦 − 𝑦2
) 𝑑𝑦
𝑆𝑥 =
𝑏
ℎ
[
2ℎ
3
𝑦2
2
−
𝑦3
3
]
𝑦
2ℎ 3
⁄
Sección triangular
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝑦𝑐 =
ℎ
3
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
36
Esfuerzo Cortante
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
(1)
Momento Estático
𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝐴 = 𝑏𝑜𝑑𝑦

20
𝑆𝑥 =
𝑏
ℎ
[(
ℎ
3
(
2ℎ
3
)
2
−
1
3
(
2ℎ
3
)
3
) − (
ℎ
3
𝑦2
−
𝑦3
3
)]
𝑆𝑥 =
𝑏
ℎ
[
𝑦3
3
−
ℎ
3
𝑦2
+
4
81
ℎ3
] =
𝑏
3ℎ
[𝑦3
− ℎ𝑦2
+
4
27
ℎ3
]
𝑆𝑥 =
𝑏
3ℎ
[𝑦3
− ℎ𝑦2
+
4
27
ℎ3
] 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑆𝑥 =
𝑏
3ℎ
[(𝑦 +
ℎ
3
) (
2ℎ
3
− 𝑦)
2
]
𝜏 =
𝑄 (
𝑏
3ℎ
[(𝑦 +
ℎ
3
) (
2ℎ
3
− 𝑦)
2
])
𝐼 (
𝑏
ℎ
(
2ℎ
3
− 𝑦))
𝜏 =
𝑄 (
1
3
[(𝑦 +
ℎ
3
) (
2ℎ
3
− 𝑦)])
𝑏ℎ3
36
𝜏 =
12𝑄
𝑏ℎ3
(
2ℎ2
9
+
ℎ
3
𝑦 − 𝑦2
)
Para el esfuerzo cortante máximo
𝑑𝜏
𝑑𝑦
=
12𝑄
𝑏ℎ3
(
ℎ
3
− 2𝑦) = 0 ;
12𝑄
𝑏ℎ3
≠ 0
ℎ
3
− 2𝑦 = 0 ⟶ 𝑦 =
ℎ
6
Reemplazando tenemos el esfuerzo cortante máximo
𝜏 =
12𝑄
𝑏ℎ3
(
2ℎ2
9
+
ℎ
3
(
ℎ
6
) − (
ℎ
6
)
2
)
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3𝑄
𝑏ℎ
; 𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3𝑄
2𝐴

21
Reemplazando los valores numéricos
Fuerza Cortante 𝑄 = 6778 𝑘𝑔
Base de la seccion 𝑏 = 25 𝑐𝑚
Altura de la seccion ℎ = 30 𝑐𝑚
Area transversal 𝐴 =
25(30)
2
= 375 𝑐𝑚2
Posicion del 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑦 =
ℎ
6
=
30
6
= 5 𝑐𝑚
𝜏 =
12𝑄
𝑏ℎ3
(
2ℎ2
9
+
ℎ
3
𝑦 − 𝑦2
)
𝜏 =
12(6778)
25(30)3
(
2(30)2
9
+
30
3
𝑦 − 𝑦2
)
𝜏 = 0,1205(200 + 10𝑦 − 𝑦2)
• Diagrama de Esfuerzos Cortantes
⁄ ]
20 0 0 0
15 4,167 173,611 15,062
10 8,333 555,556 24,1
5 12,5 937,500 27,112
0 16,667 1111,111 24,1
-5 20,833 868,056 15,062
-10 25 0 0

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